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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 课时作业 5 公理 4 及定理 | 基础巩固 |(25 分钟, 60 分) 一、选择题 (每小题 5 分,共 25 分) 1若直线ab,bcA,则a与c的位置关系是( ) A异面B相交 C平行D异面或相交 解析:a与c不可能平行,否则由ab,得bc与bcA矛盾故选D. 答案: D 2 若AOBA1O1B1, 且OAO1A1,OA与O1A1方向相同,则下列结论正确的是( ) AOBO1B1且方向相同 BOBO1B1,方向可能不同 COB与O1B1不平行 DOB与O1B1不一定平行 解析:在空间中两角相等,角的两边不一定平行,即定理的逆命题不一定成立故选
2、 D. 答案: D 3(2017安徽宿州十三校联考)在正方体ABCDA1B1C1D1的所有面对角线中,与AB1 成异面直线且与AB1成 60的有 ( ) A 1条B 2条 C3 条D 4条 解析: 如图,AB1C是等边三角形,所以每个内角都为60,所以面对角线中,所有与B1C 平行或与AC平行的直线都与AB1成 60角所以异面的有2 条 又AB1D1也是等边三角形,同理满足条件的又有2 条,共 4 条,选 D. 答案: D 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 4如图,在四面体SABC中,G1,G2分别是SAB和SAC的重心,则直线G1G2 与BC的位置关系是 ( ) A相交B平行 C异面
3、D以上都有可能 解析:连接SG1,SG2并延长,分别与AB,AC交于点M,N,连接MN,则M,N分 别为AB,AC的中点,由重心的性质,知 SG1 SM SG2 SN, G1G2MN.又M,N分别为AB,AC 的中点,MNBC,再由平行公理可得G1G2BC,故选 B. 答案: B 5如图所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1底面ABC,ABBCAA1,ABC 90,点E,F分别是棱AB,BB1的中点,则直线EF和BC1所成的角是 ( ) A 45B60 C90D120 解析:连接AB1,易知AB1EF,连接B1C,B1C与BC1交于点G,取AC的中点H, 连接GH,则GHAB1EF.设AB
4、BCAA1a,连接HB,在三角形GHB中,易知GH HBGB 2 2 a,故所求的两直线所成的角即为HGB60. 答案: B 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 二、填空题 (每小题 5 分,共 15 分) 6不共面的四点可以确定_个平面 解析:任何三点都可以确定一个平面,从而可以确定4 个平面 答案: 4 7用一个平面去截一个正方体,截面可能是_ 三角形;四边形;五边形;六边形 解析: (注:这儿画了其中的特例来说明有这几种图形) 答案: 8如图,在正方体AC1中,AA1与B1D所成角的余弦值是_ 解析:因为B1BA1A,所以BB1D就是异面直线AA1与B1D所成的角,连接BD. 在
5、RtB1BD中,设棱长为1,则B1D3. cosBB1D BB1 B1D 1 3 3 3 . 所以AA1与B1D所成的角的余弦值为 3 3 . 答案: 3 3 三、解答题 (每小题 10 分,共 20分) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 9在三棱柱ABCA1B1C1中,M,N,P分别为A1C1,AC和AB的中点 求证: PNA1 BCM. 证明:因为P,N分别为AB,AC的中点, 所以PNBC. 又因为M,N分别为A1C1,AC的中点, 所以A1M綊NC. 所以四边形A1NCM为平行四边形, 于是A1NMC. 由及PNA1与BCM对应边方向相同,得PNA1BCM. 10在正方体ABC
6、DA1B1C1D1中, (1)求AC与A1D所成角的大小; (2)若E,F分别为AB,AD的中点,求A1C1与EF所成角的大小 解析: (1)如图所示,连接B1C,AB1,由ABCDA1B1C1D1是正方体, 易知A1DB1C,从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角 AB1ACB1C, B1CA60. 即A1D与AC所成的角为60. (2)如图所示,连接BD,在正方体ABCDA1B1C1D1中, ACBD,ACA1C1, E,F分别为AB,AD的中点, EFBD,EFAC. EFA1C1. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 即A1C1与EF所成的角为90. | 能力提升 |(
7、20 分钟, 40 分) 11(2017江西师大附中月考)已知a和b是成 60角的两条异面直线,则过空间一点 且与a、b都成 60角的直线共有( ) A 1条B 2条 C3 条D 4条 解析:把a平移至a与b相交,其夹角为60. 60角的补角的平分线c与a、b成 60角 过空间这一点作直线c的平行线即满足条件 又在 60角的“平分面”上还有两条满足条件,选C. 答案: C 12(2017江西新余一中月考)如图所示,在空间四边形ABCD中,E,H分别为AB, AD的中点,F,G分别是BC,CD上的点,且 CF CB CG CD 2 3,若 BD6 cm,梯形EFGH的 面积为 28 cm2,则平
8、行线EH,FG间的距离为 _ 解析:EH3,FG6 2 3 4, 设EH,FG间的距离为h, 则S梯形EFGH EHFGh 2 28,得h8 (cm) 答案: 8 cm 13在如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,E1,F1分别是棱AB,AD,B1C1, C1D1的中点, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 求证: (1)EF綊E1F1; (2)EA1FE1CF1. 证明: (1)连接BD,B1D1, 在ABD中, 因为E,F分别为AB,AD的中点, 所以EF綊 1 2BD. 同理,E1F1綊 1 2B 1D1. 在正方体ABCDA1B1C1D1中, 因为A1A綊B1B,A
9、1A綊D1D,所以B1B綊D1D. 所以四边形BDD1B1是平行四边形,所以BD綊B1D1. 所以EF綊E1F1. (2)取A1B1的中点M,连接BM,F1M. 因为MF1綊B1C1,B1C1綊BC,所以MF1綊BC. 所以四边形BCF1M是平行四边形所以MBCF1. 因为A1M綊EB,所以四边形EBMA1是平行四边形 所以A1EMB,所以A1ECF1. 同理可证:A1FE1C.又EA1F与F1CE1两边的方向均相反, 所以EA1FE1CF1. 14如图,P是ABC所在平面外一点,D,E分别是PAB和PBC的重心求证: DEAC,DE 1 3AC. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 证明:如图,连接PD,PE并延长分别交AB,BC于M,N. 因为D,E分别是PAB,PBC的重心,所以M,N分别是AB,BC的中点,连接 MN,则MNAC,且MN 1 2AC. 在PMN中,因为 PD PM PE PN 2 3, 所以DEMN,且DE 2 3MN . 由,根据公理4,得: DEAC,且DE 2 3 1 2 AC 1 3AC.
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