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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 课下能力提升 (十七) 学业水平达标练 题组 1 用基底表示向量 1已知e1,e2是表示平面内所有向量的一组基底,那么下面四组向量中,不能作为一 组基底的是 ( ) Ae1,e1e2Be12e2,e22e1 Ce12e2,4e22e1De1e2,e1e2 A. 2 3b 1 3cB. 5 3c 2 3b C. 2 3b 1 3cD. 1 3b 2 3c 3如图,在梯形ABCD中,ADBC,且AD 1 3BC,E,F 分别为线段AD与BC的中 点试以a,b为基底表示向量 题组 2 向量的夹角问题 4若向量a与b的夹角为60,则向量a与b的夹角是 ( )
2、 A 60B120 C30D150 5已知非零向量a,b,c满足abc0,向量a,b的夹角为120,且 |b| 2|a| , 则向量a与c的夹角为 _ 题组 3 平面向量基本定理的应用 7设向量e1与e2不共线,若3xe1(10y)e2 (4y7)e12xe2,则实数x,y的值分别为 ( ) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 A 0,0 B1,1 C3,0 D3,4 8在 ?ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点若,其中, R,则的值为 _ 9设e1,e2是平面内一组基向量,且ae12e2,be1e2,则向量e1e2可以表示 为以a,b为基向量的线性组合,即e1e2_ 10设e1,
3、e2是不共线的非零向量,且ae12e2,be13e2. (1)证明:a,b可以作为一组基底; (2)以a,b为基底,求向量c 3e1e2的分解式; (3)若 4e13e2 a b,求,的值 能力提升综合练 1以下说法中正确的是( ) A若a与b共线,则存在实数,使得a b B设e1和e2为一组基底,a 1e12e2,若 a0,则1 20 C a的长度为|a| D如果两个向量的方向恰好相反,则这两个向量是相反向量 2A,B,O是平面内不共线的三个定点,且,点P关于点A的对称 点为Q,点Q关于点B的对称点为R,则等于 ( ) AabB2(ba) C2(ab) Dba 3. 已知e1,e2不共线,且
4、ake1e2,be2e1, 若a,b不能作为基底, 则k等于 _ 4如图,在ABC中,AB2,BC3,ABC 60,AHBC于点H,M为AH的 中点若则 _ 5如图所示,在正方形ABCD中,E为AB的中点,P是以A为圆心,AB为半径的圆 弧BD 上的任意一点,设PAB,向量(,R),若1,则 _ 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 6如图所示,平行四边形ABCD中,M为DC的中点,N是BC的中点, (1)试以b,d为基底表示; (2)试以m,n为基底表示. 7.如图所示,在ABC中,点M是AB的中点,且,BN与CM相交于点 E,设a,b,试用基底a,b表示向量. 答案 学业水平达标练 1
5、. 解析:选C 因为4e22e1 2(e12e2),从而e12e2与 4e22e1共线 2. 3. 4. 解析:选A 平移向量a,b使它们有公共起点O,如图所示,则由对顶角相等可得 向量a与b的夹角也是60. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 5. 解析:由题意可画出图形,如图所示 在OAB中, 因为OAB 60, |b| 2|a| , 所以ABO 30,OAOB, 即向量a与c的夹角为90. 答案: 90 6. 解:如图,以OA,OB所在射线为邻边,OC为对角线作平行四边形ODCE, 在 RtOCD中, 即4,2,6. 7. 解析:选D 向量e1与e2不共线, 3x 4y7, 10y
6、2x, 解得 x3, y4. 8. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 答案: 4 3 9. 解析:设e1e2manb(m,nR), ae12e2,be1e2, e1e2m(e12e2)n(e1e2) (mn)e1(2mn)e2. e1与e2不共线, mn1, 2mn1, m 2 3 , n 1 3. e1e2 2 3a 1 3b. 答案: 2 3a 1 3b 10. 解: (1)证明:若a,b共线,则存在R,使a b, 则e12e2(e13e2) 由e1,e2不共线,得 1, 3 2, ? 1, 2 3. 不存在,故a与b不共线,可以作为一组基底 (2)设cmanb(m、nR),则 3
7、e1e2m(e12e2)n(e13e2) (mn)e1(2m3n)e2. mn3, 2m3n 1, ? m2, n1. c 2ab. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (3)由 4e13e2 a b,得 4e13e2(e12e2)(e13e2) ()e1 (23)e2. 4, 23 3,? 3, 1. 故所求,的值分别为3 和 1. 能力提升综合练 1. 解析:选B A 错,a0,b0 时,不存在 C 错, 0时不成立 D 错,相反向量的模相等,故选B. 2. 3. 解析:向量a,b不能作为基底,则向量a,b共线,可设a b,则 k, 1, 则k 1. 答案: 1 4. 解析:因为AB 2,BC3,ABC60,AHBC, 所以BH1,BH 1 3BC. 因为点M为AH的中点, 即 1 2, 1 6 , 所以 2 3. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 答案: 2 3 5. 所以sin 1,sin 1, 所以 sin 1,90. 答案: 90 6. 7. 解得 m 3 5 , n 4 5 , 所以AE 2 5a 1 5b.
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