高中数学第二章空间向量与立体几何2.3向量的坐标表示和空间向量基本定理教学案.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3 向量的坐标表示和空间向量基本定理 31 & 3.2 空间向量的标准正交分解与坐标表示空间向量基本定理 对应学生用书P22 空间向量的标准正交分解与坐标表示 学生小李参加某大学自主招生考试,在一楼咨询处小李得知:面试地点由此向东10 m, 后向南 15 m,然后乘 5 号电梯到位于6楼的 2 号学术报告厅参加面试设e1是向东的单位 向量,e2是向南的单位向量,e3是向上的单位向量 问题 1:e1,e2,e3有什么关系? 提示:两两垂直 问题 2:假定每层楼高为3 m,请把面试地点用向量p表示 提示:p10e115e215e3. 标准正交基与向量坐标
2、 (1)标准正交基: 在给定的空间直角坐标系中,x轴、y轴、z轴正方向的单位向量i, j,k叫作标准正交基 (2)标准正交分解: 设i,j,k为标准正交基,对空间任意向量a,存在唯一一组三元有序实数(x,y,z),使 得axiyjzk,叫作a的标准正交分解 (3)向量的坐标表示: 在a的标准正交分解中三元有序实数(x,y,z)叫作空间向量a的坐标,a(x,y,z)叫作 向量a的坐标表示 (4)向量坐标与投影: i,j,k为标准正交基,axiyjzk,那么aix,ajy,akz.把x,y,z分 别称为向量a在x轴、y轴、z轴正方向上的投影 向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影 一般地,若b0为
3、b的单位向量,则称ab0 |a|cosa,b为向量a在向量b上的 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 投影 . 空间向量基本定理 空间中任给三个向量a,b,c. 问题 1:什么情况下,向量a,b,c可以作为一个基底? 提示:它们不共面时 问题 2:若a,b,c是基底,则空间任一向量v都可以由a,b,c表示吗? 提示:可以 如果向量e1,e2,e3是空间三个不共面的向量,a是空间任一向量,那么存在唯一一组 实数 1,2,3使得a1e12e23e3. 其中e1,e2,e3叫作这个空间的一个基底 a 1e12e23e3表示向量 a关于基底e1,e2,e3的分解 空间向量基本定理表明,用空间三个
4、不共面的已知向量a,b,c可以表示出空间任一向 量;空间中的基底是不唯一的,空间任意三个不共面的向量均可作为空间向量的基底 对应学生用书P23 空间向量的坐标表示 例 1 如图,在空间直角坐标系中,有长方体ABCDABCD,AB 3,BC 4,AA 6. (1)写出C的坐标,给出AC uuuu r 关于i,j,k的分解式; 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)求BD uuur 的坐标 思路点拨 (1)C的坐标 (也是AC uuuu r 的坐标 ),即为C在x轴、y轴、z轴正方向上的 投影,即 |OD| ,|OB|OA|. (2)写出BD uuur 关于i,j,k的分解式,即可求得B
5、D uuur 的坐标 精解详析 (1)AB3,BC4,AA 6, C的坐标为 (4,3,6) AC uuu u r (4,3,6) 4i 3j6k. (2)BD uuur AD uuu u r AB uuu r . AD uuu u r AD uuu r AA uuur 4i6k, BD uuur AD uuu u r AB uuu r AB uuu r AD uuu r AA uuur 4i3j 6k, BD uuur (4, 3,6) 一点通 1建立恰当的空间直角坐标系是准确表达空间向量坐标的前提,应充分利用已知图形 的特点,寻找三条两两垂直的直线,并分别为x,y,z轴进行建系 2若表示向
6、量AB uuu r 的坐标,只要写出向量AB uuu r 关于i,j,k的标准正交分解式,即可得 坐标 1 在如图所示的空间直角坐标系中,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,B1E1 1 4A 1B1, 则 1 DE uuuu r 的坐标为 _ 解析:显然D为原点,设E1(x,y,z), 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 易知x1,y 3 4, z 1, 1 DE uuuu r 1, 3 4 ,1. 答案:1, 3 4,1 2已知点A的坐标是 (1,2, 1),且向量OC uuu r 与向量OA uuu r 关于坐标平面xOy对称,向量 OB uuu r 与向量OA uu u r
7、 关于x轴对称,求向量OC uuu r 和向量OB uuu r 的坐标 解:如图,过A点作AM平面xOy于M,则直线AM过点C,且CM AM,则点C的坐标为 (1,2,1),此时OC uuu r (1,2,1),该向量与OA uuu r (1,2, 1)关于平面xOy对称 过A点作ANx轴于N,则直线AN过点B,且BNAN,则B(1, 2,1),此时OB uuu r (1, 2,1),该向量与OA uuu r 关于x轴对称 3.在直三棱柱ABOA1B1O1中,AOB 2,AO 4,BO2,AA1 4,D为A1B1的中点,在如图所示的空间直角坐标系中,求DO uuu r , 1 A B uuu
8、u r 的坐标 解: (1)DO uuu r OD uuu r ( 1 OO uuuu r 1 O D uuuu r ) 1 OO uuuu r 1 2( OA uu u r OB uuu r ) 1 OO uuuu r 1 2 OA uuu r 1 2 OB uuu r 4k2ij. DO uuu r (2, 1, 4) (2) 1 A B uuu u r OB uuu r 1 OA uuur OB uuu r (OA uuu r 1 AA uuu u r ) OB uuu r OA uu u r 1 AA uuu u r 2j4i4k. 1 A B uuu u r (4,2, 4) 向量a
9、在b上的投影 例 2 如图,已知单位正方体ABCDABCD. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (1)求向量CA uuu r 在CD uuu r 上的投影; (2)DC uuu r 是单位向量,且垂直于平面ADDA,求向量CA uuu r 在DC uuu r 上的投影 思路点拨 a在b上的投影为 |a|cosa,b ,只要求出 |a|及a,b即可 精解详析 (1)法一:向量CA uuu r 在CD uuu r 上的投影为 |CA uuu r |cos CA uuu r ,CD uuu r , 又正方体棱长为1, |CA| 1 21212 3, |CA uuu r | 3, DCA即为C
10、A uuu r 与CD uuu r 的夹角,在RtACD中, cosACD 1 3 3 3 , CA uuu r 在CD uuu r 上的投影为 |CA uuu r |cosCA uuu r ,CD uuu r 3 3 3 1. 法二:在正方体ABCDABCD中, DCAD, CA uuu r ,CD uuu r DCA. CA uuu r 在CD uuu r 上的投影为: |CA uuu r |cosCA uuu r ,CD uuu r |CA uuu r |cos DCA |CD uuu r | 1. (2)CA uuu r 与DC uuu r 的夹角为180ACD, CA uuu r 在
11、DC uuu r 上的投影为 |CA uuu r |cos(180ACD) |CA uuu r |cosDCA 1. 一点通 1求向量a在向量b上的投影,可先求出|a|,再求出两个向量a与b的夹角,最后计 算|a|cos a,b ,即为向量a在向量b上的投影,它可正、可负,也可以为零;也可以利用 几何图形直观转化求解 2在确定向量的夹角时要注意向量的方向,如本题中CA uuu r ,CD uuu r 与CA uuu r ,DC uuu r 是不同的,其和为 . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 4已知i,j,k为标准正交基,ai 2j 3k,则a在i方向上的投影为( ) A 1 B 1
12、 C.14 D14 解析:ai|a|i|cosa,i , |a|cosa,i ai |i| (i2j3k)i1. 答案: A 5.如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB4,ADAA12,则 向量 1 AC uuuu r 在向量 1 AD uuuu r 上的投影为 _ 解析: 1 AC uuuu r 在 1 AD uuuu r 上的投影为 | 1 AC uuuu r |cos 1 AC uuuu r , 1 AD uuuu r , 而| 1 AC uuuu r | 42222 22 6, 在 RtAD1C1中, cosD1AC1 |AD1| |AC1| 3 3 , | 1 AC uuuu
13、 r |cos 1 AC uuuu r , 1 AD uuuu r 22. 答案: 22 空间向量基本定理及其简单应用 例 3 如图所示,平行六面体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别在B1B和 D1D上,且BE 1 3BB 1,DF 2 3DD 1. (1)证明A,E,C1,F四点共面; (2)若EF uuu r xAB uuu r yAD uuu r z 1 AA uuuu r ,求xyz. 思路点拨 要证明四点共面只需证明 1 AC uuuu r 可用AE uuu r ,AF uuu r 表示即可;第(2)问中求x yz只需先把EF uuu r 用AB uuu r ,AD uuu r
14、, 1 AA uuu u r 表示出来,求出x,y,z,再求xyz. 精解详析 (1)证明: 1 AC uuuu r AE uuu r 1 EC uuuu r , 又 1 EC uuuu r 1 EB uuu u r 11 B C uuuu r 2 3 1 BB uuuu r 11 B C uuuu r 2 3 1 AA uuu u r AD uuu r , 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 AF uuu r AD uuu r DF uuu r AD uuu r 2 3 1 DD uuuu r AD uuu r 2 3 1 AA uuu u r , 1 EC uuuu r AF uuu
15、 r , 1 AC uuuu r AE uuu r AF uuu r , A,E,C1,F四点共面 (2)EF uuu r AF uuu r AE uuu r AD uuu r DF uuu r (AB uuu r BE uuu r ) AD uuu r 2 3 1 DD uuuu r AB uuu r 1 3 1 BB uuu u r ABAD uuu r 1 3 1 AA uuu u r , x 1,y1,z 1 3. xyz 1 3. 一点通 1空间向量基本定理是指用空间三个不共面的已知向量a,b,c构成的向量组a,b, c可以线性表示出空间任意一个向量,而且表示的结果是唯一的 2利用空
16、间的一个基底a,b,c可以表示出所有向量,注意结合图形,灵活应用三角 形法则、平行四边形法则,及向量的数乘运算,表示要彻底,结果只含有a,b,c,不能再 有其他向量 6O,A,B,C为空间四边形的四个顶点,点M,N分别是边OA,BC的中点, 且OA uuu r a,OB uuu r b,OC uuu r c,且a,b,c表示MN uuuu r 为( ) A. 1 2 (cba) B. 1 2(a bc) C. 1 2 (abc) D. 1 2(a bc) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析:MN uuuu r MO uuuu r ON uuu r 1 2 OA uu u r 1 2
17、(OB uuu r OC uuu r ) 1 2( OB uuu r OC uuu r OA uu u r ) 1 2(bc a) 答案: A 7已知e1,e2,e3是空间中不共面的三个向量,且ae1e2e3,be1e2e3,ce1 e2e3,de12e2 3e3abc,则2_. 解析: ae1e2e3,be1e2e3,ce1e2e3,de12e23e3abc, e12e23e3()e1()e2()e3, 1, 2, 3. 解得 5 2, 1, 1 2. 20. 答案: 0 8如图所示,已知平行六面体ABCDA1B1C1D1,且 1 AA uuu u r a,AB uuu r b,AD uuu
18、 r c,用 a,b,c表示如下向量: (1) 1 A C uuu u r ; (2)BG uuu r (G在B1D1上且 1 B G uuu u r 1 2 1 GD uuu u r ) 解: (1) 1 A C uuu u r AC uuu r 1 AA uuu u r AB uuu r AD uuu r 1 AA uuu u r abc. (2)BG uuu r 1 BB uuu u r 1 B G uuuu r , 又 1 B G uuu u r 1 3 11 B D uuuur 1 3( 11 B A uuuu r 11 A D uuuur ) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整
19、理 1 3 (AD uuu r AB uuu r ) 1 3 (cb), BG uuu r a 1 3b 1 3c. 1空间任一点P的坐标的确定:过P作面xOy的垂线,垂足为P.在平面xOy中,过 P分别作x轴、y轴的垂线, 垂足分别为A,C,则|x| |PC| , |y| |AP| ,|z| |PP |. 2空间任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底,基底中的三个向量e1,e2, e3都不是 0. 3空间中任一向量可用空间中不共面的三个向量来唯一表示 4点A(a,b,c)关于x轴、y轴、z轴对称点的坐标分别为(a,b,c),(a,b, c),(a,b,c);它关于xOy面、xOz面、y
20、Oz面、原点对称点的坐标分别为(a,b,c), (a,b,c),(a,b,c),(a,b,c) 对应课时跟踪训练七 1在以下三个命题中,真命题的个数是( ) 三个非零向量a,b,c不能构成空间的一个基底,则a,b,c共面; 若两个非零向量a,b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则a,b共线; 若a,b是两个不共线的向量,而c a b(,R 且 0),则a,b,c构成空间 的一个基底 A 0个B1 个 C2 个D3 个 解析:中向量a,b,c共面,故a,b,c不能构成空间向量的一个基底,均正确 答案: C 2如图,已知正方体ABCDABCD中,E是平面ABCD的中心,a 1 2 AA uu
21、ur ,b 1 2 AB uuu r ,c 1 3 AD uuu r ,AE uuu r x ay bzc,则 ( ) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 Ax2,y 1,z 3 2 Bx2,y 1 2 ,z 1 2 Cx 1 2, y 1 2,z1 Dx 1 2 ,y 1 2, z 3 2 解析:AE uuu r AA uuu r A E uuuu r AA uuur 1 2( A B uuuu r AD)2ab 3 2c. 答案: A 3如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,棱长为1,则 1 AB uuuu r 在 1 CB uuur 上的投影为 ( ) A 2 2 B. 2 2
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