高中数学第二讲参数方程二圆锥曲线的参数方程1椭圆的参数方程学案含解析新人教A版.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1椭圆的参数方程 椭圆的参数方程 (1)中心在原点,焦点在x轴上的椭圆 x2 a 2 y 2 b21 的参数方程是 xacos , ybsin (是参数 ), 规定参数的取值范围是已知实数x,y满足 x 2 25 y 2 16 1,求目标函数zx 2y的最大值与 最小值 将椭圆上的点的坐标设成参数方程的形式,将问题转化成三角函数求最值问题 椭圆 x2 25 y2 161 的参数方程为 x5cos , y4sin (为参数 ) 代入目标函数得z 5cos 8sin 5 282cos( 0) 89cos( 0) tan 0 8 5 . 所以目标函数zmi
2、n89,zmax89. 利用椭圆的参数方程,求目标函数的最大(小)值,通常是利用辅助角公式转化为三角函 数求解 1已知椭圆 x2 25 y2 161,点 A的坐标为 (3,0)在椭圆上找一点P,使点P与点A的距离 最大 解:椭圆的参数方程为 x5cos , y4sin (为参数 ) 设P(5cos ,4sin ),则 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 |PA| 5cos 3 2 4sin 2 9cos 2 30cos 25 3cos 5 2|3cos 5| 8, 当 cos 1 时, |PA| 最大 此时, sin 0,点P的坐标为 (5,0) 2椭圆 x2 9 y2 41 上一动点
3、P(x,y)与定点A(a,0)(0a3)之间的距离的最小值为1,求a 的值 解:椭圆的参数方程为 x3cos , y2sin (为参数 ) 设动点P(3cos , 2sin ),则 |PA| 2 (3cos a)2 4sin 2 5 cos 3 5a 2 4 5a 24. 0a3, 0 3 5a 9 5.于是 若 0 3 5a1,则当 cos 3 5a 时, |PA|min 4 5a 2 41,得 a 15 2 (舍去 ); 若 1 3 5a 9 5,则当 cos 1 时, 由|PA| min a 2 6a91, 得|a3| 1,a 2,故满足要求的a值为 2. 椭圆参数方程的应用:求轨迹方程
4、 已知A,B分别是椭圆 x2 36 y2 9 1 的右顶点和上顶点,动点C在该椭圆上运动,求 ABC的重心G的轨迹方程 由条件可知,A,B两点坐标已知,点C在椭圆上,故可设出点C坐标的椭圆参数方 程形式,由三角形重心坐标公式求解 由题意知A(6,0),B(0,3)由于动点C在椭圆上运动,故可设动点C的坐标为 (6cos , 3sin ),点G的坐标设为 (x,y),由三角形重心的坐标公式可得 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 x 60 6cos 3 , y 03 3sin 3 , 即 x22cos , y1sin . 消去参数得到 x2 2 4 (y1)21. 本题的解法体现了椭圆的参
5、数方程对于解决相关问题的优越性,运用参数方程显得很简 单,运算更简便 3已知椭圆方程是 x2 16 y2 91,点 A(6,6),P是椭圆上一动点,求线段PA中点Q的轨 迹方程 解:椭圆的参数方程为 x4cos , y3sin (为参数 ) 设P(4cos ,3sin ),Q(x,y),则有 x 4cos 6 2 , y 3sin 6 2 , 即 x2cos 3, y 3 2sin 3 (为参数 ) 9(x3)2 16(y3)236, 即为所求轨迹方程 4设F1,F2分别为椭圆C: x2 a 2 y 2 b21(a b0)的左、右两个焦点 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (1)若椭圆
6、C上的点A1, 3 2 到F1,F2的距离之和等于4, 写出椭圆C的方程和焦点坐标; (2)设点P是(1)中所得椭圆上的动点,求线段F1P的中点的轨迹方程 解: (1)由椭圆上点A到F1,F2的距离之和是4, 得 2a4,即a2. 又点A1, 3 2 在椭圆上, 因此 1 4 3 2 2 b2 1,得b23, 于是c2a2b21, 所以椭圆C的方程为 x2 4 y 2 3 1, 焦点坐标为F1(1,0),F2(1,0) (2)设椭圆C上的动点P的坐标为 (2cos ,3sin ),线段F1P的中点坐标为 (x,y),则 x 2cos 1 2 ,y 3sin 0 2 , 所以x 1 2 cos
7、, 2y 3 sin . 消去,得x 1 2 24y 2 3 1. 即为线段F1P中点的轨迹方程. 椭圆参数方程的应用:恒成立问题 已知椭圆 x2 4 y21 上任一点M(除短轴端点外 )与短轴两端点B1,B2的连线分别交x 轴于P,Q两点,求证: |OP| |OQ| 为定值 利用参数方程,设出点M的坐标,并由此得到直线MB1,MB2的方程,从而得到P, Q两点坐标,求出|OP| ,|OQ| ,再求 |OP| |OQ| 的值 设M(2cos ,sin ),为参数, B1(0, 1),B2(0,1) 则MB1的方程:y1 sin 1 2cos x, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 令y
8、 0,则x 2cos sin 1 ,即 |OP| 2cos 1sin . MB2的方程:y1 sin 1 2cos x, 令y 0,则x 2cos 1sin . |OQ| 2cos 1sin . |OP| |OQ| 2cos 1sin 2cos 1sin 4. 即|OP| |OQ| 4为定值 利用参数方程证明定值(或恒成立 )问题,首先是用参数把要证明的定值(或恒成立的式子) 表示出来,然后利用条件消去参数,得到一个与参数无关的定值即可 5对任意实数,直线yxb与椭圆 x2cos , y4sin (0 2 )恒有公共点,则b的取 值范围是 _ 解析:将 (2cos ,4sin )代入yxb,得
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