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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 课时作业 17 从力做的功到向量的数量积 | 基础巩固 |(25 分钟, 60 分) 一、选择题 (每小题 5 分,共 25 分) 1已知ab 122,|a| 4,a和b的夹角为135,则 |b| ( ) A 12 B3 C6 D 33 解析:ab|a|b|cos135 122,又 |a| 4,解得 |b| 6. 答案: C 2已知向量a,b满足 |a| 2,|b| 3,a (ba) 1,则a与b的夹角为 ( ) A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 解析: 因为 |a| 2,a(ba) 1, 所以a(ba)aba 2a b22 1, 所以ab 3
2、.又因为 |b| 3,设a与b的夹角为, 则 cos ab |a|b| 3 23 1 2. 又0, ,所以 3. 答案: C 3若向量a与b的夹角为60,|b| 4, (a2b)(a3b) 72, 则向量a的模是 ( ) A 2 B4 C6 D12 解析: (a2b) (a 3b)a2ab6b2 |a| 2| a| |b|cos60 6|b| 2 |a| 22| a| 96 72. |a| 22| a| 240. 解得 |a| 6或 |a| 4(舍去 ) 答案: C 4在 RtABC中,C90,AC4,则AB AC ( ) A 16 B 8 C8 D16 解析: 设CAB, |AB | 4 c
3、os , AB AC |AB | |AC | cos 4 cos 4cos16. 答案: D 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 5如图,在ABC中,ADAB,BC 3 BD ,|AD | 1,则AC AD ( ) A 23 B. 3 2 C. 3 3 D.3 解析: 设|BD | x, 则|BC | 3x, AC AD (AB BC )AD BC AD |BC | |AD |cosADB3x1 1 x 3. 答案: D 二、填空题 (每小题 5 分,共 15 分) 6若向量a的方向是正南方向,向量b的方向是北偏东60方向,且 |a| |b| 1,则 (3a)(ab)_. 解析: 设a与
4、b的夹角为,则 120, (3a) (ab) 3|a| 23a b 33 11cos120 33 1 2 3 2. 答案: 3 2 7已知 |a| 5,|b| 8,a与b的夹角为60,则b在a方向上的射影的数量等于 _ 解析: |b|cosa,b 8cos60 4,所以b在a方向上的射影的数量等于4. 答案: 4 8若四边形ABCD是边长为 1 的菱形,BAD60,则 |DC BC | _. 解析: 四边形ABCD是边长为1 的菱形, BAD60,DCB60,|DC BC | 2| DC | 2| BC | 22DC BC 1 212211cos DCB3, |DC BC | 3. 答案:3
5、三、解答题 (每小题 10 分,共 20分) 9已知 |a| 4,|b| 8,a与b的夹角是60,计算: (1)(2ab)(2ab); (2)|4a 2b|. 解析: (1)(2ab)(2ab)(2a)2b 2 4|a| 2| b| 2 442820. (2)|4a2b| 2(4a 2b)2 16a 216a b4b2 16421648 cos60 482 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 256. |4a2b| 16. 10已知 |a| 2|b| 2,且向量a在向量b方向上的投影为1. (1)求a与b的夹角; (2)求(a2b)b; (3)当为何值时,向量 ab与向量a3b互相垂直?
6、 解析: (1)由题意知 |a| 2,|b| 1. 又a在b方向上的投影为|a|cos 1, cos 1 2, 2 3 . (2)易知ab 1,则 (a2b)bab2b2 12 3. (3) ab与a3b互相垂直, ( ab)(a3b) a 23 ab ba3b2 43137 40, 4 7. | 能力提升 |(20 分钟, 40 分) 11(2015高考四川卷 )设四边形ABCD为平行四边形,|AB | 6,|AD | 4.若点M, N满足BM 3MC ,DN 2NC ,则AM NM ( ) A 20 B 15 C9 D6 解析: 如图所示,由题设知: AM AB BM AB 3 4AD ,
7、 NM 1 3 AB 1 4AD , 所以AM NM AB 3 4 AD 1 3AB 1 4AD 1 3| AB | 2 3 16| AD | 2 1 4AB AD 1 4AB AD 1 336 3 16 169. 答案: C 12 已知圆O是ABC的外接圆,M是BC的中点,AB4,AC2, 则AO AM _. 解析:M是BC的中点,AM 1 2(AB AC ), 又O是ABC的外接圆圆心, AB AO 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 |AB |AO |cos BAO 1 2| AB | 28,同理可得 AC AO 1 2| AC | 22, AM AO 1 2(AB AC )AO
8、1 2AB AO 1 2AC AO 41 5. 答案: 5 13已知 |a| 1,ab 1 2, (a b) (ab) 1 2,求: (1)a与b的夹角; (2)ab与ab的夹角的余弦值 解析: (1)(ab)(ab) 1 2, |a| 2| b| 21 2. |a| 1, |b| |a| 2 1 2 2 2 . 设a与b的夹角为,则 cos ab |a|b| 1 2 1 2 2 2 2 , 0180,45. 即a,b的夹角为 45 . (2)(ab)2a22abb2 1 2, |ab| 2 2 . (ab)2a22abb2 5 2 , |ab| 10 2 . 设ab与ab的夹角为,则 cos
9、 abab |ab|ab| 1 2 2 2 10 2 5 5 . 即所求余弦值为 5 5 . 14在四边形ABCD中,已知AB 9,BC6,CP 2PD . (1)若四边形ABCD是矩形,求AP BP 的值; (2)若四边形ABCD是平行四边形,且AP BP 6,求AB 与AD 夹角的余弦值 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析: (1)因为四边形ABCD是矩形,所以AD DC 0, 由CP 2PD ,得DP 1 3DC ,CP 2 3CD 2 3DC . 所以AP BP (AD DP )(BC CP ) AD 1 3DC AD 2 3DC AD 2 1 3AD DC 2 9DC 2 36 2 98118. (2)由题意,AP AD DP AD 1 3DC AD 1 3AB , BP BC CP BC 2 3CD AD 2 3AB , 所以AP BP AD 1 3AB AD 2 3AB AD 2 1 3AB AD 2 9AB 2 36 1 3AB AD 1818 1 3AB AD . 又AP BP 6, 所以 18 1 3AB AD 6, 所以AB AD 36, 又AB AD |AB | |AD |cos96cos54cos, 所以 54cos36,即 cos 2 3. 所以AB 与AD 夹角的余弦值为 2 3.
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