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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 课时跟踪检测(二十一)向量数量积的坐标运算与度量公式 层级一学业水平达标 1已知向量a(0, 23),b(1,3),则向量a在b方向上的投影为( ) A3 B3 C3 D 3 解析:选 D 向量a在b方向上的投影为 ab |b| 6 2 3.选 D. 2设xR,向量a(x,1),b(1, 2),且ab,则 |ab| ( ) A5 B10 C25 D10 解析:选 B 由ab得ab0, x11(2)0,即x2, ab(3, 1), |ab| 32 1 2 10. 3已知向量a(2,1),b(1,k),a(2ab)0,则k( ) A 12 B 6 C6
2、D12 解析:选 D 2ab(4,2)(1,k) (5,2k),由a(2ab)0,得 (2,1)(5,2k) 0, 102k0,解得k12. 4a,b为平面向量,已知a(4,3),2ab(3,18),则a,b夹角的余弦值等于( ) A 8 65 B 8 65 C 16 65 D 16 65 解析:选C 设b(x,y),则2ab(8x,6y)(3,18),所以 8x3, 6y18, 解得 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 x 5, y 12, 故b (5,12),所以 cosa,b ab |a|b| 16 65. 5已知A(2,1),B(6, 3),C(0,5),则ABC的形状是 ( )
3、 A直角三角形B锐角三角形 C钝角三角形D等边三角形 解析:选 A 由题设知 uuu r AB(8, 4), uuu r AC(2,4), uu u r BC(6,8), uuu r AB uu ur AC 28(4)40,即 uuu r AB uu ur AC. BAC90, 故ABC是直角三角形 6设向量a (1,2m),b(m1,1),c(2,m)若 (ac)b,则|a|_. 解析:ac(3,3m),由 (ac)b,可得 (ac)b0,即 3(m1)3m0,解得m 1 2,则 a(1, 1),故 |a| 2. 答案:2 7已知向量a(1,3),2ab(1,3),a与 2ab的夹角为,则_
4、. 解析:a(1,3),2ab(1,3), |a| 2,|2ab| 2,a(2ab)2, cos a2ab |a|2ab| 1 2, 3. 答案: 3 8已知向量a(3,1),b是不平行于x轴的单位向量,且ab3,则向量b的坐 标为 _ 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析:设b (x,y)(y 0),则依题意有 x2y2 1, 3xy3, 解得 x 1 2, y 3 2 , 故b 1 2 , 3 2 . 答案: 1 2, 3 2 9已知平面向量a(1,x),b(2x3,x),xR. (1)若ab,求x的值; (2)若ab,求 |ab|. 解: (1)若ab, 则ab(1,x)(2x
5、3,x) 1(2x3)x(x)0, 即x22x30,解得x 1 或x3. (2)若ab,则 1(x)x(2x3)0, 即x(2x4)0,解得x0 或x 2. 当x0 时,a(1,0),b(3,0), ab(2,0),|ab| 2. 当x 2 时,a (1, 2),b (1,2), ab(2, 4),|ab| 416 25. 综上, |ab| 2或 25. 10在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,4),B(2,3),C(2, 1) (1)求 uuu r AB u uu r AC及| uuu r AB uuur AC| ; (2)设实数t满足 ( u uu r ABt uuu r OC) uu
6、u r OC,求t的值 解: (1) uu u r AB(3, 1), uu ur AC (1, 5), uuu r AB uu ur AC 3 1(1)(5)2. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 uuu r AB uu ur AC(2, 6), | u uu r AB uuu r AC| 4 36210. (2) uuu r ABt uuu r OC( 32t, 1t), uuu r OC(2, 1),且 ( uuu r ABt uuu r OC) uuu r OC, ( uuu r ABt uuu r OC) uuu r OC0, (32t)2(1t)(1)0, t 1. 层级二
7、应试能力达标 1设向量a (1,0),b 1 2, 1 2 ,则下列结论中正确的是( ) A |a| |b| Bab 2 2 Cab与b垂直Dab 解析:选 C 由题意知 |a| 1 2 02 1,| b| 1 2 2 1 2 2 2 2 ,ab1 1 2 0 1 2 1 2,(ab) bab|b| 21 2 1 20, 故ab与b垂直 2已知向量 uuu r OA(2,2), uuu r OB(4,1),在x轴上有一点P,使 uu u r AP uuu r BP有最小值,则 点P的坐标是 ( ) A(3,0) B(2,0) C(3,0) D (4,0) 解析:选 C 设P(x,0),则 uu
8、u r AP(x2, 2), uuu r BP(x4, 1), uuu r AP uu u r BP (x 2)(x4)2x 26x10(x 3)21, 故当x3 时, uuu r AP u uu r BP最小,此时点P的坐标为 (3,0) 3若a(x,2),b(3,5),且a与b的夹角是钝角,则实数x的取值范围是 ( ) A. , 10 3 B. , 10 3 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 C. 10 3 ,D. 10 3 , 解析:选 C x应满足 (x,2)(3,5) 0且a,b不共线, 解得x 10 3 ,且x 6 5, x 10 3 . 4已知 uuu r OA(3,1)
9、, uuu r OB(0,5),且 uuu r AC uuu r OB, u uu r BC uu u r AB(O为坐标原点 ),则点 C的坐标是 ( ) A 3, 29 4 B 3, 29 4 C 3, 29 4 D 3, 29 4 解析:选 B 设C(x,y),则 u uu r OC(x,y) 又 uuu r OA( 3,1), uuu r AC u uu r OC uuu r OA(x3,y1) uuu r AC uuu r OB, 5(x3)0(y1)0, x 3. uuu r OB(0,5), uuu r BC uu u r OC uuu r OB(x,y 5), u uu r A
10、B uuu r OB uuu r OA(3,4) uuu r BC uu u r AB, 3x4(y5) 0,y 29 4 , C点的坐标是3, 29 4 . 5平面向量a(1,2),b(4,2),cmab(mR),且c与a的夹角等于c与b的夹角, 则m_. 解析:因为向量a(1,2),b (4,2),所以cmab(m4,2m2),所以acm4 2(2m2)5m 8,bc 4(m4)2(2m2)8m20. 因为c与a的夹角等于c与b的夹角,所以 ca |c| |a| cb |c| |b| , 即 ac |a| bc |b| , 所以 5m8 5 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 8m2
11、0 25 , 解得m2. 答案: 2 6 已知正方形ABCD的边长为1, 点E是AB边上的动点, 则 uuu r DE uuu r CB的值为 _; u uur DE uuu r DC的最大值为 _ 解析:以D为坐标原点,建立平面直角坐标系如图所示 则D(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1), 设E(1,a)(0a1) 所以 uuur DE uuu r CB(1,a)(1,0)1, uuu r DE uu ur DC(1,a)(0,1)a1, 故 uuu r DE u uur DC的最大值为1. 答案: 1 1 7已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a(1,2) (1)若|
12、c| 25,且ca,求c的坐标; (2)若|b| 5 2 ,且a 2b与 2ab垂直,求a与b的夹角. 解: (1)设c(x,y), |c| 25,x2y225, x2y220. 由ca和 |c| 25, 可得 1y2x0, x2y2 20, 解得 x2, y4, 或 x 2, y 4. 故c (2,4)或c(2, 4) (2)(a2b) (2ab), (a2b)(2ab)0, 即 2a 2 3a b2b 20, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 253ab2 5 40,整理得 ab 5 2, cos ab |a|b| 1. 又0, , . 8已知 uuu r OA(4,0), uuu
13、 r OB(2,23), uu u r OC(1) uuu r OA uuu r OB( 2 ) (1)求 uuu r OA uuu r OB及 uuu r OA在 uuu r OB上的射影的数量; (2)证明A,B,C三点共线,且当 uuu r AB u uu r BC时,求的值; (3)求| uuu r OC| 的最小值 解: (1) uuu r OA uuu r OB8,设 uuu r OA与 uuu r OB的夹角为, 则 cos uuu r OA uuu r OB | uuu r OA| uuu r OB| 8 44 1 2, uuu r OA在 uuu r OB上的射影的数量为| uuu r OA|cos 4 1 22. (2) uu u r AB uuu r OB uuu r OA(2,23), uuu r BC u uu r OC uuu r OB(1) uuu r OA(1) uuu r OB( 1) uuu r AB,所以A,B,C三点共线 当 uuu r AB uu u r BC时,11,所以2. (3)| u uu r OC| 2(1 )2 2 uuuu r OA2(1) uuu r OA uuu r OB 2 2 uu uu r OB 16 216 1616 1 2 212, 当 1 2时, | uuu r OC| 取到最小值,为23.
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