高中数学第二讲第3节反证法与放缩法创新应用教学案新人教A版选修.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 第 3 节 反证法与放缩法创新应用 核心必知 1反证法 先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性 质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛 盾的结论, 以说明假设不正确,从而证明原命题成立,我们称这种证明问题的方法为反证法 2放缩法 证明不等式时, 通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小,简化不等式, 从而达到证 明的目的我们把这种方法称为放缩法 问题思考 1用反证法证明不等式应注意哪些问题? 提示:用反证法证明不等式要把握三点: (1)必须先否定结论,对于结论的反面出现的
2、多种可能要逐一论证,缺少任何一种可能, 证明都是不完全的 (2)反证法必须从否定结论进行推理,且必须根据这一条件进行论证;否则,仅否定结 论,不从结论的反面出发进行论证,就不是反证法 (3)推导出来的矛盾可以是多种多样的,有的与已知条件相矛盾,有的与假设相矛盾, 有的与定理、公理相违背,有的与已知的事实相矛盾等,但推导出的矛盾必须是明显的 2运用放缩法证明不等式的关键是什么? 提示:运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩小 )要适当如果所要证明的不等式中 含有分式,那么我们把分母放大时相应分式的值就会缩小; 反之,如果把分母缩小,则相应分式的值就会放大有时也会把分子、分母同时放大, 这时应该注
3、意不等式的变化情况,可以与相应的函数相联系,以达到判断大小的目的,这些 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 都是我们在证明中的常用方法与技巧,也是放缩法中的主要形式 设a,b,c,d都是小于 1 的正数,求证:4a(1b),4b(1c),4c(1d), 4d(1 a)这四个数不可能都大于1. 精讲详析 本题考查反证法的应用解答本题若采用直接法证明将非常困难,因此可 考虑采用反证法从反面入手解决 假设 4a(1b)1,4b(1c)1,4c(1d)1,4d(1a)1,则有a(1b) 1 4,b(1 c) 1 4 , c(1d) 1 4 ,d(1a) 1 4. a(1b) 1 2 ,b(1c)
4、 1 2, c(1d) 1 2 ,d(1a) 1 2 . 又a( 1b) a( 1b) 2 ,b(1c) b( 1c) 2 , c(1d) c( 1d) 2 , d(1a) d( 1a) 2 , a1b 2 1 2, b1c 2 1 2, c1d 2 1 2, d1a 2 1 2.将上面各式相加得 22,矛盾 4a(1b),4b(1c),4c(1d),4d(1a) 这四个数不可能都大于1. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (1)当证明的结论中含有“不是”, “不都”, “不存在”等词语时,适于应用反证法,因 为此类问题的反面比较具体 (2)用反证法证明不等式时,推出的矛盾有三种表现形
5、式:与已知相矛盾,与假设 矛盾,与显然成立的事实相矛盾 1已知f(x)是 R 上的单调递增函数,且f(a)f(b)f(a)f(b)求证:ab. 证明:假设ab, 则当ab时ba, 于是有f(a)f(b)f(b)f(a)与已知矛盾 当ab时,ab, 于是有f(a)b. 实数a、b、c、d满足abcd1,acbd1,求证:a、b、c、d中至少有 一个是负数 精讲详析 本题考查“至多” 、 “至少”型命题的证明方法解答本题应假设a、b、c、 d都是非负数,然后证明并得出矛盾 假设a、b、c、d都是非负数, 即a 0,b0,c0,d0, 则 1(ab)(cd) (acbd) (adbc)acbd, 这
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