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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1 定积分的概念 对应学生用书P36 一、导数与函数的单调性 1若f(x)0,则f(x)是增加的;若f (x)0 或f(x)0,右侧f (x)0,那么f(x0)是极小值 2利用导数求函数极值的一般步骤 (1)确定函数f(x)的定义域; (2)解方程f(x)0 的根; (3)检验f(x)0 的根的两侧f (x)的符号 若左正右负,则f(x)在此根处取得极大值; 若左负右正,则f(x)在此根处取得极小值; 否则,此根不是f(x)的极值点 3最值 对于函数yf(x), 给定区间 a,b, 若对任意xa,b, 存在x0a,b, 使得f(x0)f(x)(f(x
2、0) f(x),则f(x0)为函数在区间a,b上的最大 (小 )值 4利用导数求函数最值的一般步骤 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (1)求f(x)在(a,b)内的极值; (2)将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值 5函数最值与极值的区别与联系 (1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念,而函数的最值是对整个区 间而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体性的概念 (2)闭区间上的连续函数一定有最值,开区间内的可导函数不一定有最值,若有唯一的 极值,则此极值必是函数的最值 (3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个
3、,而函数的极值则可能不止一 个,也可能没有极值 对应阶段质量检测三 见8开试卷 (时间 90 分钟,满分120分 ) 一、选择题 (本大题共10 小题,每小题5 分,共50 分在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1曲线y 1 2x 22x 在点1, 3 2 处的切线的倾斜角为( ) A 135B45 C 45D.135 解析:yx 2, 1, 3 2 处的切线斜率为1,倾斜角为135. 答案: D 2下列求导运算正确的是( ) A(cos x) sin xB(ln 2x) 1 x C(3x) 3xlog3e D.(x2e x) 2xex 解析: (cos x) sin x,
4、(3x) 3xln 3,(x2ex) 2xe x x2e x. 答案: B 3已知函数yf(x),其导函数yf(x)的图像如图所示,则y 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 f(x)( ) A在 (, 0)上为减少的 B在x 0 处取极小值 C在 (4, )上为减少的 D在x2 处取极大值 解析:在 (, 0)上,f(x)0,故f(x)在(, 0)上为增函数, A 错;在x0 处,导 数由正变负,f(x)由增变减,故在x0 处取极大值, B 错;在 (4, )上,f(x)0; 当x 6, 2 时,f(x)0 Ba0 Ca0, 且f(x)0 的解为x1a, x2a,则a(0,1), 00)
5、, y 250 x 2 25x 2,由 y 0,得x25,x(0,25)时,y 0,x(25, )时,y0, 且g(3)0,则不等式f(x)g(x)0,所以h(x)在(, 0)上是增加的,根据奇函数的 对称性可知,h(x)在(0, )上也是增加的,因此h(x)0,f(x)在x 3处取得极小值 又f(x) 在(0, )上只有一个极值点,易知f 3 1 2 3 3 2 33 6 即为f(x)的最小值 答案: 33 6 13已知函数f(x)xe x c有两个零点,则c的取值范围是_ 解析:f(x)ex(x1),易知f(x)在 (, 1)上是减少的,在(1, )上是增 加的,且f(x)minf(1)c
6、e 1,由题意得c e 10)若当x(0, )时,f(x)2 恒成立,则实数a的 取值范围是 _ 解析:f(x)2 即a 2x22x2ln x. 令g(x)2x22x2ln x, 则g(x)2x(12ln x) 由g(x)0 得xe 1 2 , 0(舍去 ), 且 00; 当xe 1 2 时g(x)0,f(x)是增加的, 当x1 时,f(x)0 得 112b0 即b2 或c0 得 1x4,由y0 得 4x9, 故y在1,4)上递增,在 (4,9上递减, 当x4 时,y取得最大值,且ymax 2 5ln 4 1 10411.2,这时, 10 x 6. 即厂家对A,B两种型号的电视机的投放金额分别
7、为6 万元和 4万元时,农民得到的补 贴最多,最多补贴约1.2 万元 18(本小题满分14 分)(安徽高考 )设函数f(x)aex 1 ae xb(a0) (1)求f(x)在0, )内的最小值; (2)设曲线yf(x)在点 (2,f(2)处的切线方程为y 3 2 x,求a,b的值 解: (1)f (x)ae x 1 ae x, 当f (x)0,即x ln a时,f(x)在(ln a, )上递增; 当f (x)0,即x ln a时,f(x)在(, ln a)上递减 当 0a1 时, ln a0,f(x)在(0, ln a)上递减,在 (ln a, )上递增,从而f(x) 在0, )内的最小值为f(ln a)2b; 当a1 时, ln a0,f(x)在0, )上递增,从而f(x)在0, )内的最小值为f(0) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 a 1 a b. (2)依题意f(2)ae 2 1 ae 2 3 2,解得 ae 22 或 ae 2 1 2(舍去 ) 所以a 2 e 2,代入原函数可得 2 1 2 b3,即b 1 2. 故a 2 e 2,b 1 2.
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