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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 课后提升训练十六离散型随机变量的方差 (45 分钟70 分) 一、选择题 (每小题 5 分,共 40 分 ) 1.随机变量X 的分布列为 X 0 1 2 P a b 若 E(X)=1, 则 D(X)= ( ) A.B.1 C.D. 【解析】 选 C.由题意得+a+b=1, 0+1a+2b=1, 由两式解得:a=b=. 所以 D(X)=(0-1) 2 +(1-1) 2 +(2-1) 2 =+=. 2.已知 X 的分布列为 X 1 2 3 4 P 则 D(X) 的值为( ) A.B.C.D. 【解析】 选 C.E(X)=1 +2+3+4=, D(X)=+
2、=. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3.设 X 的分布列为P(X=k)=(k=0,1,2,3,4,5), 则 D(3X)= ( ) A.10 B.30 C.15 D.5 【解析】 选 A.由 X 的分布列知XB, 所以 D(X)=5 =, 所以 D(3X)=9D(X)=10. 4.(2017 宝鸡高二检测)同时抛两枚均匀硬币10次 ,设两枚硬币同时出现反面的次数为X,则 D(X) 等于( ) A.B.C.D.5 【解析】 选 A.由题意知X B, 所以 D(X)=10 =. 5.(2017青岛高二检测)某公司 10 位员工的月工资(单位 :元)为 x1,x2, ,x10,其均值和方
3、差分别为和 s 2,若从下 月起每位员工的月工资增加100元,则这 10 位员工下月工资的均值和方差分别为( ) A.,s 2+1002 B.+100,s 2+1002 C.,s 2 D.+100,s2 【 解 析 】 选D. 设 下 月 起 每 位 员 工 的 月 工 资 增 加100 元 后 的 均 值 和 方 差 分 别 为,s 2, 则 =+100. 方差 s2=(x1+100-100)2+(x2+100-100)2+(x10+100-100)2=s 2. 6.有 10 件产品 ,其中 3件是次品 ,从中任取2 件,若 X 表示取到次品的件数,则 D(X) 等于( ) A.B.C.D.
4、 【解析】 选 D.X 的所有可能取值是0,1,2. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 而 P(X=0)=, P(X=1)=, P(X=2)=. 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 P 于是 E(X)=0 +1+2=, 所以 D(X)=+=. 7.甲、乙两台自动车床各生产同种标准产品1000 件,表示甲车床生产 1000 件产品中的次品数,表示乙车床 生产 1000件产品中的次品数,经过一段时间的考察, ,的分布列分别如表一、表二所示. 表一 0 1 2 3 P 0.7 0 0.2 0.1 表二 0 1 2 3 P 0.6 0.2 0.1 0.1 据此判定( ) A.甲比乙质量好B.
5、乙比甲质量好 C.甲与乙质量相同D.无法判定 【解题指南】分别计算随机变量与的均值与方差,一般来说均值越小,方差也小的质量好. 【解析】 选 B.由分布列可求甲的次品数均值为E( )=0.7, 乙的次品数均值为E( )=0.7, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 进而得 D( )=(0-0.7) 2 0.7+(1-0.7)20+ (2-0.7) 2 0.2+(3-0.7)2 0.1=1.21, D( )=(0-0.7) 20.6+(1-0.7)20.2+(2-0.7)20.1+(3-0.7)20.1=1.01, 故乙的质量要比甲好. 8.(2017唐山 高二检测 )已知 X 的分布列为
6、 X -1 0 1 P 则 E(X)=-, D(X)=,P(X=0)=,其中正确的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】 选 C.根据分布列知 ,P(X=0)=, E(X)=(-1) +1=-, 所以 D(X)=+=.只有正确. 二、填空题 (每小题 5 分,共 10 分 ) 9.若随机变量XB,则E(X)=_,D(X)=_.又Y=2X+1,则 E(Y)=_,D(Y)=_. 【解析】 易知 E(X)=,D(X)=. 所以 E(Y)=2E(X)+1=, D(Y)=4D(X)=. 答案 : 【补偿训练】(2017东莞高二检测)如果随机变量 B(n,p),且 E( )=7, D( )
7、=6,则 p 等于 _. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 【解析】 因为随机变量 B(n,p),且 E( )=7,D( )=6, 所以 所以 7(1-p)=6,1-p=,解得 p=. 答案 : 10.抛掷两枚骰子 ,当至少有一枚5点或一枚6点出现时 ,就说这次试验成功,则在 30 次试验中成功次数X 的方 差 D(X)=_. 【解析】利用古典概型计算概率的公式计算1 次试验成功的概率P=,在 30 次试验中成功次数X 服从 二项分布 ,即 XB, 所以 D(X)=30 =. 答案 : 三、解答题 (每小题 10 分,共 20分) 11.有 10 张卡片 ,其编号分别为1,2,3,10
8、, 从中任意抽取3张 ,记号码为 3的倍数的卡片张数为X,求 X 的均值、 方差、标准差. 【解析】 X 的可能值为0,1,2,3, 所以 P(X=0)=; P(X=1)=; P(X=2)=; 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 P(X=3)=. 故 X 的均值为E(X)=0 +1+2+3=; 方差为 D(X)=+=; 标准差为=. 12.甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量, ,已知甲、乙两名射手在每次射击中 击中的环数均大于6环,且甲射中 10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,0.1, 乙射中 10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2. (1)求
9、 ,的分布列. (2)求 ,的均值与方差 ,并以此比较甲、乙的射击技术. 【解析】 (1)依据 题意 0.5+3a+a+0.1=1, 解得 a=0.1, 因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2, 所以乙射中7 环的概率为1-(0.3+0.3+0.2)=0.2. 所以 ,的分布列分别为 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 (2)结合 (1)中 ,的分布列可得 E( )=100.5+90.3+80.1+70.1=9.2(环), E( )=10 0.3+90.3+80.2+70.2=8.7(环), D( )=
10、(10-9.2) 20.5+(9-9.2)20.3+(8-9.2)20.1+(7-9.2)20.1=0.96, D( )=(10-8.7)20.3+(9-8.7)20.3+(8-8.7)20.2+(7-8.7)20.2=1.21. 由于 E( )E( ),说明甲平均射中的环数比乙高; 又 D( )D( ),说明甲射中的环数比乙集中,比较稳定 ,所以甲的技术比乙好. 【能力挑战题】 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X(单位 :mm)对工期的影响如下表: 降水量 X X300 300X700 700 X900 X900 工期延误天数Y 0 2 6 1
11、0 历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X 小于 300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9, 求: (1)工期延误天数Y 的均值与方差. (2)在降水量X 至少是 300的条件下 ,工期延误不超过6天的概率 . 【解析】 (1)由已知条件和概率的加法公式有: P(X300)=0.3, P(300X700)=P(X700)-P(X300)=0.7-0.3=0.4, P(700X900)=P(X900)-P(X700) =0.9 -0.7=0.2, 所以 P(X900)=1-P(X900)=1-0.9=0.1. 所以 Y 的分布列为 : Y 0 2 6 10 P 0.3 0.4 0.2 0.1 于是 ,E(Y)=0 0.3+20.4+60.2+100.1=3; D(Y)=(0-3) 20.3+(2-3)20.4+( 6-3)20.2+(10-3)20.1=9.8. 故工期延误天数Y 的均值为3,方差为 9.8. (2)由概率的加法公式, P(X 300)=1-P(X300)=0.7, 又 P(300X900)=P(X900)-P(X300)=0.9-0.3=0.6. 由条件概率 ,得 P(Y 6|X 300)=P(X900|X 300)=, 故在降水量X 至少是 300的条件下 ,工期延误不超过6 天的概率是.
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