高中数学第四讲二举例学案含解析新人教A版选修.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 二 数学归纳法证明不等式举例 1贝努利不等式 如果x是实数,且x1,x0,n为大于 1 的自然数,那么有(1x)n1nx. 2贝努利不等式的推广 当指数n推广到任意实数时, (1)若 01); (2)若1 或 1) 3利用数学归纳法证明不等式 在不等关系的证明中,方法多种多样, 其中数学归纳法是常用的方法之一在运用数学 归纳法证明不等式时,难点是由nk时命题成立推出nk1 时命题成立这一步为完成 这步证明,不仅要正确使用归纳假设,还要与其他方法,如比较法、分析法、综合法、放缩 法等结合进行 利用数学归纳法证明不等式 证明: 2n2n2,nN *. 验
2、证n1,2,3 时,不等式成立 假设nk成立, 推证nk1 nk1成 立,结论得证 当n1 时,左边 21 24, 右边 1,所以左边 右边; 当n2 时,左边 2226,右边 224, 所以左边 右边; 当n3 时,左边 23210,右边 3 29, 所以左边 右边 因此当n1,2,3时,不等式成立 假设当nk(k3 且kN *)时,不等式成立 当nk1 时, 2 k 1 2 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 22k2 2(2 k 2)22 k2 2 k22k1k22k3 (k22k1)(k1)(k3)(因k 3,则k30,k10) k22k1(k1)2. 所以 2k12(k 1)
3、2. 故当nk1 时,原不等式也成立 根据,原不等式对于任何n N 都成立 利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由nk到nk1 的变形为满足题目的 要求, 常常要采用 “凑” 的手段, 一是凑出假设的形式,便于用假设; 二是凑出结论的形式, 再证明 1用数学归纳法证明: 1 n1 1 n2 1 3n 5 6(n2,n N *) 证明:当n2 时,左边 1 3 1 4 1 5 1 6 5 6,不等式成立 假设当nk(k2,kN *)时,不等式成立, 即 1 k1 1 k2 1 3k 5 6. 当nk1 时, 1 k11 1 k12 1 3k 1 3k1 1 3k2 1 3k1 5 6 1 3k
4、1 1 3k2 1 3k 3 1 k1 5 6 3 1 3k3 1 k1 5 6. 当nk1 时,不等式也成立 由知,原不等式对一切n2,nN *均成立 2用数学归纳法证明:1 1 22 1 32 1 n2Qn. 若x0,则PnQn. 若x(1,0), 则P3Q3x30. 所以 02 1 2 5 2, 所以 |ak 2ak 1| 1 1ak1 1 1ak |ak1ak| 1ak 11ak 1 15 2 5 k 1 1ak11ak 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 a 24对一切正整数 n都成立,求正整数a的 最大值,并证明你的结论 解:取n1, 1 11 1 12 1 311 26 2
5、4.令 26 24 a 24 ?a 25 24. n1 时,已证结论正确 假设nk(kN * )时, 1 k1 1 k2 1 3k1 25 24,则当 nk1 时,有 1 k11 1 k12 1 3k1 1 3k2 1 3k3 1 3k11 1 k1 1 k2 1 3k 1 1 3k2 1 3k3 1 3k4 1 k1 25 24 1 3k2 1 3k4 2 3k1 . 1 3k2 1 3k4 6k1 9k218k8 6k1 9k 1 2 2 3k1 , 1 3k2 1 3k4 2 3k1 0. 1 k 11 1 k12 1 3k11 25 24. 即nk1 时,结论也成立 由可知,对一切nN
6、 *,都有 1 n1 1 n2 1 3n1 25 24.故 a的最大值为25. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 课时跟踪检测(十三 ) 1用数学归纳法证明“对于任意x0 和正整数n,都有xnxn 2xn 4 1 xn4 1 xn2 1 xnn1”时,需验证的使命题成立的最小正整数值 n0应为 ( ) A 1 B2 C1,2 D以上答案均不正确 解析:选 A 需验证n01 时,x 1 x 11 成立 2用数学归纳法证明“2nn21 对于nn0的正整数n都成立”时,第一步证明中的 起始值n0应取 ( ) A 2 B3 C5 D 6 解析:选 C n取 1,2,3,4时不等式不成立,起始值
7、为5. 3用数学归纳法证明“1 1 2 1 3 1 2 n11)”时,由 nk(k1)不等式 成立,推证nk1 时,左边应增加的项数是( ) A 2 k1 B2 k1 C2k D2 k1 解析:选 C 由nk到nk1,应增加的项数为(2k 11)(2k1)2k12k2 k 项 4设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足“当f(k)k2成立时,总可推出f(k 1)(k1)2成立” 那么,下列命题总成立的是( ) A若f(1)1),当n2 时,要证明的式子为_ 解析:当n2 时,要证明的式子为2 2n1 2 ”时,n的最小取值n0 为_ 解析:左边为(n 1)项的乘积,故n0 2. 答案
8、: 2 7设a,b均为正实数 (nN *),已知 M (ab)n,Na n na n 1b,则 M,N的大小关 系为 _(提示:利用贝努利不等式,令xb a) 解析:当n1 时,MabN.当n2 时,M(ab)2,Na 22ab 2 2,不等式成立 假设当nk(k2)时不等式成立, 即(12k) 1 1 2 1 k k2. 则当nk1 时,有 左边1 1 2 1 k 1 k1 (12k) 1 1 2 1 k (12k) 1 k 1(k1) 1 1 2 1 k 1 k2 k 21(k1) 1 1 2 1 k . 当k2 时, 1 1 2 1 k1 1 2 3 2, 左边k2 k 21 (k 1)
9、 3 2 k22k1 3 2(k1) 2. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 这就是说当nk1 时,不等式成立 由可知当n1 时,不等式成立 9设数列 an 满足an 1a 2 nnan1,n1,2,3. (1)当a12 时,求a2,a3,a4,并由此猜想出an的一个通项公式; (2)当a3 时,证明对所有的n1,有ann2. 解: (1)由a1 2,得a2a 2 1a113; 由a23,得a3a 2 22a214; 由a34,得a4a 2 33a315. 由此猜想an的一个通项公式:ann1(n1) (2)证明:用数学归纳法证明 当n1,a1 312,不等式成立 假设当nk时不等式成
10、立, 即akk2. 那么,当nk1 时,ak 1ak(akk)1(k2)(k2k)1k3, 也就是说,当nk1 时,ak 1(k1)2. 根据和,对于所有n1,有ann2. 10设aR,f(x)a 2xa 2 2x1 是奇函数 (1)求a的值; (2)如果g(n) n n1(n N *),试比较 f(n)与g(n)的大小 (nN *) 解: (1)f(x)是定义在R 上的奇函数, f(0)0.故a1. (2)f(n)g(n) 2 n 1 2 n 1 n n1 2n2n1 2 n1 n1 . 只要比较 2n与 2n1 的大小 当n1,2时,f(n)2n1,f(n)g(n) 下面证明,n3 时,
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