高中数学第四讲一数学归纳法同步配套教学案新人教A版选修.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 一 数学归纳法 对应学生用书P39 数学归纳法 (1)数学归纳法的概念: 先证明当n取第一值n0(例如可取n01)时命题成立,然后假设当nk(kN,kn0) 时命题成立,证明当nk1 时命题也成立这种证明方法叫做数学归纳法 (2)数学归纳法适用范围: 数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的数学命题的证明 (3)数学归纳法证明与正整数有关的数学命题步骤: 证明当n取第一个值n0(如取n01 或 2等)时命题正确; 假设当nk(kN,kn0)时结论正确,证明当nk1 时命题也正确 由此可以断定,对于任意不小于n0的正整数n,命题都正确 对应学生用书P3
2、9 利用数学归纳法证明恒等式 例 1 证明:当n2,nN时, 1 1 4 1 1 9 1 1 16 1 1 n2 n1 2n . 思路点拨 注意到这是与正整数n有关的命题,可考虑用数学归纳法证明 证明 (1)当n2 时,左边 1 1 4 3 4,右边 21 22 3 4. 当n2 时,等式成立 (2)假设nk(k2,kN)时等式成立,即: 1 1 4 1 1 9 1 1 16 (1 1 k2) k1 2k 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 当nk1 时, 1 1 4 1 1 9 1 1 k2 1 1 k 1 2 k1 2k 1 1 k1 2 k1 2k kk 2 k1 2 k2 2k1
3、 k11 2k1 . 当nk1 时,等式也成立,由(1)(2)知,对任意n2,nN等式成立 利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点:一是要准确表述nn0时命题的形式, 二是要准确把握由nk到nk1 时,命题结构的变化特点并且一定要记住:在证明n k1 成立时,必须使用归纳假设 1在用数学归纳法证明,对任意的正偶数n,均有 1 1 2 1 3 1 4 1 n1 1 n2 1 n 2 1 n4 1 2n 成立时, (1)第一步检验的初始值n0是什么? (2)第二步归纳假设n2k时(kN)等式成立,需证明n为何值时,方具有递推性; (3)若第二步归纳假设nk(k为正偶数 )时等式成立,需证明n为何
4、值时,等式成立 解: (1)n0为 2.此时左边为1 1 2,右边为 2 1 4 1 2. (2)假设n2k(kN)时,等式成立, 就需证明n2k2(即下一个偶数)时,命题也成立 (3)若假设nk(k为正偶数 )时,等式成立,就需证明nk2(即k的下一个正偶数)时, 命题也成立 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2求证: 1 1 12 1 123 1 123n 2n n1(n N ) 证明: (1)当n1 时,左边 1,右边 21 111, 所以左边右边,等式成立 (2)假设当nk(k1,kN)时等式成立, 即 1 1 12 1 123 1 123k 2k k1. 则 当nk1时 ,1
5、 1 12 1 1 23 1 123k 1 123kk1 2k k1 1 123kk1 2k k1 2 k1k2 2k 1 2 k1k2 2k 1 k11. 这就是说,当nk1 时,等式也成立 由(1)(2)可知,对任何xN等式都成立 用数学归纳法证明整除问题 例 2 求证:x2 n y2 n(nN )能被xy整除 思路点拨 本题是与正整数有关的命题,直接分解出因式(xy)有困难, 故可考虑用数 学归纳法证明 证明 (1)当n1 时,x2y2(xy)(xy)能被xy整除 (2)假设nk(k1,kN)时,x2ky 2k 能被xy整除, 那么当nk1 时,x2k 2y2k 2 x2x2 ky2y2
6、k x2y2kx2y2k x2(x2ky2k)y2k(x2y2) x2ky2k与x2y2都能被xy整除, x2(x2ky2k)y2k(x2y2)能被xy整除 即nk1 时,x2k2y2k2能被xy整除 由(1)(2)可知,对任意正整数n命题均成立 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 利用数学归纳法证明整除时,关键是整理出除数因式与商数因式积的形式这就往往要 涉及到“添项”与“减项” “因式分解”等变形技巧,凑出nk时的情形,从而利用归纳假 设使问题得证 3用数学归纳法证明:(3n1)7n1(nN)能被 9 整除 证明:当n1 时, 471 27 能被 9 整除命题成立 假设nk时命题成立
7、,即(3k1) 7 k1 能被 9 整除,当 nk1 时, (3k3)1 7 k1 13k1377k1 7(3k1)7k1 217 k (3k 1) 7 k1 18k7k67k217k (3k 1) 7 k1 18k7k27 7k, 由归纳假设 (3k1)7 k1 能被 9 整除,又因为 18k7 k277k 也能被 9整除, 所以 3(k 1)17k1 1能被 9 整除,即nk1 时命题成立 则可知对所有正整数n命题成立 4用数学归纳法证明:1(3x)n(n N)能被x2 整除 证明: (1)n1 时, 1(3x) (x2),能被x2 整除,命题成立 (2)假设nk(k1)时, 1 (3x)
8、n能被x2 整除,则可设1(3x)k(x2)f(x)(f(x)为k 1 次多项式 ), 当nk1 时, 1(3x)k 1 1(3x)(3x)k 1(3x)1(x2)f(x) 1(3x)(x2)(3x)f(x) (x2)(x2)(3x)f(x) (x2)1(3x)f(x), 能被x2 整除,即当nk1 时命题成立 由(1)(2)可知,对nN,1(3x)n能被x2 整除 . 用数学归纳法证明几何问题 例 3 平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,求证:这n条直 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 线把平面分割成 1 2(n 2n2)个区域 思路点拨 用数学归纳法进行证明,关键
9、是考虑:k条直线将平面分成的部分数与k 1 条直线将平面分成的部分数之间的关系,利用该关系可以实施从假设到nk1 时的证 明 证明 (1)当n1 时,一条直线把平面分成两个区域,又 1 2(1 212)2, n1 时命题成立 (2)假设nk时, 命题成立,即k条满足题意的直线把平面分割成了 1 2(k 2 k 2)个区域那 么当nk1 时,k1 条直线中的k条直线把平面分成了 1 2(k 2 k2)个区域,第k1 条直 线被这k条直线分成k 1段,每段把它们所在的区域分成了两块,因此增加了k1 个区域, 所以k 1 条直线把平面分成了 1 2(k 2 k2)k1 1 2 (k 1) 2(k1)
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