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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2.3 等差数列的前n项和 (1)数列前n项和的定义是什么?通常用什么符号表示? (2)能否根据首项、末项与项数求出等差数列的前n项和? (3)能否根据首项、公差与项数求出等差数列的前n项和? 新知初探 1数列的前n项和 对于数列 an,一般地称a1a2an为数列 an的前n项和,用Sn表示,即Sna1 a2an. 2等差数列的前n项和公式 已知量首项,末项与项数首项,公差与项数 选用 公式 Sn na1an 2 Snna1 nn1 2 d 小试身手 1判断下列命题是否正确(正确的打“” ,错误的打“”) (1)数列的前n项和就是指从数列的第1 项a
2、1起,一直到第n项an所有项的和 ( ) (2)anSnSn1(n2)化简后关于n与an的函数式即为数列an的通项公式 ( ) (3)在等差数列 an中,当项数m为偶数 2n时,则S偶S奇an1( ) 解析: (1)正确由前n项和的定义可知正确 (2)错误例如数列an中,Snn22. 当n2 时,anSnSn1n2(n1)22n1. 又a1S13, a1不满足anSnSn12n1,故命题错误 (3)错误当项数m为偶数 2n时,则S偶S奇nd. 答案: (1)(2)(3) 2等差数列 an 中,a11,d1,则Sn等于 ( ) AnBn(n1) Cn(n1) D. nn1 2 积一时之跬步臻千里
3、之遥程 马鸣风萧萧整理 解析:选D 因为a11,d 1,所以Snn nn1 2 1 2nn2n 2 n2n 2 nn1 2 ,故选 D. 3设等差数列an 的前n项和为Sn,若a1 1 2 ,S420,则S6等于 ( ) A 16 B24 C36 D 48 解析:选 D 设等差数列 an的公差为d, 由已知得 4a1 4 3 2 d20, 即 4 1 2 43 2 d20,解得d3, S66 1 2 65 2 334548. 4在等差数列an 中,S42,S86,则S12_. 解析:由等差数列的性质,S4,S8S4,S12S8成等差数列,所以2(S8S4)S4(S12 S8),S123(S8S
4、4)12. 答案: 12 等差数列的前n项和的有关计算 典例 已知等差数列an (1)a1 5 6, a15 3 2, Sn 5,求d和n; (2)a14,S8 172,求a8和d. 解 (1)a15 5 6(151)d 3 2, d 1 6. 又Snna1 nn1 2 d 5, 解得n15 或n 4(舍 ) (2)由已知,得S8 8a1a8 2 84a8 2 172, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解得a839, 又a84 (8 1)d39,d5. 等差数列中的基本计算 (1)利用基本量求值: 等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1,d,n,an和Sn,这五个量可以“知
5、三求二”一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组,解出a1和d,便可解决问题解题 时注意整体代换的思想 (2)结合等差数列的性质解题: 等差数列的常用性质:若mnpq(m,n,p,qN *),则 amanapaq,常与求和 公式Snn a1an 2 结合使用 活学活用 设Sn是等差数列 an的前n项和,已知a23,a811,则S9等于 ( ) A 13 B35 C49 D 63 解析:选 D an为等差数列,a1a9a2a8, S9 9a2a8 2 914 2 63. 已知Sn求an问题 典例 已知数列 an的前n项和Sn 2n2n2. (1)求an的通项公式; (2)判断 an 是否为等差数
6、列? 解 (1)Sn 2n2n2, 当n2 时, Sn1 2(n1)2(n1)2 2n2 5n1, anSnSn1 (2n2n 2) (2n25n1) 4n3. 又a1S11,不满足an 4n3, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 数列 an 的通项公式是an 1,n1, 4n3,n 2. (2)由(1)知,当n 2时, an1an 4(n1)3(4n3) 4, 但a2a1 51 6 4, an不满足等差数列的定义,an不是等差数列 (1)已知Sn求an,其方法是anSnSn1(n2),这里常常因为忽略条件“n2”而出错 (2)在书写 an的通项公式时,务必验证n1 是否满足an(n2
7、)的情形如果不满足,则 通项公式只能用an S1,n1, SnSn 1,n2 表示 活学活用 1已知数列 an 的前n项和为Snn2,则 ( ) Aan 2n1 Ban 2n1 Can 2n1 Dan2n1 解析:选 B 当n1 时,a1S1 1;n2 时,anSnSn 1n2(n1)2 2n 1, 此时满足a1 1.综上可知an 2n1. 2已知Sn是数列 an的前n项和,根据条件求an. (1)Sn2n 23n2; (2)Sn3 n1. 解: (1)当n1 时,a1S17, 当n2 时,anSnSn 1(2n23n2)2(n1)2 3(n1)24n1,又a17 不适 合上式, 所以an 7
8、,n1, 4n1,n 2. (2)当n1 时,a1S12, 当n2 时,anSnSn1(3n1)(3n11)2 3 n 1,显然 a1适合上式, 所以an23 n1(nN*). 等差数列的前n项和性质 典例 (1)等差数列前n项的和为30,前 2n项的和为100,则它的前3n项的和为 ( ) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 A 130 B170 C210 D 260 (2)等差数列 an共有 2n1 项,所有的奇数项之和为132,所有的偶数项之和为120 ,则 n等于 _ (3)已知 an , bn均为等差数列, 其前n项和分别为Sn,Tn, 且 Sn Tn 2n2 n3 , 则 a
9、5 b5_. 解析 (1)利用等差数列的性质: Sn,S2nSn,S3nS2n成等差数列 所以Sn(S3nS2n)2(S2nSn), 即 30(S3n100)2(10030), 解得S3n210. (2)因为等差数列共有2n 1项,所以S奇S偶an1 S2n 1 2n1 ,即 132120 132120 2n 1 , 解得n 10. (3)由等差数列的性质,知 a5 b5 a1a9 2 b1b9 2 a1a9 2 9 b1b9 2 9 S9 T9 292 93 5 3. 答案 (1)C (2)10 (3) 5 3 等差数列的前n项和常用的性质 (1)等差数列的依次k项之和,Sk,S2kSk,S
10、3kS2k组成公差为k2d的等差数列 (2)数列 an 是等差数列 ?Snan 2bn(a ,b为常数 )? 数列 Sn n 为等差数列 (3)若S奇表示奇数项的和,S偶表示偶数项的和,公差为d, 当项数为偶数2n时,S偶S奇nd, S奇 S偶 an an1; 当项数为奇数2n1 时,S奇S偶an,S 奇 S偶 n n1. 活学活用 1设等差数列an 的前n项和为Sn,若S4 8,S820,则a11a12a13a14( ) A 18 B17 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 C16 D 15 解析: 选 A 设an的公差为d, 则a5a6a7a8S8S412, (a5a6a7a8)S4
11、16d, 解得d 1 4 ,a11a12a13a14S440d18. 2等差数列 an 的通项公式是an2n1,其前n项和为Sn,则数列 Sn n 的前 10项和为 _ 解析:因为an 2n1,所以a13, 所以Sn n32n1 2 n22n, 所以 Sn n n2, 所以 Sn n 是公差为1,首项为3 的等差数列, 所以前 10 项和为 310 109 2 175. 答案: 75 等差数列的前n项和最值问题 典例 在等差数列 an中,a125,S17S9,求前n项和Sn的最大值 解 由S17S9,得 2517 1717 1 2 d259 991 2 d, 解得d 2, 法一公式法 Sn25
12、n nn1 2 (2) (n13)2169. 由二次函数性质得,当n13 时,Sn有最大值169. 法二邻项变号法 a1250,由 an25 2n10, an125 2n0, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 得 n13 1 2 , n12 1 2, 即 12 1 2 n13 1 2. 又nN *,当 n13 时,Sn有最大值169. 求等差数列的前n项和Sn的最值的解题策略 (1)将Snna1n n1 2 d d 2n 2 a1 d 2 n配方,转化为求二次函数的最值问题,借助 函数单调性来解决 (2)邻项变号法: 当a10,d0 时,满足 an 0, an 10 的项数n使Sn取最
13、小值 活学活用 已知 an为等差数列,若 a11 a10a11,又 a11 a100,S19为最小正值故选C. 层级一学业水平达标 1已知数列 an 的通项公式为an2 3n,则 an的前n项和Sn等于 ( ) A 3 2n 2n 2 B 3 2n 2 n 2 C. 3 2n 2n 2 D. 3 2n 2n 2 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析:选 A an 23n,a1 23 1,Sn n1 23n 2 3 2n 2n 2. 2等差数列 an 的前n项和为Sn,若a70,a80 DS150 解析:选C 由等差数列的性质及求和公式得,S13 13a1a13 2 13a70,S15
14、 15a1a15 2 15a8a5,则Sn取得最小值时n的值 为( ) A 5 B6 C7 D 8 解析:选 B 由 7a55a90,得 a1 d 17 3 . 又a9a5,所以d0,a10, 67a1167(a110d)67a1670d0,即a110.故选 A. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 4已知等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn,且 An Bn 7n45 n3 ,则使得 an bn为整 数的正整数n的个数是 ( ) A 2 B3 C4 D 5 解析:选D an bn a1a2n1 2 b1b2n 1 2 a1a2n1 2 2n1 b1b2n 1 2 2n1 A 2n
15、1 B2n1 72n1 45 2n13 14n 38 2n 2 7 12 n1,当 n取 1,2,3,5,11时,符合条件,符合条件的n的个数是5. 5若数列 an 是等差数列,首项a10,a203a2040?a1a4060?S4060,又由a10, 所以公差d0,则数列 an的前 203 项都是负数,那么2a203a1a4050,前n项和为Sn,且a2a345,S428. (1)求数列 an的通项公式; (2)若bn Sn nc(c 为非零常数 ),且数列 bn也是等差数列,求c的值 解: (1)S428, a1a44 2 28,a1a4 14,a2a314, 又a2a345,公差d0, a20,得n0; 当n18,nN *时, an0, an的前 17 项和最大 (2)当n17,nN *时, |a1| |a2| |an| a1a2anna1 nn1 2 d 3 2n 2 103 2 n. 当n18,nN *时, |a1| |a2| |an| a1a2a17a18a19an 2(a1a2a17)(a1a2an) 2 3 2 172 103 2 17 3 2n 2103 2 n 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3 2n 2 103 2 n884. Sn 3 2 n2 103 2 n,n17,nN *, 3 2n 2 103 2 n884,n18,nN *.
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