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1、第 1 页 高考模拟考 数学试卷 (完卷时间: 120 分钟满分: 150 分)2018.4 考生注意: 1每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料,解答必须在答题卷上进行,写在试卷上的解答一律无 效; 2答卷前,考生务必将姓名等相关信息在答题卷上填写清楚,并在规定的区域贴上条形码; 3本试卷共21 道试题,满分 150 分;考试时间120 分钟 一、填空题(本大题共有12 题,满分 54 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果, 每个空格填对前6 题得 4 分、后 6 题得 5 分,否则一律得零分. 1已知集合1,2,31,ABm, 若3mA, 则非零实数m 的数值是 2不等式|1|
2、1x的解集是 3若函数 2 ( )82f xaxx是偶函数,则该函数的定义域是 4已知ABC的三内角ABC、 、所对的边长分别为abc、 、, 若 222 2sinabcbcA , 则内角A的 大小是 5已知向量a r 在向量b r 方向上的投影为 2, 且 3b r , 则a b r r =(结果用数值表示) 6方程 33 log (3 25)log (41)0 xx 的解x 7已知函数 2sincos2 ( ) 1cos xx f x x , 则函数( )f x的单调递增区间是 8已知是实系数一元二次方程 22 (21)10xmxm的一个虚数根,且|2, 则实数m的取 值范围是 9已知某市
3、A 社区 35 岁至 45 岁的居民有450 人, 46 岁至 55 岁的居民有750 人, 56 岁至 65 岁的居民 有 900 人为了解该社区35 岁至 65 岁居民的身体健康状况,社区负责人采用分层抽样技术抽取若干人 进行体检调查,若从46 岁至55 岁的居民中随机抽取了50 人,试问这次抽样调查抽取的人数是 人 10将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5 次, 则恰好有3 次出现正面向上的概率是(结果用数值表示) 11 已 知 数 列 na 是 共 有k个 项 的 有 限 数 列 ,且 满 足 11 (2,1) nn n n aank a L,若 12 24,51,0 k aaa, 则k 第
4、 2 页 12已知函数 2 ( )(02)f xaxbxcab对任意Rx恒有( )0f x成立, 则代数式 (1) (0)( 1) f ff 的最小值是 二、选择题(本大题满分20 分)本大题共有4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题卷的相 应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分 13在空间中,“直线m平面”是“直线m与平面内无穷多条直线都垂直”的 答( ) (A)充分非必要条件(B)必要非充分条件 (C)充要条件(D)非充分非必要条件 14 二项式 40 3 1 x x 的展开式中,其中是有理项的项数共有答( ). (A) 4 项(B) 7 项(C) 5 项
5、(D) 6 项 15实数xy、满足线性约束条件 3, 0,0, 10, xy xy xy 则目标函数23wxy的最大值是 答( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2(D) 3 16在给出的下列命题中,是 g gg 假命题 的是答( ) (A)设OABC、 、 、是同一平面上的四个不同的点,若(1)(R)OAm OBmOC m u uu ruu u ru uu r , 则点ABC、 、必共线 (B)若向量ab rr 和是平面上的两个不平行的向量,则平面上的任一向量c r 都可以表示为 (R)cab rrr 、, 且表示方法是唯一的 (C)已知平面向量OA OB OC uuu r uuu r u
6、uu r 、满足| |(0)OAOBOCr r uuu ruuu ruuu r |=|, 且0OAOBOC uuu ruu u ruuu rr , 则ABC是等边三角形 (D)在平面上的所有向量中,不存在这样的四个互不相等的非零向量a b c d r r r u r 、 、 、, 使得其 中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直 三、解答题(本大题满分76 分)本大题共有5 题,解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写 出必要的步骤 第 3 页 17.(本题满分14 分)本题共有2 个小题,第 1 小题满分4 分,第 2 小题满分10 分 在四棱锥PABCD中,PAABCD平
7、面,,1,ABAD BCAD BCP 0 2,45CDCDA (1)画出四棱锥PABCD的主视图; (2)若PABC, 求直线PB与平面PCD所成角的大小(结果用反 三角函数值表示) 18.(本题满分14 分)本题共有2 个小题,第 1 小题满分6 分,第 2 小题满分8 分 某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌,铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去 扇形OBC后构成的 )已知10,(010)OAOBxx米米, 线段 BACD、线段与弧BC、弧AD的长度 之和为30米,圆心角为弧度 (1)求关于x的函数解析式; (2)记铭牌的截面面积为 y, 试问 x取何值时, y的值最大?并求
8、出最大值 19.(本题满分14 分)本题共有2 个小题,第 1 小题满分6 分,第 2 小题满分8 分 已知动点 ( , )M x y 到点 (2,0)F 的距离为 1 d , 动点 ( , )M x y 到直线3x的距离为2 d , 且 1 2 6 3 d d . (1)求动点( , )M x y的轨迹C的方程; (2) 过点F作直线:(2)(0)lyk xk交曲线C 于 P Q、两点,若OPQ的面积3 OPQ S(O 是坐标系原点) , 求直线l的方程 . 第 4 页 20.(本题满分16 分)本题共有2 个小题,第 1 小题满分4 分,第 2 小题满分6 分,第 3 小题满分6 分 已知
9、函数 2 2 ,10, ( )= 1, 01. xx f x xx (1) 求函数( )f x的反函数 1 ( )fx ; (2)试问 :函数( )f x的图像上是否存在关于坐标原点对称的点,若存在,求出这些点的坐标;若不 存在,说明理由; (3)若方程 22 ( )2 1|( )2 1| 240f xxf xxax的三个实数根 123 xxx、满足 : 123 xxx, 且 3221 2()xxxx, 求实数a的值 21.(本题满分18 分)本题共有3 个小题,第 1 小题满分3 分,第 2 小题满分6 分,第 3 小题满分9 分 定义:若数列 n c和 n d满足 * 1 22 0,0,N
10、 nn nnn nn cd cdn cd 且c,则称数列 n d是数列 n c的“伴随数列”. 已知数列 nb 是数列 na 的伴随数列,试解答下列问题: (1)若 * (N ) nn ban, 1 2b, 求数列 n a的通项公式 n a; (2)若 * 1 1(N ) n n n b bn a , 1 1 b a 为常数,求证:数列 2 n n b a 是等差数列; (3)若 * 1 2(N ) n n n b bn a , 数列 n a是等比数列,求11ab、 的数值 第 5 页 黄浦区 2018 年高考模拟考 数学试卷参考答案和评分标准 2018.4 说明: 1本解答仅列出试题的一种解
11、法,如果考生的解法与所列解答不同,可参考解答中的评分精神进 行评分 2评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅,当考 生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可 视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数之半,如果有较严重的概念性 错误,就不给分 一、 填空题 . 122(,0)(2,)U3 2,24 4 5662 7 3 ,Z 88 kkk8 3 (, 3 4 914010 5 16 1150123. 二、选择题 13()A14()B15()D16()D 三、解答题 17 (本题满分14
12、分)本题共有2 个小题,第 1小题满分4 分,第 2 小题满分10 分 解(1)主视图如下: (2) 根据题意,可算得1,2ABAD. 又1PABC, 按如图所示建立空间直角坐标系, 可得,(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0), (0,2,0),(0,0,1)ABCDP. 于是,有(1,0, 1),( 1,1,0),(0, 2, 1)PBCDPD uu u ruuu ruuu r . 设平面PCD的法向量为( , )nx y z r , 则 0, 0, n CD n PD r u uu r r u uu r即 0, 20. xy yz 令 2z , 可得1,1yx, 故平面PCD的一
13、个法向量为(1,1,2)n r . 第 6 页 设直线PB与平面PCD所成角的大小为, 则 |3 sin 6| n PB nPB ruuu r ruuu r. 所以直线PB与平面PCD所成角的大小为 3 arcsin 6 . 18 (本题满分14 分)本题共有2 个小题,第 1小题满分6 分,第 2 小题满分8 分 解 (1)根据题意,可算得弧BCx(m), 弧10AD(m). 又30BACDBCCD弧弧, 于是,10101030xxx, 所以, 210 (010) 10 x x x . (2) 依据题意,可知 22 11 10 22 OADOBC ySSx 扇扇 化简,得 2 550yxx
14、2 5225 () 24 x. 于是,当 5 2 x(满足条件010x)时, max 225 4 y( 2 m). 答 所以当 5 2 x米时铭牌的面积最大,且最大面积为 225 4 平方米 . 19 (本题满分14 分)本题共有2 个小题,第 1 小题满分6 分,第 2小题满分8 分 解 (1)结合题意,可得 22 12 (2),|3|dxydx. 又 1 2 6 3 d d , 于是, 22 (2)6 |3|3 xy x , 化简得 22 1 62 xy . 因此,所求动点( , )M x y的轨迹C的方程是 22 1 62 xy . (2) 联立方程组 22 1, 62 (2), xy
15、yk x 得 2222 (13)121260kxk xk. 第 7 页 设点 1122 (,)(,)P xyQ xy、, 则 2 122 2 12 2 12 , 13 126 , 13 0. k xx k k x x k 于是,弦 2 22 222 121222 12126 |()()14 1313 kk PQxxyyk kk , 点O到直线l的距离 2 |2 | 1 k d k . 由3 OPQ S, 得 2 1|2 | 2 1 k k 2 22 2 22 12126 14 1313 kk k kk 3, 化简得 42 210kk, 解得1k, 且满足0, 即1k都符合题意 . 因此,所求直
16、线的方程为2020xyxy或. 21 (本题满分18 分)本题共有3 个小题,第 1 小题满分3 分,第 2 小题满分6 分,第 3 小题满分9 分 解 (1)根据题意,有 * 1 22 0,0,N nn nnn nn ab aban ab 且,. 由 * (N ) nn ban , 12b , 得 111 22 2,2 nn n nn aa aab aa , * Nn. 所以2 n a, * Nn 证明(2) Q * 1 1(N ) n n n b bn a , * 1 22 0,0,N nn nnn nn ab aban ab 且, 1 1 22 1 11 n nn n nn nn b a
17、b a bb aa , 2 1 1 1 nn nn bb aa , * Nn 22 1 1 1 nn nn bb aa , * Nn 第 8 页 数列 2 n n b a 是首项为 2 1 1 b a 、公差为 1的等差数列 解(3) Q * 1 2(N ) n n n b bn a , * 1 22 0,0,N nn nnn nn ab aban ab 且, 由 22 22* 2,N 2 nn nnnn ab ababn, 得 1 12 n a. Q n a是等比数列,且0 n a, 设公比为(0)r r, 则 1* 1 (N ) n n aa rn. 当 1r , 即 lim n n a
18、, 与 1 12 n a矛盾因此,1r不成立 . 当01r, 即lim0 n n a , 与 112na 矛盾因此,01r不成立 . 1r , 即数列 n a是常数列,于是, 1n aa( 1 12a). * 1 1 2 (N ) nnbbn a . 1 00 n bbQ, 数列 n b也是等比数列,设公比为(0)q q, 有11 n nbb q. 11 2 22 11 nn n nn ab a ab ,可化为 22222 111 1111 (1)2(1)0(12) nn baqa bqaaa, * Nn. Q 2222422 111 111111(1)0,20,(1)0,4(2)0baa b
19、aaa ba, 关于x的一元二次方程 22222 111 111 (1)2(1)0baxa b xaa有且仅有两个非负实数根. 一方面, n q( * Nn)是方程 22222 111 111 (1)2(1)0baxab xaa的根;另一方面, 若1(0)qq, 则无穷多个互不相等的 234 , n q qqqqLL都是该二次方程的根. 这与该二次方 程有且仅有两个非负实数根矛盾! 1q, 即数列 n b也是常数列,于是, 1n bb, * Nn . 由 * 1 2(N ) n n n b bn a , 得 1 2a. 把 1 2a, 代入 1 22 nn n nn ab a ab ,解得 1
20、 2b. 第 9 页 1 1 2, 2. a b 20 (本题满分16 分)本题共有3 个小题,第 1 小题满分4 分,第 2 小题满分6 分,第 3 小题满分6 分 解 (1) 2 2 ,10, ( )= 1, 01. xx f x xx Q 当10x时,( )2 ,0( )2f xxf x且. 由2yx, 得 1 2 xy, 互换xy与, 可得 1 1 ( )(02) 2 fxxx. 当01x时, 2 ( )1,( )0f xxf x且-1. 由 2 1yx, 得1+xy, 互换xy与, 可得 1( ) 1+ ( 10)fxxx. 1 1 , 02, 2( ) 1,10. xx fx xx
21、 (2) 答函数图像上存在两点关于原点对称 . 设点 00000 (,)(01)(,)A xyxBxy、 是函数图像上关于原点对称的点, 则 00 ()()0f xfx , 即 2 00 120xx , 解得 00 21(21,)xx舍去 , 且满足01x. 因此,函数图像上存在点( 21,222)(12, 2 22)AB和关于原点对称. (3) 考察函数( )yf x与函数 2 2 1yx 的图像,可得 当 2 1 2 x时,有 2 ( )2 1f xx , 原方程可化为4240xax, 解得 2 +2 x a , 且由 22 1 +22a , 得0 2 22a . 当 2 1 2 x 时, 有 2 ( )2 1f xx , 原方程可化为 2 4 1240xax , 化简得 22 (4)40axax, 解得 2 4 =0 +4 a xx a ,或(当0 2 22a 时, 2 24 0 24 a a ). 于是, 123 2 24 ,0 24 a xxx aa . 第 10 页 由 3221 2()xxxx , 得 22 442 =2(+) +442 aa aaa , 解得 317 2 a . 因为 317 1 2 a , 故 317 2 a 不符合题意,舍去; 3+ 17 02 22 2 a , 满足条件 .因此,所求实数 3+ 17 2 a .
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