高中数学第二讲第2节综合法与分析法创新应用教学案新人教A版选修38.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 第 2 节 综合法与分析法创新应用 核心必知 1综合法 一般地,从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、论证 而得出命题成立,这种证明方法叫做综合法,又叫顺推证法或由因导果法 2分析法 证明命题时, 我们还常常从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需 条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要 证的命题成立,这种证明方法叫做分析法,这是一种执果索因的思考和证明方法 问题思考 1如何理解分析法寻找的是充分条件? 提示:用分析法证题时,语气总是假定的,常用“欲证A只需证B”表示
2、,说明只要B 成立,就一定有A成立,所以B必须是A的充分条件才行,当然B是A的充要条件也可 2用综合法和分析法证明不等式有怎样的逻辑关系? 提示:综合法:A?B1?B2? ?Bn?B(逐步推演不等式成立的必要条件), 即由条件出发推导出所要证明的不等式成立 分析法:B?B1?B2? ?Bn?A(步步寻求不等式成立的充分条件), 总之,综合法与分析法是对立统一的两种方法 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 已知a,b,cR,且互不相等,又abc 1. 求证:abcab.求证:cc2ab0,y0,求证: (x2y2) 1 2( x3y3) 1 3. 证明:要证明(x2y 2) 1 2( x3
3、y3) 1 3, 只需证 (x2y2)3(x3y3)2, 即证x63x4y2 3x2y4y6x62x3y3y6, 即证 3x4y 2 3x2y42x3y3. x0,y0,x2y20, 即证 3x23y22xy. 3x23y2x2y22xy, 3x23y22xy成立, (x2y2) 1 2( x3y 3) 1 3. 已知a,b,c为不全相等的正实数,且b2ac.求证:a 4 b 4 c 4(a2 b 2 c 2)2. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 精讲详析 本题考查综合法与分析法的综合应用解答本题可先采用分析法将所要证 明的不等式转化为较易证明的不等式,然后再用综合法证明 欲证原不等
4、式成立, 只需证a4b4c4a4b4c42a 2b2 2a2c22b2c2, 即证a2b 2 b2c 2a2c20, b2ac,故只需证 (a 2c2)ac a 2c20. a、c0,故只需证a 2 c2ac0, 又a 2c22ac , a 2 c 2 ac0 显然成立 原不等式成立 (1)通过等式或不等式的运算,将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式,从而使原 不等式易于证明(2)有些不等式的证明,需要一边分析一边综合,称之为分析综合法,或 称“两头挤”法,如本例,这种方法充分表明了分析与综合之间互为前提,互相渗透,相互 转化的辩证统一关系 3若a,b,c是不全相等的正数,求证lg ab 2
5、 lgb c 2 lgc a 2 lg alg b lg c. 证明:要证lg ab 2 lg bc 2 lg ca 2 lgalgblgc, 只需证 lg ab 2 bc 2 ca 2 lg(abc), 即证 ab 2 bc 2 ca 2 abc. 又a,b,c是不全相等的正数, 由基本不等式得: ab 2 ab0, bc 2 bc0, ca 2 ac0, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 以上三式中由于a,b,c不全相等, 故等号不同时成立 ab 2 bc 2 ca 2 abc. lg ab 2 lgb c 2 lgc a 2 lgalgblgc. 数学证明是数学高考的核心问题,有
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