高中数学第二章概率4二项分布教学案北师大版选修2294.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 4 二项分布 对应学生用书P28 某篮球运动员进行了3 次投篮,假设每次投中的概率都为 4 5,且各次投中与否是相互独 立的,用X表示这 3 次投篮投中的次数,思考下列问题 问题 1:如果将一次投篮看成做了一次试验,那么一共进行了多少次试验?每次试验有 几个可能的结果? 提示: 3 次,每次试验只有两个相对立的结果投中(成功 ),未投中 (失败 ) 问题 2:X0 表示何意义?求其概率 提示:X0 表示 3 次都没投中,只有C031 种情况,P(X0)C03 1 5 3. 问题 3:X2 呢? 提示:X2表示 3 次中有 2 次投中, 有 C233
2、种情况, 每种情况发生的可能性为 4 5 2 1 5 . 从而P(X2)C23 4 5 2 1 5. 二项分布 进行n次试验,如果满足以下条件: (1)每次试验只有两个相互对立的结果,可以分别称为“成功”和“失败”; (2)每次试验“成功”的概率均为p, “失败”的概率均为1p; (3)各次试验是相互独立的 用X表示这n次试验中成功的次数,则 P(Xk) Ck np k(1 p)n k(k0,1,2, n) 若一个随机变量X的分布列如上所述,称X服从参数为n,p的二项分布,简记为X B(n,p) 1P(Xk)Cknpk(1p)nk.这里n为试验次数,p为每次试验中成功的概率,k为n 积一时之跬
3、步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 次试验中成功的次数 2判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有三:其一是对立性,即一次试验中, 事件发生与否, 二者必居其一;其二是重复性,即试验重复地进行了n次;其三是各次试验 相互独立 对应学生用书P28 服从二项分布的随机变量的概率计算 例 1 在人寿保险事业中,很重视某一年龄段的投保人的死亡率假如每个投保人能 活到 70 岁的概率为0.6,试问 3 个投保人中: (1)全部活到70岁的概率; (2)有 2 个活到 70 岁的概率; (3)有 1 个活到 70 岁的概率 思路点拨 每人能否活到70 岁是相互独立的,利用二项分布公式可求 精解详析 设 3个投
4、保人中活到70 岁的人数为X, 则XB(3,0.6), 故P(Xk) C k 30.6 k (1 0.6)3k(k 0,1,2,3) (1)P(X3)C330.6 3(10.6)00.216; 即全部活到70 岁的概率为0.216. (2)P(X2)C2 30.6 2(10.6) 0.432. 即有 2 个活到 70 岁的概率为0.432. (3)P(X1)C130.6(10.6)2 0.288. 即有 1 个活到 70 岁的概率为0.288. 一点通 要判断n次试验中A发生的次数X是否服从二项分布, 关键是看试验是否为 独立重复试验,独立重复试验的特点为: (1)每次试验是在相同的条件下进行
5、的; (2)每次试验的结果不会受其他试验的影响,即每次试验是相互独立的; (3)基本事件的概率可知,且每次试验保持不变; (4)每次试验只有两种结果,要么发生,要么不发生 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次,出现“ 3 个正面, 1 个反面”的概率是( ) A. 1 2 B. 3 8 C. 2 5 D. 1 4 解析:由题意,出现正面的次数XB4, 1 2 , 出现 3 个正面 1 个反面的概率为P(X3)C34 1 2 3 1 2 1 4. 答案: D 2甲每次投资获利的概率是p0.8,对他进行的6 次相互独立的投资,计算: (1)有 5 次获利的概
6、率; (2)6 次都获利的概率 解:用X表示甲在6 次投资中获利的次数,则X服从二项分布B(6,0.8),且 (1)P(X5)C560.8 5(1 0.8)0.39, 他 5 次获利的概率约等于0.39. (2)P(X6)C660.8 6 0.26. 他 6 次都获利的概率约等于0.26. 3甲、乙两人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为 1 2,乙每次击中目标的概率为 2 3,求: (1)甲恰好击中目标2 次的概率; (2)乙至少击中目标2 次的概率; (3)乙恰好比甲多击中目标2次的概率 解: (1)甲恰好击中目标2 次的概率为C23 1 2 33 8. (2)乙至少击中目标2 次的概率
7、为 C23 2 3 2 1 3 C33 2 3 320 27. (3)设乙恰好比甲多击中目标2 次为事件A, 乙恰好击中目标2 次且甲恰好击中目标0 次 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 为事件B1,乙恰好击中目标3 次且甲恰好击中目标1 次为事件B2,则AB1B2,B1,B2 为互斥事件 P(A)P(B1)P(B2) C2 3 2 3 21 3 C0 3 1 2 3C3 3 2 3 3C1 3 1 2 3 1 18 1 9 1 6 . 服从二项分布的随机变量的分布列 例 2 (12 分)从学校乘车到火车站的途中有三个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的 事件是相互独立的,并且概率都是
8、2 5,设 X为途中遇到红灯的次数求 (1)随机变量X的分布列; (2)这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率 思路点拨 求随机变量的分布列,首先应根据题目中的条件确定离散型随机变量的取 值,然后再求随机变量取各个值的概率 精解详析 (1)由题意XB3, 2 5 , 则P(X0)C0 3 2 5 0 3 5 3 27 125, (3 分) P(X1) C13 2 5 1 3 5 2 54 125 ,(4 分) P(X2) C23 2 5 2 3 5 1 36 125 ,(5 分) P(X3) C3 3 2 5 3 3 5 0 8 125 . (6 分) X的分布列为 Xk 0123 P(Xk)
9、27 125 54 125 36 125 8 125 (8 分) (2)由题意知,“至少遇到一次红灯”的对立事件是“一次红灯都没有遇到”因此有 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 P(X1) 1P(X0)1 27 125 98 125 . (12 分) 一点通 解决这类问题一般步骤: (1)判断所述问题是否是相互独立试验;(2)建立二项分布模型;(3)求出相应概率;(4)写 出分布列 4设某批电子手表正品率为 3 4,次品率为 1 4,现对该批电子手表进行测试,设第 X次首 次测到正品,则P(X 3)等于 ( ) AC23 1 4 2 3 4 BC23 3 4 2 1 4 C. 1 4
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