高考数学《向量》专题复习(专题训练).pdf
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1、 . . . . 高考 向量 专题复习 1.向量的有关概念: ( 1)向量的定义 :既有大小又有方向的量。向量可以任意平移。 ( 2)零向量 :长度为 0 的向量叫零向量, 记作 :0. ( 3)单位向量 :长度为一个单位长度的向量叫做单位向量。 任意向量的单位化:与AB共线的单位向量是 AB AB . ( 4)相等向量 :长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量。 ( 5)平行向量又叫共线向量, 记作 :ab. 向量)0 (a a与b共线 , 则有且仅有唯一一个实数, 使ab; 规定 :零向量和任何向量平行; 两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合; 平行向量无传递性
2、!( 因为有0); 相等向量一定是共线向量, 但共线向量不一定相等; ( 6)向量的加法和减法满足平行四边形法则或三角形法则; 2.平面向量的坐标表示及其运算: ( 1)设),( 11 yxa,),( 22 yxb, 则),( 2121 yyxxba; ( 2)设),( 11 yxa,),( 22 yxb, 则),( 2121 yyxxba; ( 3)设、两点的坐标分别为 11 ,x y, 22 ,xy, 则AB=),( 1212 yyxx; ( 4)设),( 11 yxa,),( 22 yxb, 向量平行ba/ 1221 yxyx; ( 5)设两个非零向量),( 11 yxa,),( 22
3、yxb, 则 2121 yyxxba, 所以00 2121 yyxxbaba; ( 6)若),(yxa, 则 22 yxa; ( 7)定比分点 :设点P是直线 21, p p上异于 21, p p的任意一点 , 若存在一个实数, 使 21 PPPP, 则叫做点P分有向线段 21P P所成的比 ,P点叫做有向线段 21P P的以定比 为的定比分点 ;当P分有向线段 21P P所成的比为,则点P分有向线段 21P P所成的比为 1 . 注 意 : 设 111 (,)P xy、 222 (,)P xy,( , )P x y分 有 向 线 段 21P P所 成 的 比 为,则 . . . . 12 1
4、2 1 1 xx x yy y , 在使用定比分点的坐标公式时, 应 明确( ,)x y, 11 (,)xy、 22 (,)xy的意义 , 即分别为分点, 起点 , 终点的坐标 。在具体计算时应根据题设条件, 灵活地确定起点, 分点和终点 , 并根据这些点确定对应的定比.当1时, 就得到线段 12 P P的中点公式 12 12 2 2 xx x yy y . 的符号与分点P的位置之间的关系: 当P点在线段 21P P上时0; 当P点在线段 21P P的延长线上时1; 当P点在线段 21P P的反向延长线上时10; 3.平面向量的数量积: ( 1) 两个向量的夹角: 对于非零向量 a、b,作aO
5、A,bOB,AOB 0称为向量a、b的夹角 。 ( 2) 平面向量的数量积: 如果两个非零向量a、b,它们的夹角为,我们把数量 cosba叫做a与b的数量积 (或内积或点积),记作 :ba, 即cosbaba. 零向量与任一向量的数量积是0, 注意 :向量的数量积是一个实数, 不再是一个向量。 ( 3)b在a上的投影为cosb, 投影是一个实数, 不一定大于0. ( 5)向量数量积的应用:设两个非零向量a、b, 其夹角为, 则 ba ba cos, 当0baba时,为直角 ; 当0ba时,为锐角或ba,同向 ;注意 :0ba是为锐角的 _条件 ; 当0ba时,为钝角或ba,反向 ;注意 :0b
6、a是为钝角的 _条件 ; ( 6)向量三角不等式:bababa 当ba,同向baba,baba; 当ba,反向baba,baba; . . . . 当ba,不共线bababa; ( 4) ba的几何意义 : 数量积ba等于a与b在a上的投影的乘积。 . . . . 4.平面向量的分解定理 ( 1)平面向量分解定理:如果 1 e、 2 e是同一平面内的两个不共线向量, 那么对于这一平面 内的任意向量a, 有且只有一对实数 1、2, 使2211 eea成立 , 我们把 不共线的 向量 1 e 、 2 e 叫做这一平面内所有向量的一组基底。 ( 2 ) O为 平 面 任 意 一 点 ,A 、 B、
7、C为 平 面 另 外 三 点 ,则A 、 B、 C 三 点 共 线 OCOBOA 21 且1 21 . 5.空间向量 空间向量是由平面向量拓展而来的, 它是三维空间里具有大小和方向的量, 它的坐标表示有 x, y, z.空间向量的性质与平面向量的性质相同或相似, 故在学习空间向量时, 可进行类 比学习 。 如 , 若MP 、MA 、MB 三个向量共面, 则MByMAxMP.同时 ,对于空间任意一点O, 存在OBOAnOMmMByMAxOMOP, 其中nm_ 例 1.下列命题 : 若? ? ? 与? ? 共线 , 则存在唯一的实数 , 使? ? ? = ? ? ? ; 若向量? ? ? 、? ?
8、 所在的直线为异面直线 , 则向量? ? ? 、 ? ? 一定不共面 ; 向量? ? ? 、? ? 、? ? 共面 , 则它们所在直线也共面 ; 若A、B、C三点不共线 ,O是平面ABC外一点 , 若? ? = 1 3 ? ? + 1 3 ? ? + 1 3 ? ? , 则点M一 定在平面ABC上, 且在ABC内部 ; 若 ba/ , 且 cb/ , 则 ca/ ; 若 0ba , 则它们的夹角为锐角; 其中正确的命题有_( 填序号 ) . . . . 例 2.已知向量? ? ? , ? ? ? 夹角为 ? 3, |? ? ? |=2 , 对任意 xR, 有|? ? ? +x? ? | | ?
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