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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 课时跟踪检测(二)余弦定理 层级一学业水平达标 1在ABC中,已知a2,b3,C120,则SABC( ) A. 3 2 B. 33 2 C.3 D3 解析:选B SABC 1 2 absin C 1 2 23 3 2 33 2 . 2在ABC中,已知 (abc)(bca)3bc,则角A等于 ( ) A30B60 C120D150 解析:选B (bc)2a 2b2 c22bca 23bc , b2c2a 2 bc, cos A b2c 2a2 2bc 1 2, A 60. 3在ABC中,若a8,b7,cos C 13 14,则最大角的余弦值是 ( )
2、A 1 5 B 1 6 C 1 7 D 1 8 解析:选C 由余弦定理,得 c2a 2b22ab cos C8272287 13 14 9, 所以c3,故a最大, 所以最大角的余弦值为 cos A b2c2a 2 2bc 723 282 27 3 1 7. 4若ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足 (ab)2c24,且C60,则ab 的值为 ( ) A. 4 3 B843 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 C1 D. 2 3 解析:选 A 由(ab)2c24, 得a 2b2 c22ab4,由余弦定理得a2b2c22abcos C 2abcos 60 ab,则ab2ab4,ab
3、4 3. 5三角形的一边长为14,这条边所对的角为60,另两边之比为85,则这个三角形 的面积为 ( ) A403 B203 C402 D202 解析:选A 设另两边长为8x,5x, 则 cos 60 64x225x2142 80x2 ,解得x 2或x 2(舍去 ) 故两边长分别为16 与 10, 所以三角形的面积是 1 21610 sin 60 40 3. 6在ABC中,a32,b23,cos C 1 3,则 ABC的面积为 _ 解析: cos C 1 3,0cb,A为最大角 由余弦定理的推论,得 cos A b2c2a 2 2bc 325 272 23 5 1 2. 又 0bBa0,a 2
4、 b2,ab. 3在ABC中, cos 2B 2 ac 2c ,则ABC是( ) A正三角形 B直角三角形 C等腰三角形或直角三角形 D等腰直角三角形 解析:选B cos 2B 2 ac 2c , cos B1 2 ac 2c , 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 cos B a c, a 2 c2b2 2ac a c, a2c2b22a 2, 即a2b2c 2, ABC为直角三角形 4在ABC中,AB5,BC7,AC8,则 uuu r AB uuu r BC的值为 ( ) A79 B69 C5 D 5 解析:选D 由余弦定理得: cosABC AB2BC 2AC2 2ABBC 527
5、28 2 257 1 7. 因为向量 u uu r AB与 uu u r BC的夹角为 180ABC, 所以 uuu r AB u uu r BC| u uu r AB| | u uu r BC|cos(180ABC) 57 1 7 5. 5 在ABC中,AB2,AC6,BC13,AD为边BC上的高,则AD的长是 _ 解析: cos C BC2AC2AB2 2BCAC 2 2 , sin C 2 2 , ADACsin C3. 答案:3 6在ABC中,A120,AB5,BC 7,则 sin B sin C的值为 _ 解析:由余弦定理可得49AC22525ACcos 120,整理得: AC25A
6、C24 0, 解得AC3 或AC 8(舍去 ), 再由正弦定理可得 sin B sin C AC AB 3 5. 答案: 3 5 7在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知 cos A2cos C cos B 2ca b . (1)求 sin C sin A 的值; 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)若 cos B 1 4, ABC的周长为5,求b的长 解: (1)由正弦定理可设 a sin A b sin B c sin C k, 则 2ca b 2ksin Cksin A ksin B 2sin Csin A sin B , 所以 cos A2cos C cos
7、 B 2sin Csin A sin B , 即(cos A2cos C)sin B(2sin Csin A)cos B, 化简可得sin(AB) 2sin(BC) 又ABC,所以 sin C2sin A, 因此 sin C sin A2. (2)由 sin C sin A 2,得c 2a. 由余弦定理及cos B 1 4, 得b 2 a 2 c 2 2ac cos Ba 24a24a21 44a 2, 所以b2a. 又abc5,所以a1,因此b2. 8在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设S为ABC的面积,满足S 3 4 (a 2 b2c 2) (1)求角C的大小; (2)求 sin Asin B的最大值 解: (1)由题意可知 1 2ab sin C 3 4 2abcos C. 所以 tan C3. 因为 0C,所以C 3. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)由(1)知 sin A sin Bsin Asin A 3 sin Asin 2 3 A sin A 3 2 cos A 1 2sin A 3sinA 6 3 0A 2 3 . 当A 3时,即 ABC为等边三角形时取等号, 所以 sin Asin B的最大值为3.
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