高中数学第四章圆与方程4.3空间直角坐标系学案含解析新人教A版必修055.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 43 空间直角坐标系 空间直角坐标系的建立及坐标表示 提出问题 (1)如图数轴上A点,B点. (2)如图在平面直角坐标系中,P,Q点的位置 (3)如图是一个房间的示意图,我们如何表示板凳和气球的位置? 问题 1:上述 (1)中如何确定A,B两点的位置? 提示:利用A,B两点的坐标2 和 2. 问题 2:上述 (2)中如何确定P,Q两点的位置? 提示:利用P,Q两点的坐标 (a,b)和(m,n) 问题 3:对于上述 (3)中,空间中如何表示板凳和气球的位置? 提示:可借助于平面坐标系的思想建立空间直角坐标系,如图示 导入新知 1空间直角坐标系及相关概念
2、 (1)空间直角坐标系:从空间某一定点引三条两两垂直,且有相同单位长度的数轴:x轴、 y轴、z轴,这样就建立了空间直角坐标系Oxyz. (2)相关概念:点O叫做坐标原点,x轴、y轴、z轴叫做坐标轴通过每两个坐标轴的平 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 面叫做坐标平面,分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面 2右手直角坐标系 在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向, 食指指向y轴的正方向, 如果中指 指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系 3空间一点的坐标 空间一点M的坐标可以用有序实数组(x,y,z)来表示,有序实数组(x,y,z)叫做点M在 此空间直角坐标系中的
3、坐标,记作M(x,y,z)其中x叫点M的横坐标,y叫点M的纵坐标, z叫点M的竖坐标 化解疑难 1空间直角坐标系的建立 建立空间直角坐标系时,要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算,一般是要使 尽量多的点落在坐标轴上,对于长方体或正方体,一般取相邻的三条棱所在的直线为x,y,z 轴建立空间直角坐标系 2空间直角坐标系的画法 (1)x轴与y轴成 135(或 45),x轴与z轴成 135(或 45) (2)y轴垂直于z轴、y轴和z轴的单位长相等,x轴上的单位长则等于y轴单位长的 1 2. 3特殊点在空间直角坐标系中的坐标表示如下 点的位置x轴y轴z轴xOy平面yOz平面xOz平面 坐标表示(x
4、,0,0)(0,y,0)(0,0,z)(x,y,0)(0,y,z)(x,0,z) 空间两点间的距离公式 提出问题 (1)已知数轴上A点的坐标2,B点的坐标 2. (2)已知平面直角坐标系中P(a,b),Q(m,n) 问题 1:如何求数轴上两点间的距离? 提示: |AB| |x1x2| |x2x1|. 问题 2:如何求平面直角坐标系中P,Q两点间距离? 提示:d|PQ| am 2 bn 2. 问题 3:若在空间中已知P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),如何求 |P1P2|? 提示:与平面直角坐标系中两点的距离求法类似 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 导入新知 1点P(x
5、,y,z)到坐标原点O(0,0,0)的距离 |OP| x2y2z2. 2 任意 两 点P1(x1,y1,z1) ,P2(x2,y2,z2) 间 的距 离|P1P2| x1x2 2 y1y2 2 z1z2 2. 化解疑难 1空间两点间的距离公式可以类比平面上两点间的距离公式,只是增加了对应的竖坐标 的运算 2 空间中点坐标公式:设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则AB中点P x1x2 2 , y1y2 2 , z1z2 2 . 空间中点的坐标的确定 例 1 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱BC,CC1上的点,|CF| |AB| 2|CE| ,|AB|
6、|AD| |AA1| 124.试建立适当的坐标系,写出E,F点的坐标 解 以A为坐标原点,射线AB,AD,AA1的方向分别为正方向建立空间直角坐标系, 如图所示 分别设 |AB| 1,|AD| 2,|AA1| 4, 则|CF| |AB| 1, |CE| 1 2| AB| 1 2, 所以 |BE| |BC| |CE| 2 1 2 3 2. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 所以点E的坐标为1, 3 2,0 ,点 F的坐标为 (1,2,1) 类题通法 空间中点P坐标的确定方法 (1)由P点分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面,依次交x轴、y轴、z轴于点Px、Py,Pz, 这三个点在x轴、y轴
7、、z轴上的坐标分别为x,y,z,那么点P的坐标就是 (x,y,z) (2)若题所给图形中存在垂直于坐标轴的平面,或点P在坐标轴或坐标平面上,则要充分 利用这一性质解题 活学活用 如图所示,V-ABCD是正棱锥,O为底面中心,E,F分别为BC,CD的中点 已知 |AB| 2, |VO| 3,建立如图所示空间直角坐标系,试分别写出各个顶点的坐标 解:底面是边长为2 的正方形, |CE| |CF| 1. O点是坐标原点, C(1,1,0),同样的方法可以确定B(1, 1,0),A(1, 1,0),D(1,1,0) V在z轴上, V(0,0,3) 空间中点的对称 例 2 (1)点A(1,2, 1)关于
8、坐标平面xOy及x轴的对称点的坐标分别是_ (2)已知点P(2,3,1)关于坐标平面xOy的对称点为P1,点P1关于坐标平面yOz的对称点 为P2,点P2关于z轴的对称点为P3,则点P3的坐标为 _ 答案 (1)(1,2,1),(1, 2,1) (2)(2, 3,1) 类题通法 1求空间对称点的规律方法 空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题,要掌握对称点的变化规律,才 能准确求解对称点的问题常常采用“关于谁对称,谁保持不变,其余坐标相反”这个结论 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2空间直角坐标系中,任一点P(x,y,z)的几种特殊对称点的坐标如下: (1)关于原点对称的点
9、的坐标是P1(x,y,z); (2)关于x轴(横轴 )对称的点的坐标是P2(x,y,z); (3)关于y轴(纵轴 )对称的点的坐标是P3(x,y,z); (4)关于z轴(竖轴 )对称的点的坐标是P4(x,y,z); (5)关于xOy坐标平面对称的点的坐标是P5(x,y,z); (6)关于yOz坐标平面对称的点的坐标是P6(x,y,z); (7)关于xOz坐标平面对称的点的坐标是P7(x,y,z) 活学活用 1在空间直角坐标系中,点P(3,1,5)关于平面yOz对称的点的坐标为( ) A(3,1,5) B(3, 1,5) C(3, 1, 5) D(3,1, 5) 答案: A 2 点P(3,2,
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