高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和新人教A版必修.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2.5 等比数列的前n项和 第一课时等比数列的前n项和 (1)公比是 1的等比数列的前n项和如何计算? (2)能否根据首项、末项与项数求出等比数列的前n项和? (3)能否根据首项、公比与项数求出等比数列的前n项和? (4)等比数列前n项和的性质有哪些? 新知初探 1等比数列的前n项和公式 已知量首项a1与公比q 首项a1,末项an与公比q 公式 Sn na1q1, a11qn 1q q1 Sn na1q1, a1anq 1q q1 点睛 在应用公式求和时,应注意到Sn a11q n 1q 的使用条件为q1,而当q1 时应按常数列求和,即Snna1.
2、2等比数列前n项和的性质 (1)等比数列 an中,若项数为2n,则 S偶 S奇 q;若项数为2n1,则 S奇a1 S偶 q. (2)若等比数列 an的前n项和为Sn,则Sn,S2nSn,S3nS2n成等比数列 (其中Sn,S2n Sn,S3nS2n均不为0) (3)若一个非常数列an的前n项和SnAqnA(A0,q0,nN *),则数列 an为等比 数列,即SnAqnA(A0,q0,q1,nN *)? 数列 an为等比数列 小试身手 1判断下列命题是否正确(正确的打“” ,错误的打“”) (1)求等比数列 an的前n项和时可直接套用公式Sn a11qn 1q 来求 ( ) (2)首项为a的数列
3、既是等差数列又是等比数列,则其前n项和为Snna( ) (3)若某数列的前n项和公式为Snaq na (a0,q0 且q1,nN *),则此数列一 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 定是等比数列 ( ) 解析: (1)错误在求等比数列前n项和时,首先应看公比q是否为 1,若q 1,可直接 套用,否则应讨论求和 (2)正确若数列既是等差数列,又是等比数列,则是非零常数列,所以前n项和为Sn na. (3)正确根据等比数列前n项和公式Sn a11qn 1q (q0 且q1)变形为: Sn a1 1q a1 1qq n(q0 且 q1),若令a a1 1q, 则和式可变形为Snaaq n.
4、答案: (1)(2)(3) 2设等比数列an 的前n项和为Sn,已知a12,a24,那么S10等于 ( ) A 2 102 B292 C2102 D 2112 解析:选D 等比数列的公比q a2 a1 4 2 2,所以前10 项和S10 a11q10 1q 212 10 12 211 2,选 D. 3等比数列 an 中,公比q 2,S544,则a1的值为 ( ) A 4 B 4 C2 D 2 解析:选 A 由S5 a112 5 12 44, 得a14. 4设等比数列an 的公比q2,前n项和为Sn,则 S4 a2等于 ( ) A 2 B4 C. 15 2 D. 17 2 解析:选 C S4 a
5、2 a11q4 1q 1 a1q 1q4 1qq 15 2 . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 等比数列的前n项和公式的基本运算 典例 在等比数列 an中,公比为q,前n项和为Sn. (1)a18,an 1 4, Sn 63 4 ,求n; (2)S3 7 2, S6 63 2 ,求an及Sn. 解 (1)显然q1,由Sn a1anq 1q ,即 8 1 4q 1q 63 4 , q 1 2.又 ana1qn 1,即 8 1 2 n11 4, n6. (2)法一:由S62S3知q1,由题意得 a11q3 1q 7 2, a11q6 1q 63 2 , ,得1q39,q38,即q2. 代
6、入得a1 1 2, ana1qn 1 1 22 n12n2, Sna 11q n 1q 2n 1 1 2 . 法二:由S3a1a2a3,S6S3a4a5a6S3q3(a1a2a3)S3q 3S 3 (1q 3)S 3. 1q3 S6 S3 9, q38,即q2. 代入得a1 1 2, ana1qn 1 1 22 n12n2, Sna 11qn 1q 2n 1 1 2. 在等比数列 an的五个量a1,q,an,n,Sn中,a1与q是最基本的元素,当条件与结论 间的联系不明显时,均可以用a1与q表示an与Sn,从而列方程组求解,在解方程组时经常 用到两式相除达到整体消元的目的这是方程思想与整体思想
7、在数列中的具体应用 活学活用 已知a6a424,a3a564,求S8. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解:法一:由题意,得 a1q5a1q324, a1q2a1q464, 化简得 a1q3q2 124, a1q3 8, ,得q21 3,负值舍去, q24,q2 或q 2. 当q2 时,代入得a11. S8 a11q8 1q 255. 当q 2 时,代入得a1 1. S8 a11q8 1q 255 3 . 综上知S8255或 255 3 . 法二:由等比数列的性质得a3a5a 2 464,a4 8. 当a48 时,a6a424,a632,q2 a6 a44, q 2. 当a4 8 时
8、,a6a424,a616. q2 a6 a4 2,无解故 q 2. 当q2 时,a1 a4 q 31,S8 a11q8 1q 255. 当q 2 时,a1 a4 q 3 1,S8 a11q8 1q 255 3 . 综上知,S8255或 255 3 . 等比数列的前n项和的性质 典例 等比数列 an的前n项和Sn48, 前 2n项和S2n60, 则前 3n项和S3n_. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解 析 法 一 : 设 公 比 为q, 由 已 知 易 知q 1, 由 a11qn 1q 48, a11q2n 1q 60 ? qn 1 4, a1 1q64, 所以S3na 11q3n
9、 1q a1 1q1(q n)364 1 1 64 63. 法二:由Sn,S2nSn,S3nS2n成等比数列,得(S2nSn)2Sn(S3nS2n),即 (6048) 2 48(S3n60)?S3n63. 答案 63 运用等比数列求和性质解题时,一定要注意性质成立的条件否则会出现失误如Sn, S2nSn,S3nS2n成等比数列的前提是Sn,S2nSn,S3nS2n均不为 0. 活学活用 1设等比数列an 的前n项和为Sn,若 S6 S33,则 S9 S6( ) A 2 B.7 3 C. 8 3 D 3 解析:选 B 由等比数列的性质:S3,S6S3,S9S6仍成等比数列,于是,由S6 3S3,
10、 可推出S9S64S3,S97S3, S9 S6 7 3.故选 B. 2一个项数为偶数的等比数列an ,全部各项之和为偶数项之和的4 倍,前3 项之积 为 64,求数列的通项公式 解:设数列 an的首项为a1,公比为q,所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇,S偶, 由题意可知, S奇S偶4S偶,即S奇3S偶 因为数列 an的项数为偶数,所以有q S偶 S奇 1 3. 又因为a1a1qa1q2 64,所以a31q364,即a112,故所求通项公式为an 12 1 3 n 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1. 等比数列及其前n项和的综合应用 典例 (1)已知 an是等比数列,a22,a5
11、1 4 ,则a1a2a2a3anan 1( ) A 16(1 4n) B16(12 n) C. 32 3 (1 4n) D. 32 3 (12n) (2)设Sn为数列 an的前n项和,Sn (1)nan 1 2n, nN *,则 a3_; S1S2S100_. 解析 (1)由a5a2q3,得q 3 1 8 , 所以q 1 2,而数列 anan 1 也为等比数列, 首项a1a28,公比q2 1 4, 所以a1a2a2a3anan1 814n 1 1 4 32 3 (14n) (2)anSnSn 1 (1)nan 1 2n(1) n 1a n1 1 2n 1(n2), an(1)nan(1)n 1
12、an1 1 2n. 当n为偶数时,an 1 1 2 n, 当n为奇数时, 2anan 1 1 2n, 当n4 时,a3 1 24 1 16. 根据以上 an的关系式及递推式可求得 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 a1 1 2 2,a3 1 2 4,a5 1 2 6, a7 1 2 8, a2 1 2 2,a4 1 24, a6 1 26, a8 1 28. a2a1 1 2,a 4a3 1 23, a6a5 1 25, S1S2S100(a2a1)(a4a3) (a100a99) 1 2 1 22 1 23 1 2100 1 2 1 2 3 1 299 1 2 1 22 1 2 10
13、0 1 3 1 21001 . 答案 (1)C (2) 1 16 1 3 1 2 1001 求解数列综合问题的步骤 (1)分析题设条件 (2)分清是an与an 1的关系,还是an与Sn的关系 (3)转化为等差数列或等比数列,特别注意anSnSn1(n2,n为正整数 )在an与Sn的 关系中的应用 (4)整理求解 活学活用 1公差不为0 的等差数列 an的部分项ak1,ak2,ak3,构成等比数列,且k11,k2 2,k36,则k4_. 解析:设等差数列an 的公差为d, 因为a1,a2,a6成等比数列,所以a22a1a6, 即(a1d)2a1(a1 5d), 所以d3a1,所以a24a1,所以
14、等比数列ak1,ak2,ak3,的公比q 4, 所以ak4a1q 3a 1 4 3 64a 1. 又ak4a1(k41)da1(k41)(3a1), 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 所以a1(k4 1)(3a1)64a1,a1 0, 所以 3k4264,所以k422. 答案: 22 2(浙江高考 )设数列 an的前n项和为Sn,已知S24,an 12Sn1,nN *. (1)求通项公式an; (2)求数列 |ann2| 的前n项和 解: (1)由题意得 a1a24, a22a11, 则 a11, a23. 又当n2 时,由an 1an(2Sn1)(2Sn 11)2an,得an13an
15、, 所以数列 an的通项公式为an3n1,nN *. (2)设bn|3 n1n2| ,nN*,则 b12,b21. 当n3 时,由于 3n 1n2,故bn 3 n 1 n2,n3. 设数列 bn的前n项和为Tn,则T12,T23, 当n3 时,Tn3 913n2 13 n 7n2 2 3nn25n11 2 ,因为当n2 时,也符合Tn 3 n n2 5n11 2 . 所以Tn 2,n1, 3nn 25n11 2 ,n2,nN *. 层级一学业水平达标 1 设an是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和,若Sn是等差数列, 则q等于 ( ) A 1 B0 C1 或 0 D 1 解析:选 A 因为
16、SnSn 1an,又Sn是等差数列,所以an为定值,即数列an为常数 列,所以q an an11. 2 已知数列 an是公比为3 的等比数列, 其前n项和Sn3nk(nN *), 则实数 k为( ) A 0 B1 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 C 1 D 2 解析:选 C 由数列 an 的前n项和Sn3 n k(nN *), 当n1 时,a1S13k; 当n2 时, anSnSn13nk(3n1k) 23n1. 因为数列 an是公比为3 的等比数列,所以a123 113 k,解得k 1. 3已知等比数列的公比为2,且前 5 项和为 1,那么前10 项和等于 ( ) A 31 B33
17、 C35 D 37 解析:选 B 根据等比数列性质得 S10S5 S5 q5, S101 1 25,S1033. 4已知等比数列an的前n项和为Sn,a1a3 5 2,且 a2a4 5 4,则 Sn an( ) A 4 n 1 B4n1 C2n 1D 2 n 1 解析:选 D 设等比数列 an的公比为q, 则 a11q2 5 2, a1q1q2 5 4, 解得 a12, q 1 2, Sn an a11qn 1q a1qn 1 2 1 1 2 n 1 1 2 2 1 2 n1 2n1.故选 D. 5等比数列 an 的前n项和为Sn,S52,S106,则a16a17a18a19a20等于 ( )
18、 A 8 B12 C16 D 24 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析:选 C 设等比数列 an 的公比为q,因为S2nSnqnSn,所以S10S5q 5S 5,所以 62 2q5,所以q52,所以a16a17a18a19a20a1q15a2q15a3q15a4q 15 a5q15q15(a1 a2a3a4a5)q15S52 32 16. 6 等比数列 an共有 2n项, 它的全部各项的和是奇数项的和的3倍, 则公比q_. 解析:设 an的公比为q,则奇数项也构成等比数列,其公比为q2,首项为a1, 偶数项之和与奇数项之和分别为S偶,S奇, 由题意S偶S奇3S奇, 即S偶2S奇,
19、因为数列 an的项数为偶数, 所以q S偶 S奇 2. 答案: 2 7等比数列 an中,若a1a3a99150,且公比q2,则数列 an 的前 100项和为 _ 解析:由 a2a4a100 a1a3a99 q,q2,得 a2a4a100 150 2?a2a4a100300,则 数列 an 的前 100项的和S100(a1a3a99) (a2a4a100)150300 450. 答案: 450 8 在等比数列 an中,a1a2a610, 1 a1 1 a2 1 a65, 则 a1a2 a6_. 解析:由等比数列的前n项和公式,a1a2a6 a1a6q 1q 10, 1 a1 1 a2 1 a6
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