高中数学第四章定积分3定积分的简单应用教学案北师大版选修.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3 定积分的简单应用 对应学生用书P42 如图问题1:图中阴影部分是由哪些曲线围成? 提示:由直线xa,xb和曲线yf(x)和yg(x)围成 问题 2:你能求得其面积吗?如何求? 提示:能,先求由xa,xb和yf(x)围成的曲边梯形面积S1 b af(x)dx,再求由 x a,xb和yg(x)围成的曲边梯形面积S2 b ag(x)dx,则所求阴影部分面积为S1S2. 平面图形的面积 一般地,设由曲线yf(x),yg(x)以及直线xa,xb所围成的平 面图形的面积为S,则 S b af(x)dxbag(x)dx,f(x)g(x) 定积分在几何中的简单应
2、用主要是求平面图形的面积和旋转体的体积,解题关键是根据 图形确定被积函数以及积分上、下限 对应学生用书P42 不分割型图形面积的求解 例 1 求由抛物线yx24 与直线yx2 所围成图形的面积 思路点拨 画出草图,求出直线与抛物线的交点,转化为定积分的计算问题 精解详析 由 yx24, yx2, 得 x 3, y5, 或 x2, y0, 所以直线yx2 与抛物线yx24 的交点为 (3,5)和(2,0), 设所求图形面积为S,根据图形可得 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 S -3 2 (x 2)dx -3 2 (x24)dx 2x 1 2x 2 | 2 3 1 3x 34x | 2
3、3 25 2 25 3 125 6 . 一点通 求由曲线围成图形面积的一般步骤: 根据题意画出图形; 求交点,确定积分上、下限; 确定被积函数; 将面积用定积分表示; 用牛顿莱布尼兹公式计算定积分,求出结果 1由直线x 3, x 3, y 0与曲线ycos x所围成的封闭图形的面积为( ) A. 1 2 B1 C. 3 2 D.3 解析:结合函数图像可得所求的面积是定积分 3 3 cos xdxsin x | 3 3 3 2 3 2 3. 答案: D 2(山东高考 )直线y4x与曲线yx3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A 22 B42 C2 D.4 解析:由 4xx3,解得x0 或
4、x2 或x 2(舍去 ),根据定积分的几何意义可知,直 线y4x与曲线yx3在第一象限内围成的封闭图形的面积为 0 2 4xx3dx 2 x2 1 4x 4 | 2 0 4. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 答案: D 3计算由曲线y2x,yx3所围成的图形的面积S. 解:作出曲线y2x,yx3的草图,所求面积为如图中的阴影部 分的面积 解方程组 y2x, yx3 得交点的横坐标x0,x1,因此所求图形 面积为 S 1 0xdx 1 0x 3dx 2 3x 3 2 | 1 0 1 4x 4 |1 0 2 3 1 4 5 12. 分割型图形面积的求解 例 2 求由曲线xy1 及直线xy
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