高考数学压轴题解题技巧和方法.pdf
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1、高考数学压轴题解题技巧和方法 圆锥曲线的解题技巧 一、常规七大题型: (1)中点弦问题 具有斜率的弦中点问题,常用设而不求法(点差法):设曲线上两点为(,)xy 11 , (,)xy 22 , 代入方程,然后两方程相减,再应用中点关系及斜率公式(当然在这里也要 注意斜率不存在的请款讨论), 消去四个参数。 如: (1))0(1 2 2 2 2 ba b y a x 与直线相交于A、B, 设弦AB 中点为M(x0,y0), 则有 0 2 0 2 0 k b y a x 。 (2))0,0(1 2 2 2 2 ba b y a x 与直线l 相交于A、B, 设弦 AB 中点为M(x0,y0)则有
2、0 2 0 2 0 k b y a x (3)y 2=2px( p0)与直线 l 相交于 A、B设弦 AB 中点为 M(x 0,y0),则有 2y0k=2p,即 y0k=p. 典型例题给定双曲线x y 2 2 2 1。 过 A(2, 1)的直线与双曲线交于两点P1及 P 2 , 求线段P 1 P2的中点 P的轨迹方程。 (2)焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点P, 与两个焦点F1、F2构成的三角形问题, 常用正、余弦定理 搭桥。 典型例题设 P(x,y)为椭圆 x a y b 2 2 2 2 1上任一点,Fc 1 0(, ),Fc 2 0( , )为焦点, PF F 12 ,PF F 21 。
3、 (1)求证离心率 sinsin )sin( e; (2)求|PFPF 1 3 2 3 的最值。 (3)直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组,进而转化为一元二次方程后利用判 别式、 根与系数的关系、求根公式等来处理,应特别注意数形结合的思想,通过图形的直 观性帮助分析解决问题,如果直线过椭圆的焦点,结合三大曲线的定义去解。 典型例题 抛物线方程,直线与 轴的交点在抛物线准线的右边。yp xpxytx 2 10() () (1)求证:直线与抛物线总有两个不同交点 (2)设直线与抛物线的交点为A、B, 且 OA OB, 求 p 关于 t 的函数 f(t)的表达式
4、。 (4)圆锥曲线的相关最值(范围)问题 圆锥曲线中的有关最值(范围)问题,常用代数法和几何法解决。 若命题的条件和结论具有明显的几何意义,一般可用图形性质来解决。 若命题的条件和结论体现明确的函数关系式,则可建立目标函数(通常利用二次函 数,三角函数,均值不等式)求最值。 ( 1) , 可以设法得到关于a 的不等式,通过解不等式求出a 的范围,即: “ 求范围,找 不等式 ” 。 或者将 a 表示为另一个变量的函数,利用求函数的值域求出a 的范围; 对于( 2) 首先要把 NAB 的面积表示为一个变量的函数,然后再求它的最大值,即: “最值问题,函 数思想 ” 。 最值问题的处理思路: 1、
5、建立目标函数。用坐标表示距离,用方程消参转化为一元二次函数的最值问题, 关键是由方程求x、y 的范围; 2、数形结合,用化曲为直的转化思想; 3、利用判别式,对于二次函数求最值,往往由条件建立二次方程,用判别式求最 值; 4、借助均值不等式求最值。 典型例题 已知抛物线y2=2px(p0), 过 M(a,0)且斜率为 1 的直线 L与抛物线交于不同的两点A、 B, |AB| 2p (1)求 a 的取值范围; (2)若线段 AB 的垂直平分线交x 轴于点 N, 求 NAB 面积的最大 值。 (5)求曲线的方程问题 1曲线的形状已知-这类问题一般可用待定系数法解决。 典型例题 已知直线L过原点,抛
6、物线 C 的顶点在原点,焦点在 x 轴正半轴上。若点 A(-1, 0) 和点 B(0, 8)关于 L 的对称点都在C 上,求直线 L和抛物线C的方程。 2曲线的形状未知-求轨迹方程 典型例题 已知直角坐标平面上点Q (2, 0)和圆 C:x2+y2=1, 动 点 M 到圆 C的切线长与 |MQ| 的比等于常数(0), 求动点 M 的轨迹方程,并说明它是什么曲线。 (6) 存在两点关于直线对称问题 在曲线上两点关于某直线对称问题,可以按如下方式分三步解决:求两点所在的直线, 求这两直线的交点,使这交点在圆锥曲线形内。(当然也可以利用韦达定理并结合判别式 来解决) M N Q O 典型例题已知椭圆
7、C 的方程 xy 22 43 1, 试确定m 的取值范围,使得对于直线 yxm4, 椭圆 C上有不同两点关于直线对称 (7)两线段垂直问题 圆锥曲线两焦半径互相垂直问题,常用kk yy xx 12 12 12 1 来处理或用向量的坐 标运算来处理。 典型例题已知直线l的斜率为k, 且过点P(, )2 0, 抛物线C yx:() 2 41, 直线 l与抛物线C 有两个不同的交点(如图)。 (1)求k的取值范围; (2)直线l的倾斜角为何值时,A、 B与抛物线C的焦点连线互相垂直。 四、解题的技巧方面: 在教学中,学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上,如果我们能够充分 利用几何图形、韦达定
8、理、曲线系方程,以及运用“设而不求”的策略,往往能够减少计 算量。下面举例说明: (1)充分利用几何图形 解析几何的研究对象就是几何图形及其性质,所以在处理解析几何问题时,除了运用 代数方程外,充分挖掘几何条件,并结合平面几何知识,这往往能减少计算量。 典型例题设直线340xym与圆xyxy 22 20相交于 P、Q 两点, O 为 坐标原点,若OPOQ, 求m的值。 (2) 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略 我们经常设出弦的端点坐标而不求它,而是结合韦达定理求解,这种方法在有关斜率、 中点等问题中常常用到。 典型例题已知中心在原点O, 焦点在y轴上的椭圆与直线yx1相交于 P、Q 两点,
9、 且OP OQ,|PQ 10 2 , 求此椭圆方程。 (3) 充分利用椭圆的参数方程 椭圆的参数方程涉及到正、余弦,利用正、余弦的有界性,可以解决相关的求最值的问 题这也是我们常说的三角代换法。 典型例题P为椭圆 22 22 1 xy ab 上一动点,A 为长轴的右端点,B为短轴的上端点,求 四边形 OAPB面积的最大值及此时点P的坐标。 (4)充分利用曲线系方程 利用曲线系方程可以避免求曲线的交点,因此也可以减少计算。 典型例题求经过两已知圆Cxyxy 1 22 420:和Cxyy 2 22 24:0 的 交点,且圆心在直线l:2410xy上的圆的方程。 (5)线段长的几种简便计算方法 充分
10、利用现成结果,减少运算过程 一般地,求直线与圆锥曲线相交的弦AB 长的方法是:把直线方程ykxb代入圆 锥曲线方程中,得到型如axbxc 2 0的方程,方程的两根设为xA, xB, 判别式 为,则|ABkxx AB 1 2 | 1 2 a k , 若直接用结论,能减少配方、开 方等运算过程。 例求直线xy10被椭圆xy 22 416所截得的线段AB的长。 结合图形的特殊位置关系,减少运算 在求过圆锥曲线焦点的弦长时,由于圆锥曲线的定义都涉及焦点,结合图形运用圆锥曲 线的定义,可回避复杂运算。 例F1、F2是椭圆 xy 22 259 1的两个焦点,AB是经过F1的弦, 若| |AB8, 求 值|
11、 22 BFAF 利用圆锥曲线的定义,把到焦点的距离转化为到准线的距离 例点 A ( 3, 2)为定点,点 F是抛物线 yx 2 4的焦点,点 P在抛物线y 2 4x 上移动,若| |PAPF取得最小值,求点 P的坐标。 圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备: 1. 直线方程的形式 (1)直线方程的形式有五件:点斜式、两点式、斜截式、截距式、 一般式。 (2)与直线相关的重要内容 倾斜角与斜率tan,0,)k 点 到 直 线 的 距 离 00 22 AxByC d AB 夹 角 公 式 : 21 21 tan 1 kk k k (3)弦长公式 直线ykxb上两点 1122 (,),(,)A
12、 xyB xy间的距离: 2 12 1ABkxx 22 1212 (1)()4kxxx x或12 2 1 1AByy k (4)两条直线的位置关系 1212 llk k=-1 212121 /bbkkll且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种?(三种形式) 标准方程: 22 1(0,0) xy mnmn mn 且 距离式方程: 2222 ()()2xcyxcya 参数方程:cos ,sinxayb (2)、双曲线的方程的形式有两种 标准方程: 22 1(0) xy m n mn 距离式方程: 2222 |()()| 2xcyxcya (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗? 2
13、2 22 2 bb p aa 椭圆:;双曲线:;抛物线: (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗? 如:已知 21 FF 、是椭圆1 34 22 yx 的两个焦点,平面内一个动点 M 满 足2 21 MFMF则动点 M 的轨迹是() A、双曲线; B、双曲线的一支; C、两条射线; D、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式: 12 2 tan 2 F PF Pb在椭圆上时, S 12 2 cot 2 F PF Pb在双曲线上时, S (其中 222 12 121212 12 |4 ,cos,|cos | | PFPFc F PFPFPFPFPF PFPF ? uu u ru uu u ruu u
14、r uuuu r ) (6)、记住焦半径公式:(1) 00 ;xaexaey椭圆焦点在轴上时为焦点在 y轴上时为 , 可简记为“左加右减,上加下减”。 (2) 0 |xe xa双曲线焦点在轴上时为 (3) 11 |,| 22 pp xxy抛物线焦点在轴上时为焦点在 y轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗? 第二、方法储备 1、点差法(中点弦问题) 设 11, y xA、 22,y xB,baM,为椭圆1 34 22 yx 的弦AB中点则有 1 34 2 1 2 1 yx ,1 34 2 2 2 2 yx ;两式相减得 0 34 2 2 2 1 2 2 2 1 yyxx 34 2
15、1212121 yyyyxxxx AB k= b a 4 3 2、联立消元法:你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗? 经典套路是什么?如果有两个参数怎么办? 设直线的方程, 并且与曲线的方程联立,消去一个未知数,得 到一个二次方程,使用判别式0, 以及根与系数的关系,代 入弦长公式,设曲线上的两点 1122 (,),(,)A xyB xy, 将这两点代入 曲线方程得到 1 2 两个式子, 然后1 -2 ,整体消元 , 若 有两个字母未知数,则要找到它们的联系,消去一个,比如 直线过焦点,则可以利用三点A、B、F 共线解决之。若有向 量的关系,则寻找坐标之间的关系,根与系数的关系结合消元
16、处理。一旦设直线为ykxb, 就意味着 k 存在。 例 1、已知三角形 ABC 的三个顶点均在椭圆8054 22 yx上, 且点 A 是椭圆短轴的一个端点(点A 在 y 轴正半轴上) . (1)若三角形 ABC 的重心是椭圆的右焦点,试求直线 BC 的方程 ; (2)若角 A 为 0 90, AD 垂直 BC于 D, 试求点 D 的轨迹方程 . 分析:第一问抓住 “重心” , 利用点差法及重心坐标公式可求出中点 弦 BC的斜率, 从而写出直线 BC的方程。 第二问抓住角 A 为 0 90可 得出 ABAC, 从而得016)(14 212121 yyyyxx, 然后利用联立 消元法及交轨法求出点
17、D 的轨迹方程; 解: ( 1)设 B( 1 x, 1 y) ,C( 2 x, 2 y),BC 中点为 ( 00, y x),F(2,0)则 有 1 1620 , 1 1620 2 2 2 2 2 1 2 1 yxyx 两式作差有0 16 )( 20 )( 21212121 yyyyxxxx 0 45 00 kyx (1) F(2,0)为三角形重心,所以由2 3 21 xx , 得3 0 x, 由0 3 4 21 yy 得2 0 y, 代入(1)得 5 6 k 直线 BC的方程为02856yx 2)由 ABAC 得016)(14 212121 yyyyxx(2) 设直线BC方程为8054, 2
18、2 yxbkxy代入,得 080510)54( 222 bbkxxk 2 21 54 10 k kb xx, 2 2 21 54 805 k b xx 2 22 21 2 21 54 804 , 54 8 k kb yy k k yy代入( 2)式得 0 54 16329 2 2 k bb , 解得)(4 舍b或 9 4 b 直线过定点(0,) 9 4 ,设 D (x,y) ,则1 4 9 4 x y x y , 即 0163299 22 yxy 所以所求点 D 的轨迹方程是 )4() 9 20 () 9 16 ( 222 yyx。 4、设而不求法 例 2、 如图, 已知梯形 ABCD 中CD
19、AB2, 点 E 分有向线段AC 所成的比为, 双曲线过 C、 D、 E 三点, 且以 A、 B 为焦点当 4 3 3 2 时, 求双曲线离心率e的取值范围。 分析:本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念 和性质, 推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建 立直角坐标系xOy, 如图,若设 Ch c , 2 , 代入1 2 2 2 2 b y a x , 求得 hL, 进而求得, EE xyLL再代入1 2 2 2 2 b y a x , 建立目标函数 ( , , , )0f a b c, 整理( , )0f e, 此运算量可见是难上加难.我们对h 可采取设而不求的解题
20、策略, 建立目标函数( , , , )0f a b c, 整理( ,)0f e,化繁为简 . 解法一:如图,以 AB 为垂直平分线为y轴, 直线 AB 为x轴, 建立直角坐标系xOy, 则 CDy轴因为双曲线经过点C、D, 且以 A、B 为焦点,由双曲线的对称性知C、D 关于y轴对称 依题意, 记 A0 , c , Ch c , 2 , E 00, y x, 其中| 2 1 ABc 为双曲线的半焦距,h是梯形的高, 由定比分点坐标公式得 12 2 1 2 0 c c c x, 1 0 h y 设双曲线的方程为1 2 2 2 2 b y a x , 则离心率 a c e 由点 C、E 在双曲线上
21、,将点 C、E 的坐标和 a c e代入双曲线 方程得 1 4 2 22 b he , 1 11 2 4 2 22 b he 由式得1 4 2 2 2 e b h , 将式代入式,整理得 2144 4 2 e , 故 1 3 1 2 e 由题设 4 3 3 2 得, 4 3 2 3 1 3 2 2 e 解得107e 所以双曲线的离心率的取值范围为10,7 分析:考虑,AEAC为焦半径 ,可用焦半径公式 , ,AEAC用,E C的横坐 标表示,回避h的计算 , 达到设而不求的解题策略 解法二:建系同解法一,, EC AEaexACaex, 2 2 121 E c c c x, 又 1 AE AC
22、 , 代入整理 1 3 1 2 e , 由 题设 4 3 3 2 得, 4 3 2 3 1 3 2 2 e 解得107e 所以双曲线的离心率的取值范围为10,7 5、判别式法 例 3 已知双曲线 1 22 : 22 xy C , 直线l过点0,2A, 斜率为k, 当 10k时, 双曲线的上支上有且仅有一点B 到直线l的距离为2, 试求k的值及此时点 B 的坐标。 分析 1:解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科,因 此, 数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有” 这个微观入手, 对照草图, 不难想到:过点 B 作与l平行的直线, 必 与双曲线C 相切 . 而相切的代数表
23、现形式是所构造方程的判别式 0. 由此出发,可设计如下解题思路: 10)2(:kxkyl kkkxyl22 2 2: 的值解得 k 解题过程略 . 分析 2:如果从代数推理的角度去思考,就应当把距离用代数式 表达, 即所谓“有且仅有一点B 到直线l的距离为2” , 相当于化 归的方程有唯一解 . 据此设计出如下解题思路: 把直线 l 的方程代入双曲线方程,消去 y, 令判别式0 直线 l 在 l 的上方且到直线l 的距离为2 转化为一元二次方程根的问题 求解 问题 关于 x的方程102 1 22 2 2 k k kxkx 有唯一 简解:设点)2,( 2 xxM为双曲线 C上支上任一点,则点 M
24、 到直 线l的距离为: 2 1 22 2 2 k kxkx 10k 于是, 问题即可转化为如上关于x的方程. 由于10k, 所以kxxx 2 2, 从而有 .2222 22 kxkxkxkx 于是关于x的方程 ) 1(222 22 kkxkx 02) 1(2 ,)2) 1(2(2 2 22 2 2 kxkk kxkkx .02)1(2 ,022)1(22)1(221 2 2 2222 kxkk kkxkkkxk 由10k可知: 方程022) 1(22)1(221 2 2222 kkxkkkxk的二根同 正, 故 02)1(2 2 kxkk恒成立,于是等价于 022)1(22) 1(221 2
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