高考数学压轴题常考题型81页.pdf
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1、1 高考数学压轴题常考题型81页 高考数学压轴题常考题型20 组 类 型 1 二次函数 2 复合函数 3 创新性函数 4 抽象函数 5 导函数(极值,单调区间) - 不等式 6 函数在实际中的应用 7 函数与数列综合 8 数列的概念和性质 9Sn与 an 的关系 10 创新型数列 11 数列与不等式 12 数列与解析几何 13 椭圆 14 双曲线 15 抛物线 16 解析几何中的参数范围问题 17 解析几何中的最值问题 18 解析几何中的定值问题 19 解析几何与向量 20 探究性问题 2 1. 二次函数 例 1. 对于函数 2 ( )(1)2 (0)f xaxbxba , 若存在实数 0 x
2、 , 使 00 ()f xx 成立,则称 0 x 为 ( )f x 的不动点 (1)当 2,2ab 时, 求 ( )f x 的不动点; (2)若对于任何实数 b, 函数 ( )f x 恒有两个相异的不动点,求实数 a 的取值范围; ( 3)在 (2) 的条件下,若 ( )yf x 的图象上 ,A B 两点的横坐标是函数 ( )f x 的不动点,且直线 2 1 21 ykx a 是线段 AB的垂直平分线, 求实数 b的取值范围 分析本题考查二次函数的性质、直线等基础知识,及综合分析问题的能力 函数与方程思想 解: 2 ( )(1)2 (0)f xaxbxba , (1)当 2,2ab 时, 2
3、( )24fxxx 设 x为其不动点, 即 2 24xxx ,则 2 2240xx 所以 12 1,2xx ,即 ( )f x 的不动点是 1,2 . (2)由 ( )f xx 得 2 20axbxb . 由已知, 此方程有相异二实根,所以 2 4 (2)0 a ba b , 即 2 480baba 对任意 bR恒成立 2 0,16320 b aa , 02a (3)设 1122 (,),(,)A xyB xy , 直线 2 1 21 ykx a 是线段AB的垂直平分线, 1k 记AB的中点 00 (,)M xx , 由(2) 知 0 2 b x a 2 12 ( )20, b f xxaxb
4、xbxx a Q MQ 在 2 1 21 ykx a 上, 2 1 2221 bb aaa 化简得: 2 112 1 2141 2 2 2 a b a a a a a , 当 2 2 a 时, 等号成立 即 22 , 44 bb 3 例 2 已知函数 2 42fxaxx , 若对任意 1 x , 2 xR 且 12 xx , 都有 1212 22 fxfxxx f ()求实数 a 的取值范围; ()对于给定的实数 a, 有一个最小的负数 M a , 使得 ,0xM a 时, 44fx 都成 立, 则当 a 为何值时, M a 最小, 并求出 M a 的最小值 解 :( ) 1212 22 fx
5、fx xx f 2 22 12121122 222 xxxxaxbxcaxbxc abc 2 12 0 4 a xx , 12 xx , 0a 实数 a 的取值范围为 0, () 2 2 24 422fxaxxa x aa , 显然 02f , 对称轴 2 0x a 。 (1)当 4 24 a , 即 02a 时, 2 ,0Ma a , 且 4fM a 令 2 424axx , 解得 242a x a , 此 时 M a 取 较 大 的 根 ,即 2422 422 a Ma a a , 02a , 2 1 422 Ma a (2)当 4 24 a , 即 2a 时, 2 M a a, 且 4f
6、M a 令 2 424axx ,解 得 246a x a ,此 时 M a 取 较 小 的 根 ,即 2466 462 a Ma aa , 2a , 6 3 462 Ma a 当且仅当 2a 时, 取等号 31, 当2a 时, M a 取得最小值 3 2 复合函数 4 例 1已知函数 fx 满足 1 2 log 1 a a fxxx a , 其中 0a , 且 1a 。 (1)对于函数 fx , 当 1,1x 时, 2 110fmfm , 求实数 m的取值范围; (2)当 ,2x 时, 4fx 的取值范围恰为 ,0 , 求a的取值范围。 解: 0)( 1 )(log 1 2 axx a a x
7、f a 且 )1a 设 xt a log , 则 t ax )( 1 )( 2 tt aa a a tf )( 1 )( 2 xx aa a a xf 当 ) 1 ,0(a 时, 0 1 2 a a x a x a )(xfy 在其定义域上 当 ), 1(a 时, 0 1 2 a a , x a , x a )(xfy 在其定义域上 0a 且 1a , 都有 )(xfy 为其定义域上的增函数 又 )()( 1 )( 2 xfaa a a xf xx )(xf 为奇函数 (1) 当 )1 , 1(x 时, 0)1()1( 2 mfmf ) 1()1()1( 22 mfmfmf 11 21111
8、111 2 2 mm mm m (2)当 )2,(x 时, 4)()(xfxF 在 )2,( 上, 且值域为 )0 ,( 04)2()2(fF 4) 1 ( 1 2 2 2 a a a a 4 1 1 2 4 2 a a a a aa41 2 32a 例 2. 函数 fx 是 2 1 101 x yxR 的反函数, g x 的图象与函数 43 1 x y x 的图象关于直线 1xy 成轴对称图形,记 Fxfxg x 。 (1)求 F x 的解析式及其定义域; (2)试问 F x 的图象上是否存在两个不同的点A、B, 使直线 AB恰好与 y 轴垂直?若存在,求出 A、B的坐标;若不存在,说明理由
9、。 解: (1) 1 110 2 x y 1 2 110 y x y yx 1 1 10 y y x 1 1 lg )11( 1 1 lg)(x x x xf 5 )(xg 的图象与 1 34 x x y 的图象关于直线 1xy 成轴对称图形 1)(xg 的图象与 1 23 1 1 34 x x x x y 的图象关于直线 xy 对称 即: 1)(xg 是 1 23 x x y 的反函数 xyxy23 3)2(yxy2 3 y y x 2 3 1)( x x xg 2 1 )( x xg )11( 2 1 1 1 lg)()()(x xx x xgxfxF (2) 假设在 )(xF 的图象上存
10、在不同的两点A、 B使得 ylAB 轴, 即 Rc 使得方程 c xx x 2 1 1 1 lg 有两不等实根 设 1 2 1 1 1 xx x t , 则t在( 1, 1 )上 且 0t t t x 1 1 , 3 1 2 1 t t x Rc 使 得 方 程 c t t t 3 1 lg 有 两 不 等 正 根 3 2 )1( 3 1 lg t c t t ct 设 )lg()(tth , 3 2 )1()( t ct 由函数图象可知: Rc , 方程 3 2 ) 1(lg t ct 仅有唯一正根不存在点 A、B符合题意。 3. 设 Ra 且 ea,0 为自然对数的底数,函数 f ( x)
11、 . 2 )(, 1 2xx ex a xgxe (1)求证:当 1a 时, )()(xgxf 对一切非负实数x 恒成立; (2)对于(0, 1 )内的任意常数 a, 是否存在与 a 有关的正常数 0 x , 使得 )()( 00 xgxf 成立? 6 如果存在,求出一个符合条件的 0 x ;否则说明理由 . 分析:本题主要考查函数的单调性,导数的应用等基础知识,以及综合运用所学知识分析和解决问 题的能力分类讨论、化归(转化)思想方法 解: (1)当 , 1 2 1)()(,0 2 x e x x a xgxfx时 令 ) 1 ()( 1 2 )( 2 xx e axxh e x x a xh
12、 0,1 xa),0)(,0)(在xhxh 上单调递增, )()(1)0()(xgxfhxh (2) 01 1 2 )()( 0 02 000 x e x x a xgxf (1) , 需求一个 0 x , 使(1)成立,只要求出 1 1 2 )( 2 x e x x a xt 的最小值,满足 ,0)( min xt )ln, 0() 1 ()(a e axxt x 在 上 在 上),ln(a , 1) 1ln(ln 2 )ln()( 2 min aaa a atxt 只需证明 ) 1 , 0(01) 1(lnln 2 2 aaaa a 在 内成立即可, 令 )(0)(ln 2 1 )(1)1
13、ln(ln 2 )( 22 aaaaaa a a 为增函数 ,01)1ln(ln 2 0) 1()( 2 aaa a a 0)( min xt , 故存在与 a有关的正常数 )10(ln 0 aax 使(1)成立。 3. 创新型函数 例 1. 在 R上定义运算 1 :4 3 pqpcqbbc (b、c 为实常数)。记 2 12fc , 2 2fb, R. 令 2 1 fff . ()如果函数 f 在 1处有极值 4 3, 试确定 b、c 的值; ()求曲线 yf 上斜率为 c 的切线与该曲线的公共点; ()记 |11g xfxx 的最大值为M. 若 Mk 对任意的 b、c 恒成立, 试示 k的
14、最大值。 7 解: 232 12 11 334 33 fxfxfxxcxbbcxbxcxbc 2 2fxxbxc ()由 fx 在 1x 处有极值 4 3, 可得 1120 14 1 33 fbc fbcbc , 解得 1 1 b c 或 1 3 b c 若 11bc, , 则 2 2 2110fxxxx , 此时 fx 没有极值; 若 13bc, , 则 2 2313fxxxxx 。 当 x变化时, fx 、 fx 的变化情况如下表: x3, 3 3,1 1 (1), ( )fx 0 + 0 ( )f x单调递减 极 小 值 -12 单调递增极大值 4 3 单调递减 当 1x 是, fx 有
15、极大值 4 3, 故13bc, 即为所求。 ()设曲线 yfx 在x t处的切线的斜率为 c, 2 2fxxbxc , 2 2tbtcc, 即 2 20tbt 。解得 0t 或 2tb。 若 0t , 则 0fbc , 得切点为 0,bc , 切线方程为 ycxbc ; 若 2tb, 则 34 23 3 fbbbc , 得切点为 34 2 ,3 3 bbbc , 切线方程为 34 3 ycxbcb 。 若 32321 30 3 xbxcxbccxbcxbx , 解得 12 0xx , 3 3xb, 则此时切线 ycxbc 与曲线 yfx 的公共点为 0,bc , 3 ,4bbc ; (2) 若
16、 323323 14 340 33 xbxcxbccxbcbxbxb , 解得 12 2xxb , 3 xb , 此时切线 34 3 ycxbcb 与曲线 yfx 的公共点为 3 4 2 ,3 3 bbbc , 8 3 4 , 3 bb 。 综合可知,当 0b 时, 斜率为 c 的切线与曲线 yfx 有且只有一个公共点 0,0 ;当 0b , 斜 率为 c 的切线与曲线 yfx 有两个不同的公共点,分别为 0,bc 和 3 ,4bbc 或 3 4 2 ,3 3 bbbc , 34 , 3 bb 。 () 2 2 g xfxxbbc (1) 当 1b 时, 函数 ( )yfx 的对称轴 xb位于
17、区间 1,1外,( )fx 在 1,1上的最值在两端点处 取得, 故 M 应是 1g 和 1g 中较大的一个。 211121244Mggbcbcb , 即 2M (2) 当 1( )byfx时,函数 得对称轴 x=b位于区间 1,1之内 此时 max( 1),(1), ( )Mggg b 由 2 (1)( 1)4 ,( )( 1)(1)0ffbfbfb m有 若 10,max( 1), ( )bgg b则f (1)f (-1)f (b),g(-1) 于是 2 111 max( 1),( )(1)( ) )(1)( ) )(1) 222 Mffbffbffbb 若 01b , 则, max( 1
18、), ( )gg bg(1) 于是 21111 max( 1),( )( 1)( )( 1)( ) )(1) 2222 Mffbffbffbb 综上, 对任意的 b、c 都有 1 2 M 而当, 1 0, 2 bc 时, 21 ( ) 2 g xx 在区间 1,1上的最大值 1 2 M 故M K对任意的 b, c 恒成立的 k 的最大值为 1 2 。 例2 设 函 数 1 (0) 11 x x fxx xx xx , 其 中 x 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 , 如 9 1 2=2, 0,1.81 3 . ( ) 求 3 ( ) 2 f 的值; ( ) 若在区间 2,3) 上存在
19、 x, 使得 ( )fxk 成立, 求实数 k 的取值范围 ; ( ) 求函数 ( )f x 的值域 . 解:( ) 因为 32 1,0 23 , 所以 32 313 23 (). 3232 212 1 2323 f ( ) 因为 23x , 所以 1 2,0x x , 则 11 ( )() 3 f xx x . 求导得 2 11 ( )(1) 3 fx x , 当 23x 时, 显然有 ( )0fx , 所以 ( )f x 在区间 2,3) 上递增 , 即可得 ( )f x 在区间 2,3) 上的值域为 5 10 ,) 69 , 在区间 2,3) 上存在 x, 使得 ( )f xk 成立,
20、所以 5 6 k ( ) 由于 ( )f x 的表达式关于 x 与 1 x 对称, 且 x 0, 不妨设 x 1. 当 x 1 时, 1 x 1, 则 1 1 2 f ; 当 x 1 时, 设 x n,nN*,01. 则 x n, 1 0 x , 所以 1 () 1 n n fxf n n 1 g xx x Q 设 , 2 1 ( )10,gx x ( )g x 在 1,上是增函数 , 又 1nnn , 11 nnn nnn , 当 2x 时, 11 1 1 ,2 11 n nn nn fxInn nn * N 当 (1,2)x 时, 1 5 (1, 4 fxI 故 (1,)x 时, ( )f
21、 x 的值域为 I1 I2 In 10 设 2 2 11 1 11 1 ,1 111 1 nn nn n nn ab nn nn n , 则 , nnn Iab . 1 2 12 nn n aa n nn Q , 当 n 2 时,a2 a3 a4 an 又 bn单调递减 , b2 b3 bn a2,b2 I2I3I4In 111222 5510 ,1, 469 IabIabQ I1 I2 In I1 I2 551055 1, 46964 U . 综上所述 , ( )fx 的值域为 155 , 264 U 例 3. 我们用 ,min 21n sss 和 ,max 21n sss 分别表示实数 n
22、 sss, 21 中的最小者和最大者 . (1)设 cos,minsin)(xxxf , cos,maxsin)(xxxg , 2,0x , 函数 )(xf 的值域为 A, 函 数 )(xg 的值域为 B, 求 BA ; ( 2 ) 提 出 下 面 的 问 题 : 设 1 a , 2 a , , n a 为 实 数 , Rx ,求 函 数 |)( 2211nn xxaxxaxxaxf ( Rxxx n21 )的最小值或最大值为了方便探究,遵循从特殊到一般的原则,先解决两 个特例:求函数 |1|1|3|2|)(xxxxf 和 |2|2|1|4|1|)(xxxxg 的最值。得 出的结论是: )1
23、(),1(),2(min)( min fffxf ,且 )(xf 无最大值; )2(),1 (),1(max)( max gggxg , 且 )(xg 无最小值请选择两个学生得出的结论中的一个,说明其成立的理由; (3)试对老师提出的问题进行研究,写出你所得到的结论并加以证明(如果结论是分类的,请选 择一种情况加以证明) 解: (1) 2 2 , 1A , 1 , 2 2 B , 2 2 , 2 2 BA (2)若选择学生甲的结论,则说明如下, 1,63 11,45 12,2 2,63 )( xx xx xx xx xf , 于是 )(xf 在区间 2,( 上是减函数, 在 1,2 上是减函数
24、, 在 11 1 ,1 上是增函数,在 ), 1 上是增函数,所以函数 )(xf 的最小值是 )1(),1(),2(minfff , 且函 数 )(xf 没有最大值 若选择学生乙的结论,则说明如下, 2,1 21,95 11,13 1,1 )( xx xx xx xx xg , 于是 )(xg 在区间 1,( 上是增函数,在 1 , 1 上是增函数,在 2 , 1 上是减函数,在 ),2 上是减函数所以函数 )(xg 的最大值是 )2(),1 (),1(maxggg , 且函数 )(xg 没有最 小值 (3)结论: 若 0 21n aaa , 则 )(,),(),(min)( 21minn x
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- 高考 数学 压轴 题常考 题型 81
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