高中数学第二章数列2.4等比数列第二课时等比数列的性质学案含解析新人教A版必修599.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 第二课时等比数列的性质 等比数列性质的应用 例 1 (1)在等比数列an 中,若a7a8a9a10 15 8 ,a8a9 9 8,则 1 a7 1 a8 1 a9 1 a10 _. (2)已知数列 an是等比数列,a3a7 20,a1a964,求a11的值 解 (1)因为 1 a7 1 a10 a7a10 a7a10 , 1 a8 1 a9 a8a9 a8a9 ,由等比数列的性质知a7a10a8a9, 所以 1 a7 1 a8 1 a9 1 a10 a7a8a9a10 a8a9 15 8 9 8 5 3 . (2)an为等比数列, a1a9a3a7
2、64. 又a3a720, a3,a7是方程t 220t640 的两个根 t1 4,t216, a34,a716 或a316,a74. 当a34,a716 时, a7 a3 q4 4,此时a11a3q84 4 264. 当a316,a74 时, a7 a3 q4 1 4,此时 a11a3q816 1 4 21. 答案 (1) 5 3 类题通法 等比数列常用性质 (1)若mnpq(m,n,p,qN *), 则amanapaq. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 特例:若mn2p(m,n,pN *), 则amana 2 p. (2)a n am qn m(m, nN *) (3)在等比数列
3、an中,每隔k项取出一项,取出的项,按原来顺序组成新数列,该数列 仍然是等比数列 (4)数列 an 为等比数列,则数列 an(为不等于 0 的常数 )和 1 an 仍然成等比数列 活学活用 1在等比数列an 中,若a22,a612,则a10_. 解析:法一:设an 的公比为q,则 a1q2, a1q 512, 解得q46,a10a1q9a1q (q4)2236 72. 法二: an是等比数列, a 2 6a2a10, 于是a10 a 2 6 a2 122 2 144 2 72. 答案: 72 2在等比数列an 中,若a7 2,则此数列的前13项之积等于 _ 解析:由于 an是等比数列, a1a
4、13a2a12a3a11a4a10a5a9a6a8a 2 7, a1a2a3a13( ) a27 6 a7a 13 7, 而a7 2, a1a2a3a13 (2)13 2 13. 答案: 213 灵活设元求解等比数列 例 2 已知三个数成等比数列,它们的积为27,它们的平方和为91,求这三个数 解 法一:设三个数依次为a,aq,aq 2, 由题意知 aaqaq 227, a 2 a 2q2 a 2q491, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 aq 327, a 2 1q2q491, 即 aq 3, a 2 1q2q491, 解得 q2 1q 2 q4 9 91, 得 9q4 82q29
5、0,即得q 29 或 q2 1 9, q 3或q 1 3. 若q3,则a11; 若q 3,则a1 1; 若q 1 3,则 a19; 若q 1 3 ,则a1 9. 故这三个数为1,3,9,或 1,3, 9,或 9,3,1,或 9,3, 1. 法二:设这三个数分别为 a q, a,aq. a q aaq27, a 2 q2 a 2 a 2q291 ? a3, a 2 1 q 21q 2 91, 得 9q4 82q290,即得q 2 1 9 或q29, q 1 3 或q 3. 故这三个数为1,3,9,或 1,3, 9,或 9,3,1,或 9,3, 1. 类题通法 三个数或四个数成等比数列的设元技巧
6、(1)若三个数成等比数列,可设三个数为a,aq,aq 2 或 a q ,a,aq. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)若四个数成等比数列,可设为a,aq,aq 2,aq3;若四个数均为正 (负 )数,可设为 a q3, a q, aq,aq3. 活学活用 在 2 和 20 之间插入两个数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则插入的 两个数的和为 ( ) A 4 或 17 1 2 B4 或 17 1 2 C4 D17 1 2 解析:选 B 设插入的第一个数为a,则插入的另一个数为 a 2 2 . 由a, a 2 2, 20成等差数列得 2 a 2 2 a20. a 2 a2
7、00,解得a 4或a5. 当a 4 时,插入的两个数的和为a a2 2 4. 当a 5时,插入的两个数的和为a a 2 2 17 1 2. 等比数列的实际应用 例 3 某工厂 2016 年 1 月的生产总值为a万元, 计划从 2016年 2 月起, 每月生产 总值比上一个月增长m%,那么到2017年 8月底该厂的生产总值为多少万元? 解 设从 2015年 1 月开始,第n个月该厂的生产总值是an万元,则an 1ananm%, an1 an 1m%. 数列 an 是首项a1a,公比q 1m%的等比数列 ana(1m%)n1. 2016年 8月底该厂的生产总值为 a20a(1m%)20 1a(1m
8、%)19(万元 ) 类题通法 数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系,建立数学模型是解决这 类问题的核心, 常用的方法有:构造等差、 等比数列的模型,然后用数列的通项公式或求 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 和公式解;通过归纳得到结论,再用数列知识求解 活学活用 (安徽高考 )如图,在等腰直角三角形ABC中,斜边BC22.过 点A作BC的垂线, 垂足为A1;过点A1作AC的垂线, 垂足为A2; 过点A2作A1C的垂线,垂足为A3;,依此类推设BAa1, AA1a2, A1A2a3,A5A6a7,则a7_. 解析:法一:直接递推归纳: 等腰直角三角形ABC中,斜边BC2
9、2, 所以ABACa12,AA1a22, A1A2a31,A5A6a7a1 2 2 6 1 4. 法二:求通项: 等腰直角三角形ABC中,斜边BC22, 所以ABACa12,AA1a22,An 1Anan 1 sin 4 an 2 2 an2 2 2 n, 故a72 2 2 6 1 4. 答案: 1 4 3.等差数列和等比数列的性质对比 等差数列和等比数列从文字看,只是一字之差, 但定义和性质相差甚远,下面对两类数 列的性质作一比对,若等差数列an的公差为d,等比数列 bn的公比为q. 【性质 1】等差数列 an ,当d0 时,数列为常数列,当d0 时,数列为递增数列; 当d 0 时,数列为递
10、减数列等比数列bn ,当q1,b10 或 0q1,b10 时,数列 bn是递增数列;当q1,b10 或 0q1,b1 0时,数列 bn 是递减数列;当q1 时, 数列 bn是常数列 例 1 设an是首项大于零的等比数列,且a1a2a3,则数列 an是_数列(填 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 “递增”“递减”或“摆动”) 解析 设数列 an 的公比为q(q0),因为a1a2a3,所以a1a1qa1q2,解得q1, 且a10,所以数列 an 是递增数列 答案 递增 【性质 2】等差数列 an 满足anam (nm)d(m,n N *),等比数列 bn 满足bn bmqnm(m,nN *
11、) (当m1 时,上述式子为通项公式) 例 2 已知 an为等差数列,且a3 6,a6 0,则 an的通项公式为_ 解析 a6a33d,则 0 63d,得d2, ana3(n3)d 6(n3)22n12. 答案 an 2n12 【性质3】若mnpq(m,n,p,qN * ),等差数列 an满足amanapaq,特 别地,若数列 an 是有穷等差数列,则与首末两项等距离的两项之和都相等,且等于首末两 项之和,即a1ana2an 1ai1ani (nN *) 等比数列 bn满足bmbnbpbq,特别地,数列bn是有穷数列,则与首末两项等距离的 两项的积相等,且等于首末两项之积,即b1bnb2bn
12、1b3bn2bmbnm1. 例 3 (1)等差数列 an的前n项和为Sn,若a3a1710,则S19的值是 ( ) A 55 B95 C100 D105 (2)在等比数列 an中,若a2a836,a3a715,则公比q值的个数可能为( ) A 1 B2 C3 D4 解析 (1)S19 19a1a19 2 19a3a17 2 19 10 2 95. (2)a2a8a3a7, 由 a3a736, a3a715, 解得a33,a712,或a312,a73. 若a33,a7 12,则有 12 3q4, q44, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 q22,q2. 若a312,a73,则有 312
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