高中数学第四讲章末小结与测评创新应用教学案新人教A版选修78.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 第四讲 用数学归纳法证明不等式 不完全归纳的作用在于发现规律,探求结论, 但结论是否为真有待证明,因而数学中我 们常用归纳猜想证明的方法来解决与正整数有关的归纳型和存在型问题 设数列 an满足an 1a2 nnan1,n1,2, 3, (1)当a12 时,求a2,a3,a4,并由此猜想出数列an的一个通项公式 (2)当a13 时,证明对所有的n1,有ann2; 1 1a1 1 1a2 1 1an 1 2. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解 (1)由a12,得a2a 2 1a113; 由a23,得a3a 2 22a214; 由a34,得a4
2、a 2 33a315. 由此猜想:ann1(nN) (2)用数学归纳法证明: 当n1 时,a1312,不等式成立; 假设当nk时,不等式成立,即akk2, 那么当nk1 时,ak1a 2 kkak1ak(akk)1 (k2)(k2k)12(k2)1k3(k1)2, 也就是说,当nk1 时,ak 1(k1)2. 综上可得,对于所有n1,有ann2. 由an 1an(ann)1 及,对k2,有 akak 1(ak1k1)1ak1(k1 2k1)1 2ak 112(2ak2 1)122ak 221 2 3a k3 2 2 21 ak2k 1a12k 2 212 k1a 12 k11 2 k1(a 1
3、1)1, 于是 1ak2 k1(a 11), 1 1ak 1 1a1 1 2k 1,k2. 1 1a1 1 1a2 1 1an 1 1a1 1 1a1 1 2 1 22 1 2n 1 1 1a1 1 1 2 1 22 1 2n1 2 1a1 1 1 2 n 1 (k 1)(k2) . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 从而转化为证明 1 k1k 1 k 23k2, 也就是证明k23k2k 1k, 即(k23k2)2(k1k)2 k2k12k(k1) k(k1) 120, 从而k23k2k1k. 于是当nk1 时,原不等式也成立 由(1)、(2)可知,对于任意的正整数n,原不等式都成立
4、2放缩法 涉及关于正整数n的不等式,从“k”过渡到“k1” ,有时也考虑用放缩法 求证: 1 1 2 1 3 1 2n 1 n 2(n N) 证明 (1)当n1 时,左边 1,右边 1 2. 左边 右边,不等式成立 (2)假设nk(k1,kN)时不等式成立, 即 1 1 2 1 3 1 2k1 k 2. 当nk1 时, 1 1 2 1 3 1 2 k 1 1 2k 11 1 2k, s do4( 2k1 项) k 22 k 1 1 2 k k1 2 .nk 1时, 不等式成立 由(1)、(2)可知, 1 1 2 1 3 1 2n 1 n 2(nN ) 3递推法 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风
5、萧萧整理 用数学归纳法证明与数列有关的问题时,有时要利用an与an1的关系,实现从“k”到 “k1”的过渡 设 01,又a11a(1a)a1, 同时,ak 1 1 ak a2 xk 2 1 xk 2.所以xn2 (nN)显然成立 下面证明:xn 1 2 1 k . 因为、 不是同向不等式,所以由递推式无法完成由k到(k1)的证明, 到此好像 “山 重水复疑无路” ,证题思路受到阻碍 受阻原因分析: 要利用递推式xk1x k 2 1 xk,只有找出关系式 1 xk 1 A这样一个条件, 才可以接通思路 当注意到前面已证明 xn2以 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 后,问题就可以解决了思
6、路受阻的原因就在于不会借用前面已经证明的结论事实上, xk2, 1 xk 2n 1 2 ”时,n的最小取值n0为 _ 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析:n01 时, 1 1 1 不适合原式要求 n02 时, 1 1 3 5 2 ,再用数学归纳法证明 答案: 2 6若f(n)12 2 232 (2n)2,则 f(k1)与f(k)的递推关系式是f(k1) _ 解析:f(k)1 222 (2k)2, f(k1)1222 (2k)2(2k1)2 (2k2)2, f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2. 答案:f(k)(2k1)2(2k2)2 7用数学归纳法证明:cos cos 3 c
7、os 5 cos (2n1) sin 2n 2sin (sin 0,n N),在验证n1 时,等式右边的式子是_ 解析:本题在n1 时,右边考查二倍角的正弦公式,右边 sin 2 2sin 2sin cos 2sin cos . 答案: cos 8设 an是首项为1 的正项数列,且(n1)a2n1na 2 nan1an0(n1,2,3, ), 则它的通项an_ 解析:法一:分别令n1, 2,3 求出a2 1 2, a3 1 3,通过不完全归纳法知 an 1 n. 法二:对已知等式因式分解得 (n1)an1nan(an1an)0. 由an0 知 an 1 an n n1,再由累乘法求得 an 1
8、 n. 答案: 1 n 三、解答题 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 9在数列 an 中,a1a21,当nN时,满足an2an 1an,且设bna4n,求证: bn各项均为3 的倍数 证明: (1)a1a21,故a3a1a22,a4a3a23. b1a43,当n 1时,b1能被 3 整除 (2)假设nk时,命题成立,即bka4k是 3 的倍数,则nk1 时, bk1a4(k 1)a4k4a4k 3a4k 2 a4k 2a4k 1a4k 1a4k a4ka4k1a4k 1a4k 1a4k3a4k 12a4k. 由归纳假设,a4k是 3 的倍数, 3a4k 1是 3 的倍数,故可知bk 1
9、是 3 的倍数,nk1 时命题也正确 综合 (1)、(2)可知,对正整数n,数列 bn的各项都是3 的倍数 10用数学归纳法证明: 1 2 3 4 5 6 2n1 2n n21 对于nn0的自然数n都成立”时,第一步证明中的 起始值n0应取 ( ) A 2 B3 C5 D6 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析:选 C 取n01, 2,3,4, 5验证,可知n0 5. 3用数学归纳法证明当nN时 1 222 22n22n 11 时,当n1 时左边为 ( ) A 1 B12 C 122 2 D 12 2 223 解析:选 C 因为左边为2n 1项和,所以n1 时,左边 1222. 4
10、用 数 学 归 纳 法 证 明 对 一 切 大 于1 的 自 然 数n, 不 等 式1 1 3 1 1 5 1 1 2n1 2n1 2 成立时,当n2 时验证的不等式是( ) A 1 1 3 5 2 B. 1 1 3 1 1 5 5 2 C. 1 1 3 1 1 5 5 2 D以上都不对 解析:选 A 当n2 时,左边 1 1 2 211 1 3 , 右边 221 2 5 2 , 1 1 3 5 2 . 5 已 知n为 正 偶 数 , 用 数 学 归 纳 法 证 明1 1 2 1 3 1 4 1 n 1 1 n 2 1 n2 1 n 4 1 2n 时,若已假设nk(k2,k为偶数 )时命题为真
11、,则还需要用归纳假 设再证 ( ) Ank1 时等式成立 Bnk2 时等式成立 Cn2k2 时等式成立 Dn2(k2)时等式成立 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析:选 B k为偶数,假设nk时,命题为真,还需再证nk2 时等式成立, 故选 B. 6已知f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足: “当f(k)k2成立时, 总可推出f(k 1)(k1)2成立” ,那么,下列命题总成立的是( ) A若f(3)9 成立,则当k1 时,均有f(k)k2成立 B若f(4) 16成立,则当k 4 时,均有f(k)1642成 立 当k4 时,有f(k)k2成立 7用数学归纳法证明“对于任
12、意x0 和正整数n,都有xnxn 2xn 4 1 xn4 1 xn2 1 xnn1”时,需验证的使命题成立的最小正整数值 n0应为 ( ) An0 1 Bn02 Cn01,2 D 以上答案均不正确 解析:选 A n01 时,x 1 x1 1成立,再用数学归纳法证明 8记凸k边形的内角和为f(k),则凸k1 边形的内角和f(k1)与f(k)的关系是 ( ) Af(k1)f(k) 2 Bf(k1)f(k) Cf(k1)f(k) 3 2 Df(k1)f(k)2 解析:选 B 凸多边形每增加一条边,内角和增加. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 9下列代数式,nN,可能被 13 整除的是 (
13、) An 3 5n B34n 152n 1 C62n11 D 4 2n 13n 2 解析:选D A 中,n1 时, 156,不能被13 整除; B 中,n1 时, 3553368 不能被 13 整除; C 中,n1 时, 617 亦不能被13 整除 10用数学归纳法证恒等式 1 24 1 46 1 6 8 1 2n(2n2) n 4(n1) ,由nk 到nk1 时,等式左边增加的式子为( ) A. 1 2k4 B. 1 (2k2)( 2k3) 1 (2k3)( 2k4) C. 1 2(k1) D. 1 (2k2)( 2k4) 解析:选 D 观察等式左边可知nk1 时,应再加上 1 (2k2)(
14、 2k4). 二、填空题 (本大题共有4小题,每小题5分,共 20 分) 11证明 1 1 2 1 3 1 4 1 2n 1 n 2(nN ),假设nk时成立,当nk1 时,左边 增加的项数是 _ 解析:令f(n)1 1 2 1 3 1 2 n 1, 则f(k)1 1 2 1 3 1 2k1, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 f(k1)1 1 2 1 3 1 2k1 1 2k 1 2k 11, 所以f(k1)f(k) 1 2k 1 2k1 1 2k 11, 分母首项为2 k a1,分母末项an2k 11, 公差d1,n ana1 d 12k. 答案: 2 k 12设数列 an满足a1
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