高中数学第四讲第2节举例创新应用教学案新人教A版选修70.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 第 2 节 用数学归纳法证明不等式举例 核心必知 贝努利 (Bernoulli)不等式 如果x是实数,且x1,x0,n为大于 1 的自然数,那么有(1x)n1nx 问题思考 在贝努利不等式中,指数n可以取任意实数吗? 提示:可以但是贝努利不等式的体现形式有所变化 事实上:当把正整数n改成实数后,将有以下几种情况出现: (1)当是实数,并且满足1 或者 1) (2)当是实数,并且满足011) 已知Sn1 1 2 1 3 1 n(n1, nN), 求证:S2n1 n 2(n2, nN) 精讲详析 本题考查数学归纳法的应用,解答本题需要注意n的取值范围,
2、因为n1, nN,因此应验证n02 时不等式成立 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (1)当n2 时,S221 1 2 1 3 1 4 25 121 2 2, 即n2 时命题成立 (2)假设nk(k2,kN)时命题成立, 即S2k1 1 2 1 3 1 2 k1 k 2. 则当nk1 时, S2k11 1 2 1 3 1 2k 1 2k1 1 2k1 1 k 2 1 2 k1 1 2k2 1 2k 1 1 k 2 2 k 2 k2k1 k 2 1 21 k1 2 . 故当nk1 时,命题也成立 由(1)、(2)知,对nN,n2,S2n1 n 2都成立 利用数学归纳法证明不等式的关键是由
3、nk到nk1 的变形,为满足题目的要求, 往往要采用“放缩”等手段,例如在本题中采用了“ 1 2k 1 1 2k2 1 2k 1 2 k 2k2 k 1 2”的 变形 1证明不等式:1 1 2 1 3 1 n Qn. 若x0,则PnQn. 若x(1,0),则P3Q3x3 a 24对一切正整数 n都成立, 求正整数a 的最大值,并证明你的结论 精讲详析 本题考查数学归纳法的应用以及探索型问题的求解方法解答本题需要根 据n的取值,猜想出a的最大值,然后再利用数学归纳法进行证明 当n1 时, 1 11 1 12 1 311 a 24,即 26 24 a 24, a 25 24. (1)n 1时,已证
4、 (2)假设当nk(k1,kN)时, 1 k1 1 k2 1 3k1 25 24 , 则当nk1 时,有 1 (k1) 1 1 (k1) 2 1 3k1 1 3k2 1 3k 3 1 3(k 1) 1 1 k 1 1 k2 1 3k1 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1 3k2 1 3k3 1 3k4 1 k 1 25 24 1 3k2 1 3k4 2 3(k1) . 1 3k2 1 3k4 6(k1) 9k218k8 2 3(k 1) , 1 3k2 1 3k4 2 3(k1) 0, 1 (k 1) 1 1 (k1) 2 1 3(k1) 1 25 24也成立 由(1)、(2)可知,
5、对一切nN,都有 1 n1 1 n2 1 3n 1 25 24, a的最大值为25. 利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是:先通过观察、判断,猜想出结论,然后 用数学归纳法证明这种分析问题和解决问题的思路是非常重要的,特别是在求解存在型或 探索型问题时 3对于一切正整数n,先猜出使tnn2成立的最小的正整数t,然后用数学归纳法证明, 并再证明不等式:n(n1) lg 3 4 lg(123n) 解:猜想当t3 时,对一切正整数n使 3 n n2成立 下面用数学归纳法进行证明 当n1 时, 313112,命题成立 假设nk(k 1,kN)时, 3kk2成立,则有3 kk21. 对nk1,3k 1
6、33k3 k2 3k k22(k21)3k21. (3k2 1)(k1)22k22k2k(k1)0, 3k 1(k1)2, 对nk1, 命题成立 由 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 上知,当t 3时, 对一切nN,命题都成立 再用数学归纳法证明: n(n1) lg 3 4 lg(123n) 当n1 时, 1 (11) lg 3 4 lg 3 2 0lg 1,命题成立 假设nk(k 1,kN)时, k(k1) lg 3 4 lg(123k)成立 当nk1 时, (k1)(k2) lg 3 4 k(k1) lg 3 4 2(k 1) lg 3 4 lg(123k) 1 2lg 3 k 1
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