高中数学第二章解析几何初步章末分层突破学案北师大版必修.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 第二章 解析几何初步 章末分层突破 自我校对 一个方向 倾斜角 斜截式 截距式 平行 垂直 圆的一般方程 直线与圆的位置关系 直线方程问题 直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式都有各自的限制条件,不能表示所有的直 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 线.直线方程的一般式则可以表示所有直线,求直线的方程常用待定系数法.选择合适的直线 方程的形式是很重要的,一般情况下, 与截距有关的, 可设直线的斜截式方程或截距式方程; 与斜率有关的,可设直线的斜截式或点斜式方程等. 求与直线y 4 3x 5 3垂直,且与两坐标轴围成的三角形的面积为 24的直
2、线l的方 程. 【导学号: 39292128】 【精彩点拨】由条件易求得l的斜率,设l在y轴上的截距为b,利用三角形的面积 列出方程,求出b的值即可 .另外,若从三角形面积的表达式上考虑,也可设直线的截距式 来解 . 【规范解答】法一:直线l与直线y 4 3x 5 3垂直, 设直线方程为y 3 4x b, 则直线l在x轴、y轴上的截距分别为x0 4 3b, y0b. 又直线与两坐标轴围成的三角形的面积为24, S 1 2| x0|y0| 24, 即 1 2 4 3b |b| 24,b236,解得b6 或b 6, 故直线l的方程为y 3 4x6 或 y 3 4x6, 即 3x4y240或 3x4
3、y240. 法二:设直线l的方程为 x a y b1, 则直线的斜率k b a. l与直线y 4 3 x 5 3垂直, k b a 3 4,即 b a 3 4. 又l与坐标轴围成的三角形的面积为24, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1 2| ab| 24,即 |ab| 48, 解得a8,b6,或a 8,b 6. 直线l的方程为 x 8 y 61 或 x 8 y 6 1, 即 3x4y240或 3x4y240. 再练一题 1.已知一条直线经过点A(1,2),并且与点B(2,3)和C(0, 5)的距离相等,求此直线的方 程. 【解】(1)当所求直线的斜率存在时, 可设其方程为y2k(x
4、 1),即kxyk20. 由题意,得 |2k3k 2| 1k2 |0 5k2| 1k2 , 即|k1| |k 7| ,解得k4, 此直线方程为4xy20. (2)当所求直线的斜率不存在时,方程为x1, 经验证,x1 符合题意 . 综上,此直线的方程为x1 或 4xy20. 求圆的方程 求圆的方程主要是利用圆系方程、圆的标准方程和一般方程关系,利用待定系数法解题. 采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为: (1)选择圆的方程的某一形式;(2)由题意得a,b,r(或D,E,F)的方程 (组);(3)解出a, b,r(或D,E,F);(4)代入圆的方程 . 有一圆与直线l:4x 3y6 0 相切于点A
5、(3,6),且经过点B(5,2),求此圆的方 程. 【精彩点拨】可设出圆的标准方程或一般方程,结合已知条件列出方程组,用待定系 数法求解;也可利用圆的几何性质确定出圆心坐标和半径,从而求解圆的标准方程. 【规范解答】法一:设圆的方程为 (xa)2(yb)2r2, 则圆为C(a,b), 由|CA| |CB| , CAl, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 得 (a 3)2(b6)2(a5)2(b2)2r2, b6 a3 4 3 1, 解得a5,b 9 2, r2 25 4 , 圆的方程为(x5)2y 9 2 2 25 4 . 法二:设圆的方程为x2y2DxEyF0,圆心为C,由CAl,A
6、(3,6),B(5,2)在圆 上, 得 32623D6EF0, 52225D2EF0, E 2 6 D 2 3 4 3 1, 解得 D 10, E 9, F39, 所求圆的方程为:x2y210x 9y390. 法三:设圆心为C,则CAl,又设AC与圆的另一交点为P,则CA方程为y6 3 4 (x3), 即 3x4y330. 又kAB 62 35 2, kBP 1 2, 直线BP的方程为x 2y10. 解方程组 3x4y330, x 2y10, 得 x7, y3, P(7,3),圆心为AP中心 5, 9 2 ,半径为 |AC| 5 2,所求圆的方程为 (x5)2y 9 2 2 25 4 . 再练
7、一题 2.已知圆经过点A(2, 1),圆心在直线2xy0 上且与直线xy10 相切,求圆的 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 方程 . 【解】设圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0). 圆心在直线y 2x上,b 2a, 即圆心为 (a, 2a). 又圆与直线xy10 相切,且过点 (2, 1), |a2a1| 2 r,(2a)2( 12a)2r2, 即(3a1)22(2a)22(12a)2, 解得a1 或a9. a1,b 2,r2或a9,b 18,r338, 故所求圆的方程为:(x1) 2(y2)2 2, 或(x9) 2(y18)2338. 对称问题 关于对称问题,要充分利用“垂直
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