高中数学第二讲二圆内接四边形的性质与判定定理学案含解析新人教A版选修47.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 二 圆内接四边形的性质与判定定理 1圆内接四边形的性质 (1)圆的内接四边形对角互补 如图,四边形ABCD内接于O,则有:AC 180,B D180. (2)圆内接四边形的外角等于它的内角的对角 如图,CBE是圆内接四边形ABCD的一外角,则有CBED. 2圆内接四边形的判定 (1)判定定理:如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆 (2)推论:如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共 圆 圆内接四边形的性质 如图,AB是O的直径,弦BD,CA的延长线相交于点E,EF 垂直BA的延长线于点F. 求证:DEADF
2、A. 本题主要考查圆内接四边形判定及性质的应用解题时,证A, D,E,F四点共圆后可得结论 连接AD, 因为AB为圆的直径, 所以ADB 90. 又EFAB,EFA90, 所以A,D,E,F四点共圆 所以DEADFA. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 圆内接四边形的性质即对角互补,一个外角等于其内角的对角,可用来作为三角形相似 的条件,从而证明一些比例式成立或证明某些等量关系 1圆内接四边形ABCD中,已知A,B,C的度数比为435,求四边形各角 的度数 解:设A,B,C的度数分别为4x,3x,5x, 则由AC180, 可得 4x5x 180, x20. A420 80,B320 6
3、0, C 520 100,D180B120. 2.已知:如图,四边形ABCD内接于圆,延长AD,BC相交 于点E,点F是BD的延长线上的点,且DE平分CDF. (1)求证:ABAC; (2)若AC3 cm,AD2 cm,求DE的长 解: (1)证明:ABC 2, 2 1 3, 4 3, ABC 4. ABAC. (2) 3 4ABC, DABBAE, ABDAEB. AB AE AD AB. ABAC3 cm,AD2 cm, AE AB 2 AD 9 2 cm. DE 9 2 2 5 2(cm). 圆内接四边形的判定 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 如图,在ABC中,E,D,F分别为
4、AB,BC,AC的中点,且 APBC于P. 求证:E,D,P,F四点共圆 可先连接PF,构造四边形EDPF的外角FPC,证明FPC C,再证明FPCFED即可 如图,连接PF, APBC,F为AC的中点, PF 1 2AC. FC 1 2AC, PFFC. FPCC. E,F,D分别为AB,AC,BC的中点 EFCD,EDFC. 四边形EDCF为平行四边形, FEDC. FPCFED. E,D,P,F四点共圆 证明四点共圆的常见方法: (1)如果四点与一定点等距离,那么这四点共圆; (2)如果四边形的一组对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆; (3)如果四边形的一个外角等于它的内对角,那么这
5、个四边形的四个顶点共圆; (4)如果两个三角形有公共边,公共边所对的角相等且在公共边的同侧,那么这两个三 角形的四个顶点共圆 3判断下列各命题是否正确 (1)任意三角形都有一个外接圆,但可能不止一个; (2)矩形有唯一的外接圆; 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (3)菱形有外接圆; (4)正多边形有外接圆 解: (1)错误,任意三角形有唯一的外接圆; (2)正确,矩形对角线的交点到各顶点的距离相等; (3)错误,只有当菱形是正方形时才有外接圆; (4)正确,正多边形的中心到各顶点的距离相等 4已知:在ABC中,ADDB,DFAB交AC于点F,AEEC,EGAC交AB 于点G. 求证:
6、 (1)D,E,F,G四点共圆; (2)G,B,C,F四点共圆 证明: (1)如图,连接GF, 由DFAB,EGAC, 知GDFGEF90, GF中点到D,E,F,G四点距离相等, D,E,F,G四点共圆 (2)连接DE. 由ADDB,AEEC,知DEBC, ADEB. 又由 (1)中D,E,F,G四点共圆, ADEGFE. GFEB. G,B,C,F四点共圆 . 圆内接四边形的综合应用 (新课标全国卷)如图,CD为ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D, E,F分别为弦AB与弦AC上的点,且BCAEDCAF,B,E,F,C四点共圆 (1)证明:CA是ABC外接圆的直径; (2)若D
7、BBEEA,求过B,E,F,C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (1)要证CA是ABC外接圆的直径,只需证ABC为直角; (2)要求两圆的面积比,可先求两圆的直径比 (1)证明:因为CD为ABC外接圆的切线,所以DCBA.由题设知 BC FA DC EA, 故CDBAEF,所以DBCEFA. 因为B,E,F,C四点共圆, 所以CFEDBC, 故EFACFE 90. 所以CBA 90, 因此CA是ABC外接圆的直径 (2)连接CE,因为CBE90, 所以过B,E,F,C四点的圆的直径为CE. 由BDBE,有CEDC. 又BC 2 DBBA2DB 2
8、, 所以CA24DB2BC 26DB2. 而DC2DBDA3DB 2, 故过B,E,F,C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值为 1 2. 此类问题综合性强,知识点丰富, 解决的办法大多是先判断四点共圆,然后利用圆内接 四边形的性质证明或求得某些结论成立 5.如图,P点是等边ABC外接圆的 ? BC 上一点,CP的延长线和AB的 延长线交于点D,连接BP. 求证: (1)DCBP; (2)AC 2 CPCD. 证明: (1)ABC为等边三角形, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 ABCA60 . DBC120. 又四边形ABPC是圆内接四边形, BPC180A120. BPCDBC.
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