高中数学第二讲知识归纳与达标验收创新应用教学案新人教A版选修.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 第二讲 直线与圆的位置关系 对应学生用书P35 近两年高考中,主要考查圆的切线定理,切割线定理,相交弦定理,圆周角定理以及圆 内接四边形的判定与性质等题目难度不大, 以容易题为主 对于与圆有关的比例线段问题 通常要考虑利用相交弦定理、割线定理、切割线定理、相似三角形的判定和性质等;弦切角 是沟通圆内已知和未知的桥梁,它在解决圆内有关等角问题中可以大显身手;证明四点共圆 也是常见的考查题型,常见的证明方法有:到某定点的距离都相等;如果某两点在一条 线段的同侧时,可证明这两点对该线段的张角相等;证明凸四边形的内对角互补(或外角 等于它的内对角)等 1(湖
2、南高考 )如图,已知AB,BC是O的两条弦,AOBC,AB3,BC22, 则O的半径等于 _ 解析:设AO,BC的交点为D,由已知可得D为BC的中点,则 在直角三角形ABD中,ADAB2BD 21,设圆的半径为 r,延长 AO交圆O于点E,由圆的相交弦定理可知BDCDADDE,即 (2)22r1,解得r 3 2. 答案: 3 2 2.(新课标全国卷)如图,P是O外一点,PA是切线,A为切 点,割线PBC与O相交于点B,C,PC2PA,D为PC的中点, AD的延长线交O于点E.证明: (1)BEEC; (2)ADDE2PB 2. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 证明: (1)连接AB,
3、AC.由题设知PAPD,故PADPDA. 因为PDADACDCA, PADBADPAB,DCAPAB, 所以DACBAD,从而 ? BE ? EC. 因此BEEC. (2)由切割线定理得PA2PBPC. 因为PAPDDC,所以DC 2PB,BDPB. 由相交弦定理得ADDEBDD C, 所以ADDE2PB 2. 3(新课标全国卷)如图,CD为ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点 D,E,F分别为弦AB与弦AC上的点,且BCAEDCAF,B,E,F,C四点共圆 (1)证明:CA是ABC外接圆的直径; (2)若DBBEEA,求过B,E,F,C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值. 解:
4、(1)证明: 因为CD为ABC外接圆的切线, 所以DCBA,由题设知 BC FA DC EA , 故CDBAEF,所以DBCEFA. 因为B,E,F,C四点共圆,所以CFEDBC, 故EFACFE 90. 所以CBA 90,因此CA是ABC外接圆的直径 (2)连接CE,因为CBE90, 所以 过B,E,F,C四点的圆的直径为CE. 由BDBE,有CEDC. 又BC 2 DBBA2DB2, 所以CA24DB2BC 26DB2. 而DC2DBDA3DB 2, 故过B,E,F,C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值为 1 2. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 对应学生用书P35 圆内接四
5、边形的判定与性质 圆内接四边形是中学教学的主要研究问题之一,近几年各地的高考选做题中常涉及圆内 接四边形的判定和性质 例 1 已知四边形ABCD为平行四边形,过点A和点B的圆与AD、BC分别交于E、 F. 求证:C、D、E、F四点共圆 证明 连接EF, 因为四边形ABCD为平行四边形, 所以BC180. 因为四边形ABFE内接于圆, 所以BAEF180. 所以AEFC. 所以C、D、E、F四点共圆 例 2 如图,ABCD是O的内接四边形, 延长BC到E,已知 BCDECD32,那么BOD等于 ( ) A 120B136 C144D150 解析 由圆内接四边形性质知ADCE, 而BCDECD32
6、, 且BCDECD180,ECD 72. 又由圆周角定理知BOD 2A144. 答案 C 直线与圆相切 直线与圆有三种位置关系,即相交、相切、 相离;其中直线与圆相切的位置关系非常重 要,结合此知识点所设计的有关切线的判定与性质、弦切角的性质等问题是高考选做题热点 之一,解题时要特别注意 例 3 如图,O是 RtABC的外接圆,ABC90,点P是圆外 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 一点,PA切O于点A,且PAPB. (1)求证:PB是O的切线; (2)已知PA3,BC1,求O的半径 解 (1)证明:如图,连接OB. OAOB,OABOBA. PAPB,PABPBA. OABPAB
7、OBAPBA, 即PAOPBO. 又PA是O的切线,PAO90. PBO90 .OBPB. 又OB是O半径,PB是O的切线 (2)连接OP,交AB于点D.如图 PAPB,点P在线段AB的垂直平分线上 OAOB,点O在线段AB的垂直平分线上 OP垂直平分线段AB. PAOPDA90. 又APOOPA,APODPA. AP DP PO PA .AP2PODP. 又OD 1 2 BC 1 2 ,PO(POOD)AP2. 即PO2 1 2PO( 3)2,解得PO2. 在 RtAPO中,OAPO2PA 21, 即O的半径为1. 与圆有关的比例线段 圆的切线、 割线、相交弦可以构成许多相似三角形,结合相似
8、三角形的性质,又可以得 到一些比例式、 乘积式, 在解题中, 多联系这些知识,能够计算或证明角、线段的有关结论 例 4 如图,A,B是两圆的交点,AC是小圆的直径,D和E分 别是CA和CB的延长线与大圆的交点,已知AC4,BE 10,且BC 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 AD,求DE的长 解 设CBADx,则由割线定理得:CACDCBCE, 即 4(4x)x(x10), 化简得x26x 160, 解得x2 或x 8(舍去 ), 即CD6,CE12. 连接AB,因为CA为小圆的直径, 所以CBA90,即ABE90, 则由圆的内接四边形对角互补,得D90, 则CD2DE 2 CE2,
9、所以 62DE 2122, 所以DE63. 例 5 ABC中,ABAC,以AB为直径作圆,交BC于D,O是圆 心,DM是O的切线交AC于M(如图 ) 求证:DC 2 ACCM. 证明 连接AD、OD. AB是直径,ADBC. OAOD, BADODA. 又ABAC,ADBC, BADCAD. 则CADODA,ODAC. DM是O切线,ODDM. 则DMAC,DC2ACCM. 对应学生用书P43 (时间: 90 分钟,满分: 120分) 一、选择题 (本大题共10 小题,每小题5 分,满分50 分在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1
10、圆内接四边形的4个角中,如果没有直角,那么一定有( ) A 2个锐角和2 个钝角B1 个锐角和 3 个钝角 C1 个钝角和3 个锐角D都是锐角或都是钝角 解析:由于圆内接四边形的对角互补,圆内接四边形的4 个角中若没有直角,则必有2 个锐角和2 个钝角 答案: A 2.如图,在O中,弦AB长等于半径,E为BA延长线上一点, DAE80,则ACD的度数是 ( ) A 60B50 C45D30 解析:BCDDAE80, 在 RtABC中,B90,AB 1 2AC, ACB30.ACD 80 30 50 . 答案: B 3如图所示, 在半径为2 cm 的O内有长为23 cm 的弦AB.则此弦所 对的
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