高中数学第二章第一课时等比数列的前n项和学案含解析新人教A版必修596.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 第一课时等比数列的前n项和 等比数列的前n项和公式 提出问题 已知等比数列an,公比为q,Sn是其前n项的和, 则Sna1a2ana1a1qa1q2 a1qn1. 问题 1:若q1,则Sn与a1有何关系? 提示:Snna1. 问题 2:若q1,你能用a1,q直接表示Sn吗?如何表示? 提示:能Sna1a1qa1q2a1q n 1, 两边同乘以q,可得 qSna1qa1q 2 a1qn1a1qn, 得 (1q)Sna1a1qn, 当q1 时,Sn a11qn 1q . 导入新知 等比数列的前n项和公式 已知量首项a1与公比q 首项a1,末项an与公比q
2、 公式 Sn na1q1, a11qn 1q q1 Sn na1q1, a1anq 1q q1 化解疑难 1在运用等比数列的前n项和公式时,一定要注意对公比q的讨论 (q1 或q1) 2当q1 时,若已知a1及q,则用公式Sn a11q n 1q 较好;若已知an,则用公式Sn a1anq 1q 较好 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 等比数列的前n项和公式的基本运算 例 1 在等比数列 an 中: (1)若a11,a516,且q0,求S7; (2)若a3 3 2, S3 9 2,求 a1和公比q. 解 (1)an 为等比数列且a11,a5 16, a5a1q4. 16q4. q2(负
3、舍 ) S7 a11q7 1q 127 12 127. (2)当q1 时,S3 a11q3 1q 9 2, 又a3a1q2 3 2, a1(1qq2) 9 2, 即 3 2 q2(1 qq2) 9 2, 解得q 1 2(q1 舍去 ), a16. 当q1 时,S33a1, a1 3 2 . 综上得 a16, q 1 2 , 或 a1 3 2, q1. 类题通法 在等比数列 an的五个量a1,q,an,n,Sn中,a1与q是最基本的元素,当条件与结论 间的联系不明显时,均可以用a1与q表示an与Sn,从而列方程组求解,在解方程组时经常 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 用到两式相除达到整
4、体消元的目的这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用 活学活用 在等比数列 an中: (1)若q2,S41,求S8; (2)若a1a310,a4a6 5 4,求 a4和S5. 解: (1)设首项为a1, q2,S41, a1124 12 1,即a1 1 15 , S8 a11q8 1q 1 15 128 12 17. (2)设公比为q,由通项公式及已知条件得 a1a1q210, a1q3a1q5 5 4, 即 a11q2 10, a1q31q2 5 4. a10,1q20, 得q3 1 8,即 q 1 2, a18. a4a1q3 8 1 2 31, S5 a11q5 1q 8 1 1 2 5
5、 1 1 2 31 2 . 等比数列前n项和的性质 例 2 设等比数列 an 的前n项和为Sn,已知S42,S8 6,求a17a18a19a20的值 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解 由等比数列前n项和的性质,可知S4,S8S4,S12S8,S4nS4n 4,成等比 数列 由题意可知上面数列的首项为S42,公比为 S8S4 S4 2, 故S4nS4n42 n(n2), 所以a17a18a19a20S20S162532. 类题通法 等比数列前n项和的重要性质 (1)等比数列 an的前n项和Sn,满足Sn,S2nSn,S3nS2n,S4nS3n,成等比数列(其 中Sn,S2nSn,S3
6、nS2n,均不为0),这一性质可直接应用 (2)等比数列的项数是偶数时, S偶 S奇 q; 等比数列的项数是奇数时, S奇a1 S偶 q. 活学活用 1设等比数列an 的前n项和为Sn.若S23,S415,则S6等于 ( ) A 31 B32 C63 D64 解析:选 C 法一:设等比数列an的首项为a1,公比为q. 若q1,则有Snna1,显然不符合题意,故q1. 由已知可得 S2 a11q2 1q 3, S4 a11q4 1q 15, 两式相除得1q25,解得q 24, 故q2 或q 2. 若q2,代入解得a11,此时 S6 a11q6 1q 112 6 12 63. 若q 2,代入解得a
7、1 3,此时 S6 a11q6 1q 3 12 6 12 63.故选 C. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 法二:在等比数列an中,S2,S4S2,S6S4也成等比数列,故(S4S2)2S2(S6S4),则 (153)23(S615),解得S663. 法三:设等比数列的公比为q. 则S2a1a23,S4a1a2a3a4(1q2)(a1a2)(1q2)315, 解得q24. 故S6a1a2a3a4a5a6(1q 2 q4)(a1a2)(1 442)363.故选 C. 2等比数列 an共有 2n项,其和为 240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q _. 解析:由题意知 S奇S偶
8、240, S奇S偶80, S奇 80, S偶 160. 公比q S偶 S奇 160 80 2. 答案: 2 等比数列的综合应用 例 3 等比数列 an 的前n项和为Sn,已知S1,S3,S2成等差数列 (1)求an的公比q; (2)若a1a33,求Sn. 解 (1)S1,S3,S2成等差数列, 2S3S1S2,显然 an 的公比q1, 于是 2a11q3 1q a1 a11q2 1q , 即 2(1qq2)2q, 整理得 2q 2 q0, q 1 2 (q0 舍去 ) (2)q 1 2 ,又a1a33, a1a1 1 2 23,解得 a14. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 于是Sn
9、 4 1 1 2 n 1 1 2 8 3 1 1 2 n . 类题通法 解决等差、 等比数列的综合题时,重点在于读懂题意,而正确利用等差、等比数列的定 义、通项公式及前n项和公式是解决问题的关键 活学活用 已知数列 an的前n项和Sn 2nn2,anlog5bn,其中bn 0,求数列 bn的前n项和 Tn. 解:当n2 时,anSnSn 1(2nn2)2(n1)(n1)2 2n3, 当n1 时,a1S12 1121 也适合上式, an的通项公式an 2n3(nN *) 又anlog5bn, log5bn 2n3, 于是bn5 2n 3,bn 1 52n 1, bn1 bn 5 2n1 5 2n
10、35 2 1 25. 因此 bn 是公比为 1 25 的等比数列,且b15235, 于是 bn 的前n项和 Tn 5 1 1 25 n 1 1 25 125 24 1 1 25 n . 5.等比数列求和中的误区 典例 设数列 an 是等比数列,其前n项和为Sn,且S3 3a3,求此数列的公比q. 解 当q1 时,S33a13a3,符合题目条件; 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 当q1 时, a11q3 1q 3a1q2, 因为a10, 所以 1qq23q2, 2q2q1 0, 解得q 1 2. 综上所述,公比q的值是 1 或 1 2 . 易错防范 1易忽视q1 这一情况,从而得出错解
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