高中数学第二讲参数方程四渐开线与摆线学案含解析新人教A版选修4.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 四 渐开线与摆线 1渐开线的产生过程 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上,在绳的外端系上一支铅笔,将绳子拉紧, 保持 绳子与圆相切而逐渐展开,那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线,相应的定圆叫做基圆 2摆线的概念及产生过程 一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时,圆周上一个定点的轨迹,叫做平摆线, 简称摆 线,又叫旋轮线 3圆的渐开线和摆线的参数方程 (1)圆的渐开线方程: xrcos sin , yrsin cos (为参数 ) (2)摆线的参数方程: xr sin , yr1cos (为参数 ) 求圆的渐开线的参数方程 求半径为4的圆的渐开线的参数方程
2、关键根据渐开线的生成过程,归结到向量知识和三角的有关知识建立等式关系 以圆心为原点O,绳端点的初始位置为M0,向量OM0的方向为x轴正方向,建 立坐标系设渐开线上的任意点M(x,y),绳拉直时和圆的切点为A,故OAAM.按渐开线 定义,弧AM0的长和线段AM的长相等,记OA 和 x轴正向所夹的角为(以弧度为单位 ), 则|AM| AM0 4. 作AB垂直于x轴,过M点作AB的垂线,由三角函数和向量知识,得OA (4cos , 4sin ) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 由几何知识知MAB,AM (4sin , 4cos ), 得OM OA AM (4cos 4sin ,4sin 4
3、cos ) (4(cos sin ),4(sin cos ) 又OM (x, y),因此有 x4cos sin , y 4sin cos (是参数 ) 这就是所求圆的渐开线的参数方程 用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤 (1)建立合适的坐标系,设轨迹曲线上的动点为M(x,y) (2)取定点运动中产生的某一角度为参数 (3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式 (4)用向量运算得到OM 的坐标表达式,由此得到轨迹曲线的参数方程 1圆的渐开线 x2cos ttsin t, y2sin ttcos t (t是参数 )上与t 4对应的点的直角坐标为 ( ) A. 1 4, 1 4 B
4、. 1 4,1 4 C. 1 4, 1 4 D. 1 4, 1 4 答案: A 2基圆直径为10,求其渐开线的参数方程 解:取为参数,为基圆上点与原点的连线与x轴正方向的夹角 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 直径为 10,半径r5. 代入圆的渐开线的参数方程,得 x5cos sin , y5sin cos . 这就是所求的圆的渐开线的参数方程. 求摆线的参数方程 求半径为2的圆的摆线的参数方程 利用向量知识和三角函数的有关知识求解 当圆滚过角时,圆心为点B,圆与x轴的切点为A,定点M的位置如上图所示, ABM. 由于圆在滚动时不滑动,因此线段OA的长和圆弧AM的长相等, 它们的长都等
5、于2, 从而B点坐标为 (2,2), 向量OB (2, 2),向量MB (2sin ,2cos ), BM (2sin , 2cos ), 因此OM OB BM (22sin ,22cos ) (2( sin ), 2(1cos ) 动点M的坐标为 (x,y),向量OM (x,y), 所以 x2 sin , y21 cos . 这就是所求摆线的参数方程 (1)圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹 (2)根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程,可知其中的字母r是指定圆的半径,参 数是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧
6、萧整理 3摆线 x2tsin t, y21cos t (t是参数, 0t 2 )与直线y2 的交点的直角坐标是 _ 答案: ( 2,2)或(3 2,2) 4圆的半径为r,沿x轴正向滚动,圆与x轴相切于原点O.圆上点M起始处沿顺时针 已偏转角试求点M的轨迹方程 解:由题意设M(xM,yM),则xMrrcos 2 r(sin ),yMrrsin 2 r(1cos ) 即点M的轨迹方程为 xrsin , yr1cos (为参数 ) 课时跟踪检测(十三 ) 一、选择题 1半径为3 的圆的摆线上某点的纵坐标为0,那么其横坐标可能是( ) AB2 C12 D14 解析:选 C 根据条件可知,圆的摆线方程为
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