高中数学第二章概率1离散型列教学案北师大版选修28.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1 离散型随机变量及其分布列 对应学生用书P20 离散型随机变量 (1)掷一枚均匀的骰子,出现的点数 (2)在一块地里种下10 颗树苗,成活的棵数 (3)一个袋中装有10 个红球, 5 个白球,从中任取4 个球,所含红球的个数 问题 1:上述现象有何特点? 提示:各现象的结果都可以用数表示 问题 2:现象 (3)中红球的个数x取什么值? 提示:x0,1,2,3,4. 问题 3:掷一枚硬币,可能出现正面向上,反面向上,其结果能用数字表示吗? 提示:可以,如用数1 和 0 分别表示正面向上和反面向上 1随机变量 将随机现象中试验(或观测 )的每一个可能的
2、结果都对应于一个数,这种对应称为一个随 机变量,通常用大写的英文字母X,Y来表示 2离散型随机变量 如果随机变量X的所有可能的取值都能够一一列举出来,这样的随机变量称为离散型 随机变量 . 离散型随机变量的分布列 1抛掷一枚均匀的骰子,用X表示骰子向上一面的点数 问题 1:X的可能取值是什么? 提示:X1,2,3,4,5,6. 问题 2:X取不同值时,其概率分别是多少? 提示:都等于 1 6 . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 问题 3:试用表格表示X和P的对应关系 提示: X 123456 P 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 问题 4:试求概率和 提示:其和等于1.
3、 1离散型随机变量的分布列的定义 设离散型随机变量X的取值为a1,a2,随机变量X取ai的概率为pi(i1,2, ),记作: P(Xai)pi(i1,2, ),(1) 或把上式列成表 Xaia1a2 P(Xai)p1p2 上表或 (1)式称为离散型随机变量X的分布列 2离散型随机变量的性质 (1)pi0;(2)p1p2p3 1. 1随机试验中,确定了一个对应关系,使每一个试验结果用一个确定的数字表示,这 些数字随着试验结果的变化而变化,称为随机变量 2判断一个随机变量是否为离散型随机变量关键是看随机变量的所有可能取值能否一 一列出 3求离散型随机变量的分布列关键是搞清随机变量所取的所有可能值,
4、以及对应的概 率 对应学生用书P21 随机变量的概念 例 1 写出下列各随机变量可能的取值,并说明随机变量所取的值所表示的随机试验 的结果: 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (1)从一个装有编号为1 号到 10 号的 10个球的袋中, 任取 1 球, 被取出的球的编号为X; (2)一个袋中装有10 个红球, 5 个白球,从中任取4 个球,其中所含红球的个数为X; (3)投掷两枚骰子,所得点数之和为X. 思路点拨 把随机变量的取值一一列举出来,再说明每一取值与试验结果的对应关系 精解详析 (1)X的可能取值为1,2,3 ,10,Xk(k1,2,10)表示取出第k号球 (2)X的可能取值
5、为0,1,2,3,4.Xk表示取出k个红球, (4k)个白球,其中k0,1,2,3,4. (3)X的可能取值为2,3,4, 12.若以 (i,j)表示投掷甲、乙两枚骰子后,骰子甲得i点, 且骰子乙得j点,则X2 表示 (1,1);X 3表示 (1,2),(2,1);X4 表示 (1,3),(2,2),(3,1); X12 表示 (6,6) 一点通 解答此类问题的关键在于明确随机变量所有可能的取值,以及取每一个值时 对应的意义, 即随机变量的一个取值可能对应一个或多个随机试验的结果,解答过程不要漏 掉某些试验结果 1下列变量中属于离散型随机变量的有_ 在 2 014张已编号的卡片(从 1 号到
6、2 014 号)中任取一张,被取出的编号数为X; 连续不断射击,首次命中目标需要的射击次数X; 从 2 014张已编号的卡片(从 1 号到 2 014 号)中任取 3 张,被取出的卡片的号数和X; 某工厂加工的某种钢管,外径与规定的外径尺寸之差X; 投掷一枚骰子,六面都刻有数字6,所得的点数X. 解析:中变量X的所有可能取值是可以一一列举出来的,是离散型随机变量 中X的取值为某一范围内的实数,无法全部列出,不是离散型随机变量中X的取值确 定,是 6,不是随机变量 答案: 2在 8 件产品中,有3 件次品, 5 件正品,从中任取一件,取到次品就停止,设抽取 次数为X,则X3 表示的试验结果是_
7、解析:X3 表示前 2次均是正品,第3次是次品 答案:共抽取3 次,前 2 次均是正品,第3 次是次品 3抛掷两枚骰子各一次,记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X, 试求X的集合,并说明“X4”表示的试验结果 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解:设第一枚骰子掷出的点数为x,第二枚骰子掷出的点数为y,其中x,y1,2,3,4,5,6. 依题意得Xxy. 则 5X 5, 即X的集合为 5, 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5 则X4?X 5,表示x 6,y1, 即第一枚骰子掷出6 点,第二枚骰子掷出1 点 离散型随机变量分布列的性质 例 2 已知随机变量X的分布
8、列: Xi 12345 P(Xi) 1 10 3 10 a 1 10 1 10 (1)求a; (2)求P(X4),P(2X5) 思路点拨 (1)利用分布列中所有概率和为1 的性质求解 (2)借助互斥事件概率求法求解 精解详析 (1)由 1 10 3 10 a 1 10 1 10 1, 得a 2 5. (2)P(X4)P(X4)P(X 5) 1 10 1 10 1 5, P(2X5)P(X2)P(X3)P(X4) 3 10 2 5 1 10 4 5 . 一点通 利用分布列的性质解题时要注意以下两个问题: (1)X的各个取值表示的事件是互斥的 (2)p1p2 1,且pi0,i1,2, . 积一时之
9、跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 4设随机变量X的分布列为P(Xi)a 1 3 i, i1,2,3,则a的值为 ( ) A 1 B. 9 13 C. 11 13 D. 27 13 解析:由分布列的性质,知P(X1)P(X 2)P(X 3)a 1 3 a 1 3 2 a 1 3 3 13 27 a 1.a 27 13. 答案: D 5设随机变量X的分布列为P(Xk) k 10 ,k1,2,3,4. 求: (1)P(X1 或X2); (2)P 1 2 X 7 2 . 解:P(Xk) k 10, k1,2,3,4, (1)P(X1 或X2)P(X1)P(X2) 1 10 2 10 3 10. (2)
10、P 1 2 X 7 2 P(X 1或X2 或X3) 1P(X4)1 4 10 6 10 3 5. 离散型随机变量的分布列 例 3 (10 分)袋中装有编号为1 6的同样大小的6个球,现从袋中随机取3 个球,设 X表示取出3 个球中的最大号码,求X的分布列 思路点拨 先确定X的所有可能取值,然后分别求出X取各值时的概率即可 精解详析 根据题意,随机变量X的所有可能取值为3,4,5,6. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 X 3,即取出的3 个球中最大号码为3,其他 2 个球的号码为1,2.所以,P(X3) C22 C3 6 1 20; (2 分) X 4,即取出的3 个球中最大号码为4,
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