高考数学一轮复习专题训练之阿波罗尼斯圆.pdf
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1、高三第一轮复习专题训练之阿波罗尼斯圆 引例: 1.已知点( , )M x y 与两定点(0,0),(3,0)OA的距离之比为 1 2 , 那么点M的坐标应 满足什么关系?(人教 A 版必修2第 124 页习题 4.1B 组第 3 题) 2.已知点08,02, QP, 点M与点P的距离是它与点Q的距离的 5 1 , 用几何画 板探究点的轨迹,并给出轨迹的方程. (人教 A 版必修2第 140 页例题 ) 背景展示 : 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得、 阿基米德被称为亚历山大 时期数学三巨匠,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作 圆锥曲线一书,阿波罗尼斯圆是他的研
2、究成果之一. 例 1.求证:到两定点的距离的比值是不等于1 的常数的点的轨迹是圆. 证明:如图,设两定点为A、B, |AB|=a, 动点为 P, 距离的比值为常数1 以 AB 为 x 轴、A 为坐标原点建立直角坐标系,则 B(a, 0), 设 P(x, y), 由 | PA| | PB| 得: 22 2 2 xy xay 2222222 112xyaxa 2 2 2 22 2 11 aa xy 例2.(2008 年高考数学江苏卷)若BCACAB22,则 ABC S 的最大值 为 解 :显然这是一例阿波罗圆,建立如图的直角坐标系,得: 2 2 38xy.设圆心 为M,显然当CM x轴时,ABC面
3、积最 大, 此时 2 2,CM max 1 2 222 2 2 ABC S. 评注: 既然ABC存在, 说明其轨迹不包括与x轴的两个交点P,Q,现在问: P,Q这两点究竟有什么性质?由于2 PACA PBCB , CP为ACB的内角平分 线;同理,CQ为ACB的外角平分线. 这就是说,P,Q分别是线段AB的内分点和外分点,而PQ正是阿氏圆的直径. 于是“阿波罗尼斯圆”在我国又被称为“内外圆”因此,题 2 又有如下的轴上简洁解法: 动点C 到定点A ( - 1 , 0 ) 和B(1, 0)距离之比为 2, 则有 |1|2 |1|xx 222 2122161032 2xxxxxxx, 得 223
4、1 x为内分点, 2 32 2x为外分点 圆半径 21 1 2 2 2 rxx, 即 为三角形高的最大值,即ABC 高的最大值是22.故ABC的面积的最大值是 22. 例 3.(2006 年高考数学四川卷)已知两个定点01,02,BA.如果动点 P满足 PBPA2, 则点的轨迹所包围的面积等于()A. B. 4C. 8D. 9 解:显然这又是一个阿波罗圆,由上述评注我们可以实行轴上解决.设O为坐标原点, 注意到2OAOB,可知原点O为线段AB的内分点设AB的外分点为,0C x, 由2 CA CB 2 2 1 x x 4x, 即有C(4, 0).于是圆直径为24OCr, 2r, 所求轨迹面积 2
5、 24S, 故选B. 例 4. (2019 年高考数学湖北卷)如图,圆C与 x 轴相切于点(1, 0)T, 与y轴正半 轴交于两点,A B (B 在 A 的上方), 且2AB ( )圆C的 标准 方程为 ; ( )过点A任作一条直线与圆 22 :1O xy相 交 于,M N两 点 ,下 列 三 个 结 论 : NAMA NBMB ;2 NBMA NAMB ; 2 2 NBMA NAMB 其中正确结论的序号是.(写 出所有正确结论的序号) 解 :( 1 ) 易 知 半 径2r,所 以 圆 的 方 程 为 2 2 122xy; (2)易知 0,21 ,0,21AB, 设,P x y为圆 C 上任意
6、一点,则 2 2 2 2 2142 22212212 21 42 22212212 21 xyyy PA PB yy xy ,故正确; 21212 NBMA NAMB ,正确; y x O T C N AM B 21212 2 NBMA NAMB , 正确。 【 注 】 : 阿 波 罗 尼 斯 圆 ! 圆 22 :1O xy上 任 一 点 P到,A B的 距 离 之 比 为 21 PA PB . 练习 : 1.已知点( 2,0),(4,0)AB, 圆 2 2 :416,CxyP 是圆 C 上任意一点,问:是 否存在常数,使得 | | PA PB ?若存在,求出常数;若不存在,请说明理由 解:
7、2.已知( 2,0),A圆 2 2 :416,CxyP 是圆上任意一点,问: 是否存在定点B, 使得 |1 |2 PA PB ?若存在,求出点 B;若不存在,请说明理由 3.已知 P 是圆 2 2 :416Cxy任意一点,问:在 x 轴上是否存在定点A、B, 使 得 |1 |2 PA PB ?若存在,求出点 A、B;若不存在,请说明理由 的基础上礼,不但讲制度、讲规范,还要讲带着仁爱之心去执行这些规范;孔子的“仁”是在“礼”指导下的仁,是以君君、臣臣、父父、子子和等 级制度为前提和目的的仁爱,不是无差别的兼爱、博爱。练习1、阅读论语中的一段文字, 然后回答问题。(4 分)子路曰: “卫君待子而
8、为政,子将奚先?”子曰:“必也正名乎!”子路曰: “有是哉, 子之迂也!奚其正?” 子曰: “野哉, 由也!君子于其所不知,盖阙如也。名不正,则言不顺;言不顺,则事不成;事不成,则礼乐 不兴;礼乐不兴,则刑罚不中;刑罚不中,则民无所错手足。故君子名之必可言也, 言之必可行也。君子于其言, 无所苟而已矣。” (13.3 )1)根据子路的话可以看出子路怎样的性格?(1 (2)为什么孔子那么强调“正名”的重要性?(3 分)参考答案 1)子路对孔子的回答不苟同,并且说孔子的观点何其迂腐,表现了他 直率、淳朴的性格。(2)孔子所处的年代,虽然周天子尚在,但礼乐已崩坏,当时的社会 现实(实)已不符合西周的
9、制度(名) 。孔子认为这些“实”的变化是不应该的, “名”和“实”混乱, 社会就会引起混乱,礼乐就不能复兴,因 此, 他要用“名”(周礼的规定)去纠正已经改变或正在改变的“实”, “正名” , 实际上是解决治国的指导思想问题。 2、阅读论语中的一段文字,然后回答问题。(4 分)材料 1:颜渊问仁。子曰: “克己复礼为仁。一日克己复礼, 天下归人焉。为人由己, 而由人乎哉?”颜渊曰: “请问其目。”子曰: “非礼勿视, 非礼勿听, 非礼勿言, 非礼勿动。”颜渊曰: “回 虽不敏,请事斯语矣。” (13.3 ) 2他日, 又独立, 鲤趋而过庭。曰: “学礼乎?” 对曰: “未也。” “不学礼,无以
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