高中数学第二章概率5第一课时离散型随机变量的均值教学案北师大版选修2298.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 第一课时离散型随机变量的均值 对应学生用书P31 求离散型随机变量的均值 例 1 (重庆高考 )某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一次摸奖中,摸奖者 先从装有3 个红球与4 个白球的袋中任意摸出3 个球,再从装有1 个蓝球与2 个白球的袋中 任意摸出1 个球,根据摸出4 个球中红球与蓝球的个数,设一、二、三等奖如下: 奖级摸出红、蓝球个数获奖金额 一等奖3 红 1 蓝200 元 二等奖3 红 0 蓝50 元 三等奖2 红 1 蓝10 元 其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级 (1)求一次摸奖恰好摸到1 个红球的概率; (2)求摸奖者在一
2、次摸奖中获奖金额X的分布列与数学期望EX. 思路点拨 (1)利用古典概型结合计数原理直接求解 (2)先确定离散型随机变量的取值,求出相应的概率分布,进一步求出随机变量的期望 值 精解详析 设Ai表示摸到i个红球,Bj表示摸到j个蓝球,则Ai(i0,1,2,3) 与Bj(j0,1) 独立 (1)恰好摸到1 个红球的概率为P(A1) C13C24 C3 7 18 35. (2)X的所有可能值为0,10,50,200 ,且 P(X200)P(A3B1)P(A3)P(B1) C33 C3 7 1 3 1 105, P(X50)P(A3B0)P(A3)P(B0) C33 C3 7 2 3 2 105 ,
3、 P(X10)P(A2B1)P(A2)P(B1) C23C14 C37 1 3 12 105 4 35, P(X0) 1 1 105 2 105 4 35 6 7. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 综上知,X的分布列为 X 01050200 P 6 7 4 35 2 105 1 105 从而有EX0 6 710 4 3550 2 105200 1 105 4(元) 一点通 求离散型随机变量X的均值的步骤 (1)理解X的意义,写出X可能取的全部值; (2)求X取每个值的概率; (3)写出X的分布列 (有时可以省略 ); (4)利用定义公式EXx1p1x2p2xnpn,求出均值 1(广东
4、高考 )已知离散型随机变量X的分布列为 X 123 P 3 5 3 10 1 10 则X的数学期望EX( ) A. 3 2 B2 C. 5 2 D3 解析:EX1 3 52 3 103 1 10 15 10 3 2. 答案: A 2某高等学院自愿献血的20位同学的血型分布情形如下表: 血型A B AB O 人数8732 (1)现从这 20 人中随机选出两人,求两人血型相同的概率; (2)现有 A 血型的病人需要输血,从血型为A、O 的同学中随机选出2 人准备献血,记 选出 A 血型的人数为X,求随机变量X的数学期望EX. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解: (1)从 20 人中选出
5、两人的方法数为C220190, 选出两人同血型的方法数为C28C27C23C2253, 故两人血型相同的概率是 53 190. (2)X的取值为0,1,2, P(X0) C22 C210 1 45, P(X1) C18C12 C210 16 45, P(X2) C28 C210 28 45. X的分布列为 X 012 P 1 45 16 45 28 45 EX 1 450 16 45 1 28 452 72 45 8 5. 二项分布及超几何分布的均值 例 2 甲、乙两人各进行3 次射击,甲每次击中目标的概率为 1 2,乙每次击中目标的概 率为 2 3,记甲击中目标的次数为 X,乙击中目标的次数
6、为Y,求 (1)X的概率分布; (2)X和Y的数学期望 思路点拨 甲、乙击中目标的次数均服从二项分布 精解详析 (1)P(X0)C0 3 1 2 31 8, P(X1) C13 1 2 3 3 8 , P(X2) C 2 3 1 2 3 3 8 , 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 P(X3) C3 3 1 2 3 1 8 . 所以X的概率分布如下表: X 0123 P 1 8 3 8 3 8 1 8 (2)由题意XB3, 1 2 ,YB3, 2 3 , EX3 1 21.5, EY3 2 32. 一点通 如果随机变量X服从二项分布即XB(n,p),则EXnp;如果随机变量X 服从参数
7、为N,M,n的超几何分布时,则EXn M N ,以上两特例可以作为常用结论,直接 代入求解,从而避免了繁杂的计算过程 3若随机变量XB n, 1 2 ,EX2,则P(X1)等于 _ 解析:由XB n, 1 2 EXn 1 2 2, n4,P(X1)C14 1 2 1 1 2 3 1 4. 答案: 1 4 4袋中有7 个球,其中有4 个红球, 3 个黑球,从袋中任取3 个球,以X表示取出的 红球数,则EX为_ 解析:由题意知随机变量X服从N7,M4,n3 的超几何分布,则EX3 4 7 12 7 . 答案: 12 7 5(浙江高考 )已知箱中装有4 个白球和5 个黑球,且规定:取出一个白球得2
8、分,取出 一个黑球得1 分现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3 个球,记随机变量X 为取出此3 球所得分数之和 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (1)求X的分布列; (2)求X的数学期望EX. 解: (1)由题意得X取 3,4,5,6 ,且 P(X3) C35 C39 5 42, P(X4) C14C25 C39 10 21, P(X5) C24C15 C39 5 14, P(X6) C34 C39 1 21. 所以X的分布列为 X 3456 P 5 42 10 21 5 14 1 21 (2)由(1)知EX3P(X3)4P(X4) 5P(X5)6P(X6) 13 3 .
9、 数学期望的实际应用 例 3 某商场准备在“五一”期间举行促销活动根据市场行情,该商场决定从3 种 服装商品、 2 种家电商品、 4 种日用商品中,选出3 种商品进行促销活动 (1)试求选出的3 种商品中至少有一种是日用商品的概率; (2)商场对选出的家电商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品成本价的基础上提 高 180元作为售价销售给顾客,同时允许顾客有3 次抽奖的机会,若中奖一次,就可以获得 一次奖金假设顾客每次抽奖时获奖的概率都是 1 2,且每次获奖时的奖金数额相同,请问: 该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为多少元,此促销方案才能使商场自己不亏本? 思路点拨 (1)利用间接法求概率;
10、(2)先求中奖的期望,再列不等式求解 精解详析 (1)设选出的3 种商品中至少有一种是日用商品为事件A, 则P(A)1 C35 C3 9 37 42 . 即选出的 3 种商品中至少有一种是日用商品的概率为 37 42. (4 分) (2)设顾客抽奖的中奖次数为X,则X0,1,2,3,于是 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 P(X0) 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 8 , P(X1) C13 1 1 2 2 1 2 3 8, P(X2) C 2 3 1 1 2 1 2 23 8, P(X3) 1 2 1 2 1 2 1 8, 顾客中奖的数学期望 EX0 1 81 3 82 3
11、8 3 1 81.5. (10 分) 设商场将每次中奖的奖金数额定为x元,则 1.5x 180,解得x120, 即该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为120元,才能使自己不亏本(12 分) 一点通 处理与实际问题有关的均值问题,应首先把实际问题概率模型化,然后利用 有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小,并写出分布列, 最后利用有关的公式求出 相应的概率及均值 6(湖南高考 )某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为 2 3和 3 5, 现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B,设甲、乙两组的研发相互独立 (1)求至少有一种新产品研发成功的概率; (2)若新产品A研发成功
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- 高中数学 第二 概率 第一 课时 离散 随机变量 均值 教学 北师大 选修 2298
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