高中数学第二讲三圆的切线的性质及判定定理学案含解析新人教A版选修46.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 三 圆的切线的性质及判定定理 1切线的性质 (1)性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径 如图,已知AB切O于A点,则OAAB. (2)推论 1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 (3)推论 2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 2圆的切线的判定方法 (1)定义:和圆只有一个公共点的直线是圆的切线 (2)数量关系:到圆心距离等于半径的直线是圆的切线 (3)定理:过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线 其中 (2)和(3)是由 (1)推出的, (2)是用数量关系来判定,而(3)是用位置关系加以判定的 圆的切线的性质 如图,已知C90,点O
2、在AC上,CD为O的直径,O切AB于点E,若 BC5,AC12.求O的半径 O切AB于点E,由圆的切线的性质,易联想到连接OE构造 RtOAE,再利用相 似三角形的性质,求出O的半径 连接OE. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 AB与O切于点E, OEAB,即OEA90. C90,AA, RtACBRtAEO, OE BC AO AB. BC5,AC12, AB13, OE 5 12OE 13 , OE 10 3 , 即O的半径为 10 3 . 利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算有时需添加辅助线,其中连接圆心和切点 的半径是常用辅助线,从而可以构造直角三角形,利用直角三角形边角
3、关系求解,或利用勾 股定理求解,或利用三角形相似求解等 1.如图,已知AD为O的直径,B为AD延长线上一点,BC与O 切于C点,A30. 求证: (1)BDCD. (2)AOCBDC. 证明: (1)因为AD为O的直径,所以ACD90. 又因为A30,OAOCOD, 所以ACO 30,ODCOCD60. 又因为BC与O切于C点, 所以OCB 90. BCD30,B 30, BCDB,BDCD. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)因为AACOBCDB30, 所以ACBC. 在AOC和BDC中, AB, OCDC, ACOBCD, 所以AOCBDC. 2.如图,已知PAB是O的割线,
4、AB为O的直径,PC为 O的切线,C为切点,BD垂直PC交PC的延长线于点D,交O 于点E,PAAOOB1. (1)求P的度数; (2)求DE的长 解: (1)连接OC. C为切点,OCPC, POC为直角三角形 OCOA1,POPAAO2, sin POC PO 1 2. P30. (2)BDPD,在 RtPBD中, 由P30,PBPAAOOB3, 得BD 3 2. 连接AE.则AEB 90,AEPD. EABP30,BEABsin 30 1, DEBDBE 1 2. 圆的切线的判定 已知D是ABC的边AC上的一点,ADDC21, C45, ADB60,求证:AB是BCD的外接圆的切线 连接
5、OB,OC,OD BOD 90 OBCOCB30 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 ABO90 结论 . 如图,连接OB,OC,OD, OD交BC于E. DCB是 ? BD 所对的圆周角, BOD是 ? BD 所对的圆心角, BCD45, BOD 90. ADB是BCD的一个外角, DBCADBACB 60 45 15, DOC 2DBC30, 从而BOC 120. OBOC, OBCOCB30. 在OEC中,EOCECO30, OEEC. 在BOE中,BOE 90,EBO 30. BE2OE2EC, CE BE CD DA 1 2, ABOD, ABO90, 故AB是BCD的外接圆的
6、切线 要证明某直线是圆的切线,主要是运用切线的判定定理,除此以外, 还有圆心到直线的 距离等于半径等判定方法,但有时需添加辅助线构造判定条件,其中过圆心作直线的垂线是 常用辅助线 3本例中,若将已知改为“ABDC” ,怎样证明:AB是BCD的外接圆的切线 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 证明:作直径BE,连接DE, BE是O的直径, BDE90, EDBE90 . CE,ABDC, ABDDBE90. 即ABE90 . AB是BCD的外接圆的切线 4.如图,ABC内接于O,点D在OC的延长线上,sin B 1 2, D 30 . (1)求证:AD是O的切线; (2)若AC6,求AD的
7、长 解: (1)证明:如图,连接OA, sin B 1 2, B30. AOC2B, AOC60. D30, OAD 180DAOC90 . AD是O的切线 (2)OAOC,AOC60, AOC是等边三角形 OAAC6. OAD 90,D30, AD3AO63. 圆的切线的性质和判定的综合考查 如图,AB为O的直径,D是 ? BC 的中点,DEAC交 AC的延长线于点E,O 的切线BF交AD的延长线于点F. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (1)求证:DE是O的切线; (2)若DE3,O的半径为5,求BF的长 (1)连接OD,证明ODDE; (2)作DGAB. (1)连接OD, D是
8、 ? BC 中点, 1 2. OAOD, 2 3. 1 3.ODAE. DEAE, DEOD,即DE是O的切线 (2)过D作DGAB, 1 2,DGDE3. 在 RtODG中,OG52324,AG45 9. DGAB,FBAB,DGFB. ADGAFB. DG BF AG AB . 3 BF 9 10. BF 10 3 . 对圆的切线的性质与判定的综合考查往往是热点,其解答思路常常是先证明某直线是圆 的切线,再利用切线的性质来求解相关结果 5如图,已知两个同心圆O,大圆的直径AB交小圆于C,D两点, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 大圆的弦EF切小圆于点C,ED交小圆于点G,若小圆的
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