高中数学第二讲一比较法同步配套教学案新人教A版选修6.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 一 比_较_法 对应学生用书P18 1作差比较法 (1)作差比较法的理论依据ab0?ab,ab0,若 a b1,则 ab;若 a b1 则 ab. (2)作商比较法解题的一般步骤:判定a,b符号;作商;变形整理;判定与1 大小关系;得出结论 对应学生用书P18 作差比较法证明不等式 例 1 已知正数a,b,c成等比数列求证:a 2 b2c 2 (a bc)2. 思路点拨 作差变形判定符号结论 证明:因为正数a,b,c成等比数列, 所以b2ac,bac, (a 2 b2c 2)(a bc)2 a 2 b2c2a 2 b2c22ab2ac2bc 2ab4
2、b22bc2b(a2bc) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2b(ac)20. 所以a2b2c2(abc)2. (1)作差比较法中,变形具有承上启下的作用,变形的目的在于判断差的符号,而不用 考虑差能否化简或值是多少 (2)变形所用的方法要具体情况具体分析,可以配方,可以因式分解,可以运用一切有 效的恒等变形的方法 (3)因式分解是常用的变形手段,为了便于判断“差式”的符号,常将“差式”变形为 一个常数,或几个因式积的形式,当所得的“差式”是某字母的二次三项式时,常用配方法 判断符号有时会遇到结果符号不能确定,这时候要对差式进行分类讨论 1求证:a 2b22(a b1) 证明:a2b
3、22(ab1) (a1)2(b1)20, a 2 b22(ab1) 2已知a,bR,n N, 求证: (ab)(anbn) 2(a n 1 bn 1) 证明: (ab)(a nbn)2(an 1bn1) a n1abn ba n bn 12a n1 2bn 1 a(bna n)b(anbn) (ab)(bna n) (1)若ab0 时,bna na0 时,bna n0, ab0 时, (bna n)(a b)0. 综上 (1)(2)(3)可知,对于a,bR,nN,都有 (ab)(anbn)2(a n1bn1). 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 作商比较法证明不等式 例 2 设a0,b
4、0,求证:aabb(ab)a b 2 . 思路点拨 不等式两端都是指数式,它们的值均为正数,可考虑用求商比较法 证明 a abb0,(ab ) 2 ab 0, a abb ab 2 ab a 2 ab b 2 ab a b 2 ab . 当ab时,显然有 a b 2 ab 1; 当ab0 时, a b1, ab 2 0,所以由指数函数单调性,有 a b 2 ab 1; 当ba0 时, 01. 综上可知,对任意实数a,b,都有aabb(ab) 2 ab . 当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时,常采用作商比较法, 用作商比较法时, 如果需要在不等式两边同乘某个数,要注意该数的正负,且最后结
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