高中数学第四章导数应用2导数在实际问题中的应用学案北师大版选修9.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2 导数在实际问题中的应用 21 实际问题中导数的意义 对应学生用书P51 某人拉动一个物体前进,他所做的功W(单位: J)是时间t(单位: s)的函数,设这个函数 可以表示为WW(t)t34t210t. 问题 1:t从 1 s到 4 s时,功W关于时间t的平均变化率是多少? 提示: W4W1 41 407 3 11(J/s) 问题 2:上述问题的实际意义是什么? 提示:它表示从t1 s到t4 s这段时间内,这个人平均每秒做功11 J. 问题 3:W(1)的实际意义是什么? 提示:W(t)3t28t10, W(1)5. 表示此人在t1s时每秒做功为5
2、 J. 实际问题中导数的意义 1功关于时间的导数是功率 2降雨量关于时间的导数是降雨强度 3生产成本关于产量的导数是边际成本 4路程关于时间的导数是速度速度关于时间的导数是加速度 5质量关于长度的导数是线密度 在日常生活中, 有许多需要用导数概念来理解的量如物理学中, 速度是路程关于时间 的导数,功率是功关于时间的导数解决这些问题,要在阅读材料、理解题意的基础上,利 用数学知识对模型进行分析,得到数学结论,然后再用数学结论解释实际问题 对应学生用书P52 导数在物理学中的应用 例 1 把原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整
3、理 如果第x h 时,原油的温度(单位: )为yf(x)x27x15(0x8) (1)分别计算当x从 0 变到 1,从 2 变到 3 时,原油温度y关于时间x的平均变化率,比 较它们的大小,并解释它们的实际意义; (2)计算第 2 h 和第 6 h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义 思路点拨 (1)平均变化率即为 y x. (2)可利用导数公式求出y,再分别求当x2,6时的导数值 精解详析 (1)由题意得f(0)15,f(1)9, 当x从 0 变到 1 时,原油温度平均变化率为 f1f0 10 6(/h) , 表示从 0 到 1 这一小时内,原油温度平均每小时降低6. 又f(2)5,
4、f(3)3, 当x从 2 变到 3 时,原油温度平均变化率为 f3f2 32 2(/h) , 表示从 2 到 3 这一小时内,原油温度平均每小时降低2. 60) (1)当x从 100变到 200时,平均每米的成本为_; (2)f(100)_,其实际意义为_ 解析: (1)f(100)1 010.3 ,f(200)4 020.3 , f200f100 200100 30.1(万元 /m) 即平均变化率为30.1万元 /m. (2)f(x) 1 10 (2x1),f(100)20.1(万元 /m) ,即当长度为100 m 时,每增加 1 m 的长 度,成本就增加20.1万元 答案: (1)30.1
5、万元(2)20.1万元 /m 当长度为100 m 时,每增加 1 m 的长度成本就增 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 加 20.1万元 6日常生活中的饮用水通常是经过净化的,随着水纯净度的提高,所需净化费用不断 增加已知将1 吨水净化到纯净度为x%时所需费用 (单位:元 )为c(x) 5 284 100x(800,即f(x)在3,4为增函数, 当x3 时,f(x)取最小值f(3)3 4 3 13 3 ; 当x4 时,f(x)取最大值f(4)4 4 45. (2)f(x) 3x23,令f(x)0,得x 1. 而f(1)2,f(1) 2,f(3)0,f(3) 0, x1 时,f(x)取最
6、大值f(1)2; x 1 时,f(x)取最小值f(1) 2. 与最值有关的恒成立问题 例 2 设f(x)x3 1 2x 22x5. (1)求函数f(x)的单调递增、递减区间; (2)当x1,2时,f(x)0,f(x)为增加的; 当x 2 3,1 时, f(x)0,f(x)为增加的 所以f(x)的递增区间为, 2 3 和(1, ),f(x)的递减区间为 2 3,1 . (2)当x1,2时,f(x)7,即m的取值范围为(7, ) 一点通 解决恒成立问题,常用方法是转化为求函数的最值问题,通过分离参数,要使mf(x) 恒成立,只需mf(x)的最大值即可,同理,要使m0,解得x 1 e ,令f (x)
7、1 时,g (x)0, g(x)在 1, )上是增加的, 所以g(x)的最小值为g(1)1.则a 1. 故a的取值范围是(, 1. 面积、体积 (容积 )的最值问题 例 3 某地政府为科技兴市,欲将如图所示的一块不规则的非农业 用地规划建成一个矩形的高科技工业园已知ABBC,OABC,且 |AB| |BC| 4 km,|AO| 2 km,曲线段OC是以点O为顶点且开口 向上的抛物线的一段如果要使矩形的两边分别落在AB,BC上,且一 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 个顶点落在曲线段OC上,应如何规划才能使矩形工业园的用地面积最大?并求出最大的用 地面积 (精确到 0.1 km2) 思路
8、点拨 建立坐标系, 求出OC所在抛物线的方程,用P(在OC上)的坐标表示矩形 的面积,再求最大值 精解详析 以O为原点,OA所在的直线为x轴建立平面直角坐标 系,如图,依题意可设抛物线的方程为x22py(p0),且过点C(2,4),所 以 222p4,解得p 1 2. 故曲线段OC的方程为yx2(0x2)设p(x,x2)(00,S是增加的; 当x 2 3,2 时, S0,3.22x0,得 00,当 11 在区间 (1, )内恒成立,则实数a的取值范围 是( ) A(, 1) B(, 1 C(1, ) D1, ) 解析:f(x)axln x,f(x)1 在(1, )内恒成立, a 1 ln x
9、x 在(1, )内恒成立 设g(x) 1 ln x x , 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 x(1, )时,g(x) ln x x2 0 或f(x)0), 令f (x)0,得x 1 2. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 f(x)的单调递增区间为 1 2, . 答案: C 3已知对任意实数x,有f(x)f(x),且x0 时,f(x)0,则x0 时( ) Af(x)0 Bf(x) 0 Cf(x)0 D无法确定 解析:因为f(x)f(x),所以f(x)为偶函数又x0 时,f (x)0,故f(x)在x 0时为 增加的,由偶函数在对称区间上单调性相反,可知当x 0时,f(x)为减少的
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