高中数学第二讲一圆周角定理创新应用教学案新人教A版选修.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 一 圆周角定理 对应学生用书P18 1圆周角定理 文字语言圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 图形语言 符号语言 在O中, ? BC所对的圆周角和圆心角分别是BAC,BOC,则有BAC 1 2 BOC 作用确定圆中两个角的大小关系 2圆心角定理 文字语言圆心角的度数等于它所对弧的度数 图形语言 符号语言 A,B是O上两点,则弧 ? AB的度数等于AOB的度数 作用确定圆弧或圆心角的度数 3圆周角定理的推论 (1)推论 1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相 等 (2)推论 2:半圆 (或直径 )所对的圆周角
2、是直角;90的圆周角所对的弦是直径 说明 (1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等,但并不是“圆心角等于它所对的 弧” ; (2)“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中” 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 对应学生用书P18 与圆周角定理相关的证明 例 1 如图,已知:ABC内接于O,D、E在BC边上,且BD CE, 1 2,求证:ABAC. 思路点拨 证明此题可先添加辅助线构造等弦、等弧的条件,再由 圆周角定理及其推论证明 证明 如图,延长AD、AE分别交O于F、G,连接BF、CG, 1 2, ? BF ? CG, BFCG, ? BG ? CF, FBDGCE.
3、 又BDCE, BFDCGE,FG, ? AB ? AC,ABAC. (1)有关圆的题目中,圆周角与它所对的弧经常相互转化,即欲证圆周角相等,可转化 为证明它们所对的弧相等;要证线段相等可以转化为证明它们所对的弧相等,这是证明圆中 线段相等的常见策略 (2)若已知条件中出现直径,则常用到“直径所对的圆周角为直角”这一性质解决问题 1.如图,OA是O的半径,以OA为直径的C与O的弦AB相 交于点D. 求证:D是AB的中点 证明:连接OD、BE. 因为ADOABE90, 所以OD和BE平行 又因为O是AE的中点, 所以D是AB的中点 2已知AD是ABC的高,AE是ABC的外接圆的直径 积一时之跬步
4、臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 求证:BAEDAC. 证明:连接BE, 因为AE为直径, 所以ABE90. 因为AD是ABC的高, 所以ADC 90. 所以ADCABE. 因为EC, 所以BAE90E, DAC90C. 所以BAEDAC. 3已知O中,ABAC,D是BC延长线上一点,AD交O于E. 求证:AB 2 ADAE. 证明:如图, ABAC, ? AB ? AC. ABDAEB. 在ABE与ADB中, BAEDAB, AEBABD, ABEADB. AB AD AE AB,即 AB2ADAE. 利用圆周角进行计算 例 2 如图,已知BC为半O的直径,ADBC,垂足为D,BF 交AD于E,
5、且AEBE. (1)求证: ? AB ? AF; (2)如果 sin FBC 3 5, AB45,求AD的长 思路点拨 BC为半O的直径,连接AC,构造 RtABC. 解 (1)证明:如图, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 连接AC. BC是半O的直径, BAC90, 又ADBC,垂足为D, 1 3. 在AEB中,AEBE, 1 2. 2 3,即A BA F. (2)设DE3x, ADBC,sinFBC 3 5, BE5x,BD4x. AEBE, AE5x,AD8x. 在 RtADB中,ADB90,AB45, (8x)2(4x)2(45)2, 解得x1, AD 8. 与圆周角定理有关
6、的线段的计算、角的计算,不仅可以通过计算弧、圆心角、圆周角 的度数来求相关的角、线段,有时还可以通过三角形相似、解三角形等来计算 4如图,ABC内接于O,ODBC于D,A50,则OCD的度数是 ( ) A 40B25 C50D60 解析:连接OB.因为A 50,所以弦BC所对的圆心角BOC 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 100,COD 1 2BOC50, OCD90COD 40. 答案: A 5.如图,ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E. (1)证明:ABEADC; (2)若ABC的面积S 1 2AD AE, 求BAC的大小 解: (1)证明:由已知条件可得BAECAD
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