高中数学第二讲一圆周角定理学案含解析新人教A版选修.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 一 圆周角定理 1圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 应当注意的是, 圆周角与圆心角一定是对着同一条弧,它们才有上面定理中所说的数量 关系 2圆心角定理 (1)圆心角的度数等于它所对的弧的度数,它与圆的半径无关,也就是说在大小不等的 两个圆中,相同度数的圆心角,它们所对的弧的度数相等;反过来,弧的度数相等,它们所 对的圆心角的度数也相等 (2)圆心角 (AOB)与它所对的弧 ( ? AB )的度数相等, 不能写成AOB ? AB ,正确写法是 AOB的度数 ? AB 的度数 3圆周角定理的推论 (1)推论 1:同弧或等弧所对的
2、圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相 等 (1)若将“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”,则结论不成立 (2)相等的弧与相同度数的弧含义是不同的只有弧的度数和弧的长度都相等的两条弧 才是等弧,即等弧一定有相同的度数,而有相同度数的弧不一定是等弧 (3)“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”,应用推论时要 时刻记住这一点 (2)推论 2:半圆 (或直径 )所对的圆周角是直角;90的圆周角所对的弦是直径 与圆周角定理相关的证明 已知:如图,ABC内接于O,D,E在BC边上,且BDCE, 1 2. 求证:ABAC. 证明此题可先添加辅助线构造等弦、等弧的条件, 再由圆
3、周角定理及 其推论证明 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 如图,延长AD,AE分别交O于F,G两点,连接BF,CG, 1 2, ? BF ? CG , BFCG, ? BG ? CF , FBDGCE. 又BDCE, BFDCGE, FG, ? AB ? AC ,ABAC. 利用圆周角定理证明等量关系时,主要是分析圆周角、圆心角、 弧、弦之间的等量关系, 有时需添加辅助线构造等弧、等角、等弦的条件 1已知AD是ABC的高,AE是ABC的外接圆的直径 求证:BAEDAC. 证明:连接BE, 因为AE为直径, 所以ABE90. 因为AD是ABC的高, 所以ADC 90. 所以ADCABE.
4、 因为EC, BAE90E, DAC90C. 所以BAEDAC. 2已知O中,ABAC,D是BC延长线上一点,AD交O于点E. 求证:AB 2AD AE. 证明:如图,ABAC, ? AB ? AC . ABDAEB. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 在ABE与ADB中, BAEDAB, AEBABD, ABEADB. AB AD AE AB,即 AB2ADAE. 利用圆周角进行计算 如图,已知BC为半O的直径,ADBC,垂足为D,BF交AD 于点E,且AEBE. (1)求证: ? AB ? AF ; (2)如果 sin FBC 3 5, AB45,求AD的长 BC为半O的直径,连接
5、AC,构造 RtABC. (1)证明:如图,连接AC. BC是O的直径, BAC90, 又ADBC,垂足为D, BADACB. 在AEB中,AEBE, ABEBAE. ABFACB,即 ? AB ? AF . (2)设DE3x, ADBC,sinFBC 3 5, BE5x,BD4x. AEBE,AE5x,AD8x. 在 RtADB中,ADB90,AB45, (8x)2(4x)2(45)2, 解得x1,AD8. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 与圆周角定理有关的线段的计算、角的计算,不仅可以通过计算弧、圆心角、圆周角的 度数来求相关的角、线段,有时还可以通过三角形相似、解三角形等来计算
6、 3.如图, 直径为 10 的A经过点C(0,5)和点O(0,0),B是y轴右侧 A弧上一点,则cosOBC的值为 ( ) A. 1 2 B. 3 2 C. 3 5 D. 4 5 解析:选 B 法一:设A与x轴另一个交点为D, 连接CD,如图所示 因为COD90, 所以CD为A的直径 又因为CBO与CDO为圆弧CO所对的圆周角, 所以CBOCDO. 又因为C(0,5), 所以OC5. 在 RtCDO中,CD10,CO5, 根据勾股定理得 ODCD2OC253. 所以 cosOBCcosCDO OD CD 53 10 3 2 ,故选 B. 法二:连接AO,AC,因为OC5,ACAO 5, 所以A
7、CO为等边三角形, CAO60, CBO 1 2 CAO30, 所以 cosCBOcos 30 3 2 . 4.已知,如图, ABC内接于O, ? AB ? AC ,点D是 ? BC 上任意一 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 点,AD与BC交于点E,AD6 cm,BD5 cm,CD3 cm,求DE的长 解: ? AB ? AC , ADBCDE. 又 ? BD ? BD ,BADECD. ABDCED. AD CD BD ED , 即 6 3 5 ED . ED 2.5 (cm) 5.如图,ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E. (1)证明:ABEADC; (2)若ABC的
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