高中数学第二章数列2.4等比数列第一课时等比数列学案含解析新人教A版必修598.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 第一课时等 比 数 列 等比数列的定义 提出问题 观察下面几个数列: (1)4, 4,4, 4,; (2)关于在国际象棋棋盘各个格子里放麦粒的问题,由于每一个格子里的麦粒都是前一 个格子里的麦粒数的2 倍,且共有 64个格子, 各个格子里的麦粒数依次是1,2,2 2,23,263; (3)某人年初投资10 000元,如果年收益率是5%,那么按照复利,5 年内各年末的本利 和依次为10 0001.05,10 000 1.05 2, 10 0001.055. 问题 1:上述三个例子中的数列,它们是等差数列吗? 提示:不是 问题 2:这三个数列,从第2 项
2、起与前一项的比有什么特点? 提示:都等于同一个常数 导入新知 等比数列的定义 如果一个数列从第2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫做 等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q(q0)表示 化解疑难 1 “从第 2 项起” ,也就是说等比数列中至少含有三项; 2 “每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”; 3 “同一常数q” ,q是等比数列的公比,即q an an1或 q an1 an .特别注意,q不可以为零, 当q1 时,等比数列为常数列,非零的常数列是特殊的等比数列 等比中项 提出问题 问题:观察“知识点一”中的三个数列,每个数列中任意连续三
3、项间有何关系? 提示:中间一项的平方等于它前一项与后一项之积 导入新知 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a,b的等比中 项,这三个数满足关系式Gab. 化解疑难 1G是a与b的等比中项,则a与b的符号相同,符号相反的两个实数不存在等比中 项 Gab,即等比中项有两个,且互为相反数 2当G2ab时,G不一定是a与b的等比中项例如02 50,但 0,0,5 不是等比数 列. 等比数列的通项公式 提出问题 问题:若数列an为等比数列,公比为q,则a2a1q,a3a2qa1q2,a4a3qa1q 3, a5 a4qa1q 4,由
4、此你可以得出什么结论呢? 提示:ana1q n1. 导入新知 等比数列 an的首项为a1,公比为q(q0),则通项公式为ana1qn 1. 化解疑难 1在已知首项a1和公比q的前提下,利用通项公式ana1qn 1可求出等比数列中的任 一项 2等比数列 an 的通项公式ana1qn1可改写为an a1 q qn.当q0 且q1 时,这是指 数型函数 等比数列的通项公式 例 1 在等比数列 an 中: (1)a42,a78,求an; (2)a2a518,a3a69,an 1,求n. 解 (1)因为 a4a1q3, a7a1q6, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 所以 a1q32, a1q
5、68, 由 得q34,从而q 3 4,而a1q32, 于是a1 2 q3 1 2,所以 ana1qn12 25 3 n- . (2)法一:因为 a2a5a1qa1q418, a3a6a1q2a1q59, 由 得q 1 2,从而 a132. 又an1,所以 32 1 2 n 1 1, 即 26n20,所以n6. 法二:因为a3a6q(a2a5), 所以q 1 2 . 由a1qa1q418,得a132. 由ana1qn11,得n6. 类题通法 与求等差数列的通项公式的基本量一样,求等比数列的通项公式的基本量也常运用方程 的思想和方法从方程的观点看等比数列的通项公式,ana1qn 1(a1q0)中包
6、含了四个量, 已知其中的三个量,可以求得另一个量求解时,要注意应用q0 验证求得的结果 活学活用 1若等比数列的前三项分别为5, 15,45,则第 5 项是 ( ) A 405 B 405 C135 D 135 解析:选 A a5a1q4,而a15,q a2 a1 3, a5405. 2(辽宁高考 )已知等比数列an为递增数列,且a 2 5a10,2(anan 2) 5an 1,则数列 an 的通项公式an_. 解析:由 2(anan2)5an 1? 2q25q20?q2 或 1 2, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 由a 2 5a10a1q 90? a10, 又数列 an 递增,
7、所以q2. a 2 5a100? (a1q 4)2 a1q 9? a1q2, 所以数列 an的通项公式为an2n. 答案: 2n 等比数列的判断与证明 例 2 已知数列 an是首项为2,公差为 1 的等差数列,令bn 1 2 an,求证数列 bn 是等比数列,并求其通项公式 解 依题意an2(n1)(1)3n, 于是bn 1 2 3n. 而 bn bn1 1 2 3n 1 2 4n 1 2 12. 数列 bn是首项为 1 4,公比为 2 的等比数列,通项公式为bn2n3. 类题通法 证明数列是等比数列常用的方法 (1)定义法: an 1 an q(q为常数且q0)或 an an1 q(q为常数
8、且q0,n 2)?an为等比数 列; (2)等比中项法:a 2 n1anan 2(an0,nN *)? an为等比数列; (3)通项公式法:ana1qn 1(其中a1,q为非零常数,nN *)? an为等比数列 活学活用 (全国丙卷改编 )已知各项都为正数的数列an 满足a11,a 2 n(2an11)an 2an10. (1)求a2,a3; (2)证明 an 是等比数列,并求an的通项公式 解: (1)由题意可得a2 1 2, a3 1 4. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)由a2 n(2an 11)an2an 1 0 得 2an1(an1)an(an1) 因此 an的各项都
9、为正数,所以 an 1 an 1 2. 故an是首项为1,公比为 1 2的等比数列, 因此an 1 2n 1. 等比中项 例 3 设等差数列 an 的公差d不为 0,a19d,若ak是a1与a2k的等比中项, 则k等于 ( ) A 2 B4 C6 D8 解析 an(n8)d, 又a 2 ka1a2k, (k8)d29d(2k8)d, 解得k 2(舍去 ),k4. 答案 B 类题通法 等比中项的应用主要有两点 (1)计算与其他性质综合应用可以简化计算,提高速度和准确度 (2)用来判断或证明等比数列 活学活用 已知 1 既是a 2 与b 2 的等比中项,又是 1 a与 1 b的等差中项,则 ab
10、a 2 b2的值是 ( ) A 1或 1 2 B1 或 1 2 C1 或 1 3 D1 或 1 3 解析:选 D 由题意得,a 2b2(ab )21, 1 a 1 b2, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 ab 1, ab2 或 ab 1, ab 2. 因此 ab a 2b2的值为 1 或 1 3. 4.求解等比中项中的误区 典例 等比数列 an(an0)满足a1a590,a2a436,求a5,a7的等比中项 解 设该等比数列的公比为q,首项为a1,由a1a590,a2a436 得 a1a1q490, a1qa1q336, 解得 a196, q 1 2, 或 a1 6, q2. (舍)
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