高中数学第二章第二课时数列求和习题课学案含解析新人教A版必修597.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 第二课时数列求和 (习题课) 1等差数列和等比数列求和公式是什么?其公式是如何推导的? 略 2等差数列和等比数列的性质有哪些? 略 分组转化法求和 例 1 已知数列 an,bn满足a15,an2an 13n1(n 2,nN *), bnan3 n(n N *) (1)求数列 bn的通项公式; (2)求数列 an的前n项和Sn. 解 (1)an2an13n 1(nN *, n2), an3 n2(a n13 n1), bn2bn 1(nN *, n 2) b1a1320, bn0(n2), bn bn12, bn是以 2 为首项, 2 为公比的等比数列
2、 bn2 2 n 1 2n. (2)由(1)知anbn3 n2n3n, Sn(22 2 2n) (3 32 3n) 212n 12 313n 1 3 2 n13 n1 2 7 2 . 类题通法 当一个数列本身不是等差数列也不是等比数列,但如果它的通项公式可以拆分为几项的 和,而这些项又构成等差数列或等比数列时,那么就可以用分组求和法,即原数列的前n 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 项和等于拆分成的每个数列前n项和的和 活学活用 求数列 1 2,2 3 4,4 7 8, 2n2 2n1 2 n ,的前n项和Sn. 解:an2n2 2 n1 2n (2n2) 1 1 2n (2n1) 1
3、 2 n, Sn 1 22 3 44 7 8 2n1 1 2n 1 1 2 3 1 22 5 1 23 2n1 1 2n 135 (2n1) 1 2 1 2 2 1 2 3 1 2 n n12n1 2 1 2 1 1 2 n 1 1 2 n2 1 2n1. 错位相减法求和 例 2 (山东高考 )已知数列 an的前n项和Sn3n28n,bn是等差数列,且anbn bn1. (1)求数列 bn的通项公式; (2)令cn an1 n1 bn2 n ,求数列 cn 的前n项和Tn. 解 (1)由题意知当n2 时, anSnSn16n5. 当n1 时,a1S111,符合上式 所以an6n5.设数列 bn
4、的公差为d. 由 a1b1b2, a2b2b3, 即 112b1d, 172b13d, 解得 b14, d3. 所以bn3n 1. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)由(1)知cn 6n6 n 1 3n 3 n 3(n1)2 n1. 又Tnc1c2cn,得Tn322 2323 (n1)2n1, 2Tn3223324 (n1)2n 2, 两式作差,得Tn3 222 23 2 4 2n1(n1)2n 2 3 4 412n 12 n12 n 2 3n2n 2, 所以Tn3n 2n2. 类题通法 如果数列 an是等差数列, bn 是等比数列,求数列anbn的前n项和时,可采用错位 相减法
5、 在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步准确写 出“SnqSn”的表达式 活学活用 已知an n 3n,求数列 an 的前n项和Sn. 解:Sn 1 3 2 3 2 3 3 3 n1 3n 1 n 3n, 1 3 Sn 1 32 2 33 n1 3n n 3 n 1, 两式相减得 2 3S n 1 3 1 3 2 1 33 1 3 n n 3n 1 1 3 1 1 3n 1 1 3 n 3n1 1 2 1 23n n 3 n1, Sn 3 4 1 43n 1 n 23n 3 4 2n3 43n. 裂项相消法求和 例 3 已知等差数列 an的前n项和Sn满足
6、S30,S5 5. (1)求an的通项公式; 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)求数列 1 a2n1a2n 1 的前n项和 解 (1)设an 的公差为d,则Snna1n n1 2 d. 由已知可得 3a13d0, 5a110d 5, 解得a11,d 1. 故an的通项公式为an2n. (2)由(1)知 1 a2n1a2n1 1 32n12n 1 2 1 2n3 1 2n1, 从而数列 1 a2n1a2n 1 的前n项和为 1 2 1 1 1 1 1 1 1 3 1 2n3 1 2n1 n 12n. 类题通法 裂项法的实质是将数列中的每项(通项 )分解,然后重新组合使之能消去一些项
7、,最终达 到求和的目的 利用裂项法的关键是分析数列的通项,观察是否能分解成两项的差,这两项 一定要是同一数列相邻(相间 )的两项,即这两项的结论应一致 活学活用 在数列 an 中,an 1 n1 2 n1 n n1,且 bn 2 anan 1,求数列 bn的前n项和 解:an 1 n 1 (12n) n 2, bn 2 anan1, bn 2 n 2 n1 2 8 1 n 1 n1 , 数列 bn的前n项和为 Sn81 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 n 1 n1 8 1 1 n1 8n n1. 探规寻律 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 数列求和的常用方法归纳 1公式法
8、(分组求和法 ) 如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成,并且各独立项也可组成等差或 等比数列,则该数列的前n项和可考虑拆项后利用公式求解 2裂项求和法 对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列,在求和时常用“裂项法”,分式的求和多 利用此法 可用待定系数法对通项公式进行拆项,相消时应注意消去项的规律,即消去哪些 项,保留哪些项常见的拆项公式有: 1 nnk 1 k 1 n 1 nk ; 若 an为等差数列,公差为d, 则 1 anan1 1 d 1 an 1 an1 ; 1 n 1n n1n等 3错位相减法 若数列 an 为等差数列,数列bn是等比数列,由这两个数列的对应项乘积组成的新数
9、 列为 anbn,当求该数列的前n项的和时,常常采用将anbn的各项乘公比q,然后错位一项 与anbn的同次项对应相减,即可转化为特殊数列的求和,所以这种数列求和的方法称为错 位相减法 4倒序相加法 如果一个数列an,与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和,可采用把正着写 与倒着写的两个和式相加,就得到一个常数列的和,这一求和方法称为倒序相加求和法 4.利用错位相减法解决数列求和 典例 (12分 )(江西高考 )已知数列 an的前n项和Sn 1 2n 2 kn(其中kN*) ,且Sn的 最大值为8. (1)确定常数k,并求an; 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)求数列 92
10、an 2 n 的前n项和Tn. 解题流程 规范解答 (1)当nkN *时, Sn 1 2n 2 kn取得最大值, 即 8Sk 1 2k 2 k2 1 2k 2,故 k216,k4.(3分) 当n1 时,a1S1 1 24 7 2,(4 分) 当n2 时,anSnSn1 9 2 n. 名师批注 利用anSnSn1时,易忽视条件n2. 当n1 时,上式也成立,综上,an 9 2n.(6 分) (2)因为 92an 2n n 2n 1,(7 分) 所以Tn1 2 2 3 22 n1 2n 2 n 2n1, (8 分) 所以 2Tn2 2 3 2 n1 2n3 n 2 n2,(9分) : 2TnTn2
11、1 1 2 1 2n2 n 2 n 1 名师批注 两式相减时,注意不要漏项,由SnqSn得Sn时应注意q是否等于1. 4 1 2n 2 n 2 n 1 4 n2 2n1 .(11 分) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 故Tn4 n 2 2n 1.(12 分) 活学活用 设数列 an 的通项公式为an(2n1)a n1(a 0),求其前n项和 解:当a1 时,an2n1 是等差数列, Sn n12n1 2 n2. 当a 1时,Sn13a5a27a 3 (2n1)an1, aSna3a 25a3 (2n3)an 1(2n1)an, 得 (1a)Sn12a2a22a 3 2an 1(2n1
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