高中数学第二章点2.2.3直线与平面2.2.4平面与平面平行的性质学案含解析新人教A版必修7.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 22.3 & 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质 直线与平面平行的性质 提出问题 将一本书打开,扣在桌面上,使书脊所在的直线与桌面平行,观察过书脊的每页纸和桌 面的交线与书脊的位置 问题 1:上述问题中,书脊与每页纸和桌面的交线有何位置关系? 提示:平行 问题 2:每页纸与桌面的交线之间有何关系? 提示:平行 问题 3:书脊所在的直线与桌面上任何直线都平行吗? 提示:不一定平行或异面 导入新知 线面平行的性质定理 (1)文字语言:一条直线与一个平面平行,则 过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 (2)图形语言: (3)符号语言:
2、a a? b ?ab (4)作用:线面平行? 线线平行 化解疑难 对线面平行性质定理的理解 (1)如果直线a平面,在平面内,除了与直线a平行的直线外,其余的任一直线都与a 是异面直线 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)线面平行的性质定理的条件有三个:直线a与平面平行,即a;平面,相交 于一条直线,即b;直线a在平面内,即a?.三个条件缺一不可 (3)线面平行的性质定理体现了数学的化归思想,线面平行转化为线线平行. 面面平行的性质 提出问题 2010 年在上海举行的世界博览会给全世界的游客留下了深刻的印象,作为东道主的中国 国家馆被永久保留,成为上海市的又一标志性建筑中国国家馆表达
3、了“东方之冠,鼎盛中 华,天下粮仓,富庶百姓”的中国文化的精神与气质,展馆共分三层,这三层给人以平行平 面的感觉 问题 1:展馆的每两层所在的平面平行,那么上层面上任一直线状物体与下面地面有何位 置关系? 提示:平行 问题 2:上层面上任何一直线状物体与下层面上任何一直线状物体有何位置关系? 提示:平行或异面 问题 3:上下两层所在的平面与侧墙所在平面分别相交,它们的交线是什么位置关系? 提示:平行 导入新知 面面平行的性质定理 (1)文字语言:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行 (2)图形语言: (3)符号语言: a b ?ab 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理
4、 (4)作用:面面平行? 线线平行 化解疑难 对面面平行性质定理的理解 (1)面面平行的性质定理的条件有三个: ;a;b. 三个条件缺一不可 (2)定理的实质是由面面平行得线线平行,其应用过程是构造与两个平行平面都相交的一 个平面,由其结论可知定理可用来证明线线平行 (3)面面平行的性质定理的推证过程应用了平行线的定义 线面平行的性质及应用 例 1 如图所示,已知三棱锥A-BCD被一平面所截,截面为?EFGH,求证:CD平面 EFGH. 解 证明:四边形EFGH为平行四边形, EFGH. 又GH? 平面BCD,EF? 平面BCD, EF平面BCD. 而平面ACD平面BCDCD,EF? 平面AC
5、D, EFCD. 又EF? 平面EFGH,CD? 平面EFGH, CD平面EFGH. 类题通法 运用线面平行的性质定理时,应先确定线面平行,再寻找过已知直线的平面与平面相交 的交线,然后确定线线平行证题过程应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系 活学活用 在长方体ABCD-ABCD中, 点PBB (不与B,B重合 )PABAM,PC 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 BCN,求证:MN平面ABCD. 证明:如图所示, 连接AC,AC, ABCD-ABCD是长方体, ACAC . 又AC? 平面BAC, AC? 平面BAC, AC平面BAC. 又平面PAC过AC与平面BAC交于MN,
6、 MNAC. MN? 平面ABCD,AC? 平面ABCD, MN平面ABCD. 面面平行的性质及应用 例 2 如图所示,两条异面直线BA,DC与两平行平面,分别交于B,A和D,C,M, N分别是AB,CD的中点求证:MN平面. 解 证明:过A作AECD交平面于点E,取AE的中点P, 连接MP,PN,BE,ED,AC. AECD,AE,CD确定平面AEDC. 则平面AEDCDE, 平面AEDCAC. ,ACDE. 又P,N分别为AE,CD的中点, PNDE.PN?,DE?,PN. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 又M,P分别为AB,AE的中点, MPBE.又MP?,BE?, MP.MP
7、,PN? 平面MPN,且MPPNP, 平面MPN. 又MN? 平面MPN,MN平面. 类题通法 1把握面面平行性质定理的关键 (1)成立的条件:两平面平行,第三个平面与这两个平面均相交 (2)定理的实质:面面平行? 线线平行,体现了转化思想与判定定理交替使用,可实现线 面、线线、面面平行间的相互转化 2面面平行的性质定理的几个推论 (1)两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面 (2)夹在两平行平面间的平行线段相等 (3)经过平面外的一点有且只有一个平面与已知平面平行 (4)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例 活学活用 如图所示,在矩形ABCD中,E为AB上一点
8、,将B点沿线段EC折起至点P,连接PA, PC,PD,取PD中点F,若有AF平面PEC,试确定E点的位置 解:取PC的中点G,连接GE,GF.如图 由条件知GFCD,EACD, GFEA,则G,E,A,F四点共面 AF平面PEC,平面GEAF平面PECGE, AFGE.四边形GEAF为平行四边形 GF 1 2CD, EA 1 2CD 1 2BA, E为AB的中点 . 线面平行和面面平行的综合问题 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 例 3 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中 (1)求证:平面AB1D1平面C1BD; (2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E
9、,F,并证明:A1EEFFC. 解 (1)证明:因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AD綊B1C1,所以四边形AB1C1D是平 行四边形,所以AB1C1D. 又因为C1D? 平面C1BD,AB1? 平面C1BD, 所以AB1平面C1BD. 同理B1D1平面C1BD. 又因为AB1B1D1B1, AB1? 平面AB1D1,B1D1? 平面AB1D1, 所以平面AB1D1平面C1BD. (2)如图,连接A1C1交B1D1于点O1,连接AO1与A1C交于点E. 又因为AO1? 平面AB1D1,所以点E也在平面AB1D1内, 所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点; 连接AC交BD于O,连接C
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