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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 三 圆的切线的性质及判定定理 对应学生用书P25 1切线的性质 (1)性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径 如图,已知AB切O于A点,则OAAB. (2)推论 1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 (3)推论 2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 2圆的切线的判定方法 (1)定义:和圆只有一个公共点的直线是圆的切线 (2)数量关系:到圆心距离等于半径的直线是圆的切线 (3)定理:过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线 其中 (2)和(3)是由 (1)推出的, (2)是用数量关系来判定,而(3)是用位置关系加以判定的 说明 在切线的判定
2、定理中要分清定理的题设和结论,“经过半径的外端”和“垂直于 这条半径”这两个条件缺一不可,否则该直线就不是圆的切线 对应学生用书P25 圆的切线的性质 例 1 如图, 已知C90,点O在AC上,CD为O的直 径,O切AB于E,若BC5,AC12.求O的半径 思路点拨 O切AB于点E,由圆的切线的性质,易联想到 连接OE构造 RtOAE,再利用相似三角形的性质,求出O的半径 解 连接OE, AB与O切于点E, OEAB,即OEA90. C 90,AA, RtACBRtAEO, OE BC AO AB. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 BC5,AC12,AB 13, OE 5 12OE
3、13 , OE 10 3 . 即O的半径为 10 3 . 利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算有时需添加辅助线,其中连接圆心和切点 的半径是常用辅助线,从而可以构造直角三角形,利用直角三角形边角关系求解,或利用勾 股定理求解,或利用三角形相似求解等 1如图 ,AB切O于点B,延长AO交O于点C,连接BC.若A40,则C ( ) A 20B25 C40D50 解析:连接OB,因为AB切O于 点B,所以OBAB,即ABO 90,所以AOB50. 又因为点C在AO的延长线上,且在O上, 所以C 1 2 AOB25. 答案: B 2.如图,已知PAB是O的割线,AB为O的直径PC为O 的切线,C为
4、切点,BDPC于点D,交O于点E,PAAOOB 1. (1)求P的度数; (2)求DE的长 解: (1)连接OC. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 C为切点,OCPC,POC为直角三角形 OCOA1,POPAAO2, sin POC PO 1 2. P30. (2)BDPD,在 RtPBD中, 由P30,PBPAAOOB3, 得BD 3 2. 连接AE.则AEB 90,AEPD. EABP30,BEABsin 30 1, DEBDBE 1 2. 圆的切线的判定 例 2 已知D是ABC的边AC上的一点,ADDC 21, C45, ADB60, 求证:AB是BCD的外接圆的切线 思路点拨
5、 连接OB,OC,OD BOD90 OBCOCB30 ABO90 结论 . 证明 如图,连接OB,OC,OD,OD交BC于E. DCB是 ? BD所对的圆周角, BOD是 ? BD所对的圆心角, BCD45, BOD 90. ADB是BCD的一个外角, DBCADBACB 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 60 45 15, DOC 2DBC30, 从而BOC 120, OBOC,OBCOCB30. 在OEC中,因为EOCECO 30, OEEC, 在BOE中,因为BOE90,EBO30. BE2OE2EC, CE BE CD DA 1 2, ABOD,ABO90, 故AB是BCD的外
6、接圆的切线 要证明某直线是圆的切线,主要是运用切线的判定定理,除此以外, 还有圆心到直线的 距离等于半径等判定方法,但有时需添加辅助线构造判定条件,其中过圆心作直线的垂线是 常用辅助线 3本例中,若将已知改为“ABDC” ,怎样证明:AB是BCD的外接圆的切线 证明:作直径BE,连接DE, BE是O的直径, BDE90, EDBE90 . CE,ABDC, ABDDBE90. 即ABE90 . AB是BCD的外接圆的切线 4.如图,ABC内接于O,点D在OC的延长线上, sin B 1 2, D 30 . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (1)求证:AD是O的切线 (2)若AC6,求
7、AD的长 解: (1)证明:如图,连接OA, sin B 1 2, B30, AOC2B,AOC60, D30, OAD 180DAOC90, AD是O的切线 (2)OAOC,AOC60, AOC是等边三角形,OAAC6, OAD 90,D30, AD3AO63. 圆的切线的性质和判定的综合考查 例 3 如图,AB为O的直径,D是 ? BC的中点,DEAC交AC 的延长线于E,O的切线BF交AD的延长线于点F. (1)求证:DE是O的切线; (2)若DE3,O的半径为5,求BF的长 思路点拨 (1)连接OD,证明ODDE; (2)作DGAB. 证明 (1)连接OD, D是 ? BC中点, 1
8、2. OAOD, 2 3. 1 3. ODAE. DEAE,DEOD,即DE是O的切线 (2)过D作DGAB, 1 2,DGDE3. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 在 RtODG中,OG52324, A G459. DGAB,FBAB,DGFB. ADGAFB. DG BF AG AB . 3 BF 9 10. BF 10 3 . 对圆的切线的性质与判定的综合考查往往是热点,其解答思路常常是先证明某直线是圆 的切线,再利用切线的性质来求解相关结果 5.如图, 已知两个同心圆O,大圆的直径AB交小圆于C、D,大圆的 弦EF切小圆于C,ED交小圆于G,若小圆的半径为2,EF43,试求
9、EG的长 解:连接GC,则GCED. EF和小圆切于C, EFCD,EC 1 2 EF23. 又CD4,在 RtECD中, 有EDEC2CD2 23 2422 7. 由射影定理可知EC2EGED, EG EC2 ED 23 2 27 67 7 . 6如图,以RtABC直角边AC上一点O为圆心,OC为半径的 O与AC的另一个交点为E,D为斜边AB上一点且在O上,AD 2 AEAC. (1)证明:AB是O的切线; (2)若DEOB8,求O的半径 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解: (1)证明:连接OD,CD, AD 2 AEAC, AD AE AC AD.又 DAEDAC, DAECA
10、D,ADEACD. ODOC,ACDODC, 又CE是O的直径, OD ECDO90,ODA90, AB是O的切线 (2)AB,BC是O的切线, OBDC,DEOB,CEDCOB, EDCOCB,CDEBCO, DE CO CE BO, DEOB2R28, O的半径为2. 对应学生用书P27 一、选择题 1下列说法:与圆有公共点的直线是圆的切线;垂直于圆的半径的直线是圆的切 线;与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线;过直径的端点,垂直于此直径的直线是 圆的切线其中正确的有( ) AB CD 答案: C 2如图,AB是O的直径,BC是O的切线,AC交O于D.AB 6,BC8,则BD等于 ( )
11、A 4 B4.8 C5.2 D6 解析:AB是O的直径,BDAC. BC是O的切线,ABBC. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 AB6,BC8,AC10. BD ABBC AC 4.8. 答案: B 3.如图,CD切O于B,CO的延长线交O于A,若C36,则 ABD的度数是 ( ) A 72B63 C54D36 解析:连接OB. CD为O的切线,OBC90. C36,BOC54. 又BOC 2A,A27, ABDAC 27 36 63. 答案: B 4如图,在O中,AB为直径,AD为弦,过B点的切线与AD 的延长线交于C,若ADDC,则 sin ACO等于 ( ) A. 10 10
12、B. 2 10 C. 5 5 D. 2 4 解析:连接BD,则BDAC. ADDC,BABC, BCA45. BC是O的切线,切点为B, OBC90 . sin BCO OB OC OB 5OB 5 5 , cos BCO BC OC 2OB 5OB 25 5 . sin ACOsin(45BCO) sin 45 cos BCOcos 45sin BCO 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2 2 25 5 2 2 5 5 10 10 . 答案: A 二、填空题 5如图,已知AOB30,M为OB边上一点,以M为圆心、 2为半径作M.若点 M在OB边上运动,则当OM_时,M与OA相切 解析
13、:若M与OA相切,则圆心M到直线OA的距离等于圆的半 径 2. 过M作MNOA于点N, 则MN2. 在 RtMON中,MON30, OM2MN22 4. 答案: 4 6已知PA是圆O的切线,切点为A,PA2,AC是圆O的直径,PC与圆O交于B 点,PB1.则圆O的半径R_. 解析:ABAP 2 PB 2 3. 由AB2PBBC, BC3,RtABC中, ACAB2BC2 23. R3. 答案:3 7圆O的直径AB6,C为圆周上一点,BC3,过C作圆的切线l,过A作l的垂线 AD,AD分别与直线l、圆交于点D、E,则DAC_,DC _. 解析:连接OC, OCOB,OCBOBC. 又DCAACO
14、90, ACOOCB90, DCAOCB, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 OC 3,BC3, OCB是正三角形 OBC60,即D CA60. DAC30. 在 RtACB中,ACAB2BC 2 3 3, DCACsin 30 3 2 3. 答案: 30 33 2 三、解答题 8.如图所示,D是O的直径AB的延长线上一点,PD是O的 切线,P是切点,D30 . 求证:PAPD. 证明:如图,连接OP, PD是O的切线,P为切点 POPD. D30,POD60. 又OAOP, AAPO30 . AD.PAPD. 9.如图,已知在ABC中,ABAC, 以AB为直径的O交BC于D, 过D点
15、作O的切线交AC于E. 求证: (1)DEAC; (2)BD2CECA. 证明: (1)连接OD,AD. DE是O的切线,D为切点, ODDE. AB是O的直径, ADBC.又ABAC, BDDC. ODAC.DEAC. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)ADBC,DEAC, CDECAD. CD CA CE CD. CD 2 CECA. BDDC.BD2CECA. 10.如图,四边形ABCD内接于O,BD是O的直径,AECD,垂 足为E,DA平分BDE. (1)求证:AE是O的切线; (2)若DBC 30,DE1 cm,求BD的长 解: (1)证明:连接OA. DA平分BDE, BDAEDA. OAOD, ODAOAD. OADEDA. OACE. AEDE,AED90, OAEDEA90. AEOA. AE是O的切线 (2)BD是直径, BCDBAD90. DBC30,BDC 60. BDE120. DA平分BDE, BDAEDA60. ABDEAD30. 在 RtAED中,AED90,EAD30, AD 2DE. 在 RtABD中,BAD90,ABD30, BD2AD4DE. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 DE的长是 1 cm, BD的长是 4 cm.
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