高考数学压轴题(教师版(文)).pdf
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1、1 2020 年高考数学 30 道压轴题训练 (教师版 ) 1椭圆的中心是原点O,它的短轴长为2 2,相应于焦点( , )0F c(0c)的准线l 与 x 轴相交于点 A,2OFFA, 过点 A的直线与椭圆相交于P、Q两点。 (1)求椭圆的方程及离心率; (2)若0OP OQ uuu r uuu r ,求直线PQ的方程; 1 (1)解:由题意,可设椭圆的方程为 () 22 2 12 2 xy a a 。 由已知得 , (). 22 2 2 2 ac a cc c 解得,62ac 所以椭圆的方程为 22 1 62 xy ,离心率 6 3 e。 (2)解:由( 1)可得 A (3, 0 ) 。 设
2、直线 PQ的方程为()3yk x。 由方程组 , () 22 1 62 3 xy yk x 得() 2222 31182760kxk xk,依 题 意() 2 12 230k,得 66 33 k。 设(,),(,) 1122 P xyQ xy,则 2 12 2 18 31 k xx k , 2 12 2 276 31 k x x k 。 由直线 PQ的方程得(),() 112233yk xyk x 。 于是 ()()() 22 12121212 3339y ykxxkx xxx。 0OP OQ uuu r uuur , 1212 0x xy y。 由得 2 51k,从而(,) 566 533
3、k。 所以直线PQ的方程为530xy或530xy 2 2 已 知 函 数)(xf对 任 意 实 数x 都 有1)()1(xfxf,且 当2,0x时 , |1|)(xxf。 (1))(22,2Zkkkx时,求)(xf的表达式。 (2)证明)(xf是偶函数。 (3)试问方程0 1 log)( 4 x xf是否有实数根?若有实数根,指出实数根的个数; 若没有实数根,请说明理由。 2 f(x)=12kx(2k x2k+2, k Z) 略方程在 1 , 4上有 4 个实根 3如图,已知点 F(0,1) ,直线 L: y=-2,及圆 C:1)3( 22 yx。 (1)若动点 M 到点 F 的距离比它到直线
4、L 的距离小1,求动点 M 的轨迹 E 的方程; (2)过点 F 的直线 g 交轨迹 E 于 G(x1, y1) 、H(x2,y2)两点,求证: x1x2为 定值; (3)过轨迹 E 上一点 P 作圆 C 的切线,切点为 A、B,要使四边形PACB 的面积 S 最小,求点 P 的坐标及S的最小值。 3 x 2=4y x1x2=-4 P(2,1) SMIN=7 4以椭圆 2 2 2 y a x 1(a1)短轴一端点为直角顶点,作椭圆内接等腰直角三角形, 试判断并推证能作出多少个符合条件的三角形. 4解:因a1,不防设短轴一端点为B(0,1) 设 BCykx1( k0) 10 8 6 4 2 -2
5、 -4 -6 -8 -10 -15-10-5510x C y X O F 3 则 ABy k 1 x1 把 BC 方程代入椭圆, 是( 1a2k2)x22a2kx0 |BC| 22 2 2 1 2 1 ka ka k,同理 |AB| 22 2 22 1 ak a k 由|AB|BC|,得k3a2k2ka210 (k1) k2( 1a2)k1 0 k1 或 k2( 1a2)k10 当 k2( 1a2)k10 时,( a2 1)24 由0,得 1a3 由0,得 a3,此时,k1 故,由0,即 1a3时有一解 由0 即 a3时有三解 5已知,二次函数f(x) ax2bxc及一次函数 g(x) bx,
6、其中 a、b、cR, abc,abc0. ()求证:f(x)及 g(x)两函数图象相交于相异两点; () 设 f( x) 、g (x)两图象交于A、B 两点,当 AB 线段在 x 轴上射影为A1B1时, 试 求 |A1B1|的取值范围 . 5 解:依题意,知 a、b0 ab c 且 abc0 a0 且 c0 ()令f(x) g(x) , 得 ax22bxc0.( *) 4(b2ac) a0,c0,ac0,0 f( x) 、g(x)相交于相异两点 ()设x1、x2为交点 A、 B 之横坐标 则|A1B1|2|x1 x2|2,由方程( *) ,知 |A1B1|2 2 2 2 2 4)(444 a
7、acca a acb 4 22 2 4 ()acac a 2 4 ( )1 (*) cc aa 0 20 abc ac ab ,而 a0,2 c a 0 20 abc ac cb , 1 2 c a 1 2 2 c a 4 ( a c ) 2 a c 1( 3,12) |A1B1|( 3,23) 6 已知过函数f( x)=1 23 axx的图象上一点B(1,b)的切线的斜率为3。 (1)求 a、b 的值; (2)求 A 的取值范围,使不等式f( x) A1987 对于 x1,4恒成立; (3)令13 2 txxxfxg。 是否存在一个实数t,使得当1 ,0(x时,g (x)有最大值1? 6、解
8、:(1)xf =axx23 2 依题意得k=1 f=3+2a=3,a=3 13 23 xxxf,把 B( 1,b)代入得b=11f a=3,b=1 (2)令xf =3x 26x=0 得 x=0 或 x=2 f(0)=1,f(2)=23 3221=3 f( 1)=3,f(4)=17 x 1,4,3f(x) 17 要使 f(x) A 1987 对于 x1,4恒成立,则 f( x)的最大值17A1987 A2004。 (1)已知 g(x) =txxtxxxx 3223 1313 5 txxg 2 3 0 x1, 3 3x20, 当 t3 时,t3x20,0 xg即 g( x)在1 .0(上为增函数,
9、 g(x)的最大值g(1)=t 1=1,得 t=2(不合题意 ,舍去) 当 0t3 时, txxg 2 3 令xg =0,得 x= 3 t 列表如下 : x (0, 3 t ) 3 t 1 , 3 ( t xg 0 g(x)极大值 g(x)在 x= 3 t 处取最大值 3 3 t t 3 t =1 t= 3 4 27 = 2 23 3 3 t 3 x= 3 t 1 当 t0 时,txxg 2 30,g(x)在 1.0(上为减函数, g( x)在1 .0(上为增函数, 存在一个a= 2 23 3 ,使 g(x)在 1.0(上有最大值1。 7 已知两点M( 2,0) ,N(2,0) ,动点 P 在
10、 y 轴上的射影为H,PH 6 是 2和 PNPM的等比中项。 (1)求动点 P的轨迹方程,并指出方程所表示的曲线; (2)若以点 M、 N 为焦点的双曲线C 过直线 x+y=1 上的点 Q,求实轴最长的双曲线 C 的方程。 7、解 :(1)设动点的坐标为P(x,y),则 H(0,y) ,0, xPH,PM=( 2 x, y) PN=(2x,y) PMPN=( 2x, y) ( 2x,y)= 22 4yx xPH 由题意得 PH2=2PMPN 即 222 42yxx 即1 48 22 yx ,所求点 P 的轨迹为椭圆 (2)由已知求得N( 2,0)关于直线x+y=1 的对称点E(1,1) ,则
11、 QE= QN 双曲线的C 实轴长2a=10MEQEQMQNQM(当且仅当Q、E、M 共线时取“ =” ) ,此时,实轴长 2a 最大为10 所以,双曲线 C 的实半轴长a= 2 10 又 2 3 ,2 2 1 222 acbNMc 双曲线 C 的方程式为1 2 3 2 5 22 yx 8已知数列 an满足 aa aa b a aa aaaa n n n n n n 设, 2 ),0(3 22 11 7 ( 1)求数列 bn 的通项公式; ( 2)设数列 bn 的前项和为Sn,试比较 Sn与 8 7 的大小,并证明你的结论. 8.( 1) 1 2 1 n n b (2) 0 8 1 2 1 1
12、 16 1 8 1 ) 2 1 2 1 2 1 2 1 16 1 ( 8 1 ) 2 1 2 1 2 1 ( 8 7 2441684 n S 9已知焦点在x轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以点 )2,0(A为圆心,1 为半径的圆相切,又知 C 的一个焦点与A 关于直线xy对称 ()求双曲线C 的方程; ()设直线1mxy与双曲线 C 的左支交于A,B 两点,另一直线l经过 M (-2,0)及 AB 的中点,求直线l在y轴上的截距b 的取值范围; ()若Q 是双曲线C 上的任一点, 21F F为双曲线C 的左,右两个焦点,从 1 F引 21QF F的平分线的垂线,垂足为 N
13、,试求点 N 的轨迹方程 9解:()设双曲线C 的渐近线方程为y=kx,则 kx-y=0 该直线与圆1)2( 22 yx相切, 双曲线C 的两条渐近线方程为y=x2 分 故设双曲线C 的方程为1 2 2 2 2 a y a x 又双曲线C 的一个焦点为)0 ,2( 22 2 a,1 2 a 双曲线C 的方程为1 22 yx4 分 ()由 1 1 22 yx mxy 得022)1( 22 mxxm 令22)1()( 22 mxxmxf 直线与双曲线左支交于两点,等价于方程f(x)=0 在)0 ,(上有两个不等实根 因此 0 1 2 0 1 2 0 2 2 m m m 解得21m 又 AB 中点为
14、) 1 1 , 1 ( 22 mm m , 8 直线 l 的方程为)2( 22 1 2 x mm y6 分 令 x=0,得 8 17 ) 4 1 (2 2 22 2 2 2 m mm b )2, 1(m, ) 1 ,22( 8 17 ) 4 1 (2 2 m ),2()22,(b8 分 ()若Q 在双曲线的右支上,则延长 2 QF到 T,使| 1 QFQT, 若 Q 在双曲线的左支上,则在 2 QF上取一点T,使| 1 QFQT 根据双曲线的定义2| 2 TF, 所以点 T 在以)0 ,2( 2 F为圆心,2为半径的圆上,即 点 T 的轨迹方程是 )0(4)2( 22 xyx 10 分 由于点
15、 N 是线段TF1的中点,设),(yxN,),( TT yxT 则 2 2 2 T T y y x x ,即 yy xx T T 2 22 代入并整理得点N 的轨迹方程为1 22 yx) 2 2 (x 12 分 10)(xf对任意Rx都有. 2 1 )1 ()(xfxf ()求 ) 2 1 (f和)() 1 () 1 (Nn n n f n f的值 () 数列 na满足:na=)0(f+)1 () 1 () 2 () 1 (f n n f n f n f,数列na 是等差数列吗?请给予证明; 试比较 n T与 n S的大小 10 解: ()因为 2 1 ) 2 1 () 2 1 () 2 1
16、1 () 2 1 (ffff所以 4 1 ) 2 1 (f 2 分 令 n x 1 ,得 2 1 ) 1 1 () 1 ( n f n f,即 2 1 ) 1 () 1 ( n n f n f4 分 ())1 () 1 () 1 ()0(f n n f n ffan 又)0() 1 () 1 ()1 (f n f n n ffan 5 分 两式相加 9 2 1 )0()1() 1 () 1 ()1()0(2 n ff n n f n fffan 所以Nn n an, 4 1 ,7 分 又 4 1 4 1 4 11 1 nn aa nn 故数列 n a是等差数列9 分 () na b n n 4
17、 14 4 22 2 2 1nn bbbT ) 1 3 1 2 1 1(16 222 n )1( 1 32 1 21 1 116 nn 10 分 ) 1 1 1 () 3 1 2 1 () 2 1 1(116 nn 12 分 n S nn 16 32) 1 2(16 所以 nn ST14 分 11如图,设 OA、OB 是过抛物线y2 2px 顶点 O 的两条弦, 且OA OB 0,求以 OA、OB 为直径的两圆的另一个交点P 的轨迹 . 11设直线OA 的斜率为k,显然 k存在且不等于0 则 OA 的方程为ykx 由 ykx y2 2px解得 A( 2p k2 , 2p k ) 4分 又由,知
18、 OAOB,所以 OB 的方程为y 1 kx 由 y 1 kx y22px 解得 B(2pk2,2pk) 4分 从而 OA 的中点为A( p k2, p k), OB 的中点为B(pk2, pk) 6分 所以,以 OA、OB 为直径的圆的方程分别为 x2y2 2px k2 2py k 0 x2y22pk2x2pky0 10 分 10 P(x,y)是异于 O 点的两圆交点,所以 x 0,y 0 由并化简得y(k 1 k)x 将代入,并化简得x(k2 1 k 21)2p 由消去k,有 x2y22px0 点 P 的轨迹为以 (p,0)为圆心,p 为半径的圆 (除去原点 ). 13 分 12.知函数
19、f(x) log3(x22mx2m2 9 m23)的定义域为 R (1)求实数 m 的取值集合M; (2)求证:对mM 所确定的所有函数f(x)中,其函数值最小的一个是2,并求使函 数值等于2 的 m 的值和 x 的值 . 12(1)由题意,有 x2 2mx 2m2 9 m23 0 对任意的xR 恒成立 所以 4m24(2m2 9 m23)0 即 m2 9 m 230 (m 23 2) 227 m23 0 由于分子恒大于0,只需 m230 即可 所以 m3或 m3 Mm|m3或 m3 4分 (2)x22mx2m2 9 m23(xm) 2m2 9 m 23 m 2 9 m23 当且仅当xm 时等
20、号成立 . 所以,题设对数函数的真数的最小值为m2 9 m2 3 7分 又因为以3 为底的对数函数为增函数 f(x) log3(m2 9 m 23) 当且仅当xm(mM)时,f(x)有最小值为log3(m2 9 m23) 10 分 又当 m M 时,m2 30 m2 9 m23 m23 9 m233 2 (m23) 9 m2 3 39 当且仅当m23 9 m23, 即 m 6时, 11 log3(m2 9 m23)有最小值 log3(6 9 63)log 392 当 xm 6时,其函数有最小值2. 13.设关于 x 的方程 2x2-tx-2=0 的两根为),(,函数 f(x)=. 1 4 2
21、x tx (1) 求 f()()f和的值。 (2) 证明: f(x) 在,上是增函数。 (3) 对任意正数x1、 x2,求证:2)()( 21 21 21 21 xx xx f xx xx f 13解析:(1) 由根与系数的关系得,. 1, 2 t ).16( 2 1 16 82)(24 1 4 )( 2 2 22 tt tt t f 同法得 f().16( 2 1 ) 2 tt (2).证明:f/(x)=, )1( )22(2 )1( 2)4()1(4 22 2 22 2 x txx x xtxx 而当 x,时, 2x 2-tx-2=2(x- , 0)(x故当 x,时, f /(x)0, 函
22、数 f(x)在 ,上是增函数。 (3) 。 证明:,0 )( , 0 )( 21 1 21 21 21 2 21 21 xx x xx xx xx x xx xx 21 21 xx xx , 同理 21 21 xx xx . ).()()(),()()( 21 21 21 21 f xx xx fff xx xx ff故 又 f().()() 21 21 f xx xx f两式相加得 : ),()()()()()( 21 21 21 21 ff xx xx f xx xx fff 12 即 ).()()()( 21 21 21 21 ff xx xx f xx xx f 而由( 1) ,f(2
23、)(,2)f且 f()()()()fff, 2)()( 21 21 21 21 xx xx f xx xx f. 14已知数列an 各项均为正数,Sn为其前n 项的和 .对于任意的 * nN,都有 2 41 nn Sa. I、求数列 n a的通项公式 . II、若 2 n n tS 对于任意的 * nN恒成立,求实数t的最大值 . 14(I) 2 1111 44(1) ,1.SaaaQ当2n 时, 22 11 44411 nnnnn aSSaa, 22 11 2 nnnn aaaa,又 an各项均为正数, 1 2 nn aa.数列 n a是等差数列, 21. n an (II) 2 n Sn,
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