高考数学复习知识点按难度与题型归纳(数学应试笔记).pdf
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1、高考数学复习知识点按难度与题型归纳( 数学应试笔记 ) 一、填空题 答卷提醒:重视填空题的解法与得分,尽可能减少失误,这是取得好成绩的基石! A、14 题,基础送分题,做到不失一题! A1.集合性质与运算 1、性质: 任何一个集合是它本身的子集,记为 AA ; 空集是任何集合的子集,记为A; 空集是任何非空集合的真子集; 如果BA, 同时AB, 那么A = B 如果CACBBA,那么, 【注意】: Z= 整数 ()Z =全体整数 () 已知集合S中A的补集是一个有限集,则集合 A也是有限集 () 空集的补集是全集 若集合A=集合B, 则 CBA=, CAB =CS(CAB)=D(注:CAB =
2、) 2、若= 123 , n a aaaK , 则的子集有 2 n 个,真子集有21 n 个,非空真子集有22 n 个. 3、 ABC ABACABCABACIUIUIUIUIU()()() ,()()(); ABCABCABCABCUUUU()(), ()() 4、 De Morgan 公式 :() UUU CABC AC BIU;() UUU CABC AC BUI. 【提醒】:数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具. 在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况,补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的 有关问题。 A2. 复数运算 *1. 运算律: mnm n zzz;() m
3、nmn zz; 1212 ()(,) mmm zzzzm nN. 【提示】注意复数、向量、导数、三角等运算率的适用范围. *2. 模的性质: 1212 | |z zzz; 11 22 | | | zz zz ; n n zz. *3. 重要结论: 2222 121212 |2 |()zzzzzz ; 2 2 12 zzzz; 2 12ii; 1 1 i i i , 1 1 i i i ; i性质: T=4;1,1, 4342414nnnn iiiiii. 【拓展】: 32 11101或 13 i 22 . A3. 命题的否定与否命题 *1. 命题pq的否定与它的否命题的区别: 命题pq的否定是
4、pq, 否命题是pq. 命题“p或q”的否定是“p且q”, “p且q”的否定是“p或q”. *2. 常考模式: 全称命题p:,( )xMp x;全称命题p 的否定p:,( )xMp x. 特称命题p:,( )xMp x;特称命题p 的否定p:,( )xMp x. A4. 幂函数的的性质及图像变化规律: (1) 所有的幂函数在(0,)都有定义,并且图像都过点(1,1); (2)0a时, 幂函数的图像通过原点,并且在区间0,)上是增函数特别地,当1a时, 幂函数 的图像下凸;当 01a 时,幂函数的图像上凸; CB A U 1 2 yx 3 yx 1 2 yx y x 1 x y 1 O (3)0
5、a时, 幂函数的图像在区间(0,)上是减函数在第一象限内,当x从右边趋向原点时,图像 在y轴右方无限地逼近 y轴正半轴, 当x趋于时,图像在x轴上方无限地逼近x轴正半轴 【说明】:对于幂函数我们只要求掌握 1 1 1,2,3, 2 3 a 的这 5 类,它们的图像都经过一个定点(0,0) 和 (0,1) , 并且1x时图像都经过(1,1) , 把握好幂函数在第一象限内的图像就可以了. A5. 统计 1. 抽样方法: (1) 简单随机抽样 ( 抽签法、随机样数表法) 常常用于总体个数较少时,它的主要特征是从总体中逐个抽 取. (2) 分层抽样,主要特征分层按比例抽样,主要使用于总体中有明显差异.
6、 共同点:每个个体被抽到的 概率都相等( n N ). 2. 总体分布的估计就是用总体中样本的频率作为总体的概率. 总体估计掌握:一“表”( 频率分布表) ;两“图” ( 频率分布直方图和茎叶图). 频率分布直方图 用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分布直方图。频率分布直方图就是以图形面 积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小. 频率 = 样本容量 频数 . 小长方形面积=组距 组距 频率 =频率 . 所有小长方形面积的和=各组频率和 =1. 【提醒】:直方图的纵轴( 小矩形的高 )一般是频率除以组距的商( 而不是频率 ) ,横轴一般是数据的大 小,小矩形的面积表示频率. 茎叶
7、图 当数据是两位有效数字时,用中间的数字表示十位数,即第一个有效数字,两边的数字表示个 位数,即第二个有效数字,它的中间部分像植物的茎,两边像植物茎上长出来的叶子,这种表示数 据的图叫做茎叶图。 3. 用样本的算术平均数作为对总体期望值的估计; 样本平均数: 12 1 11 () n ni i xxxxx nn L 4. 用样本方差的大小估计总体数据波动性的好差( 方差大波动差). (1) 一组数据 123 , n x xxx 样本方差 2222 12 1 ()()() n Sxxxxxx n 222 111 111 ()()() nnn iii iii xxxx nnn ; 样本标准差 22
8、22 12 1 ()()() n Sxxxxxx n = 2 1 1 () n i i xx n (2) 两组数据 123 , n x xxx与 123 , n yyyy, 其中 i yaxb,1,2,3,in.则yaxb, 它们 的方差为 222 yx Sa S, 标准差为|yxa 若 12 , n x xxL的平均数为x, 方差为 2 s, 则 12 , n axb axbaxbL的平均数为axb, 方 差为 22 a s. 样本数据做如此变换: ii xaxb, 则 xaxb, 222 ()Sa S. B、(5 9, 中档题,易丢分,防漏 / 多解 ) B1.线性规划 1、二元一次不等式
9、表示的平面区域: (1)当0A时,若0AxByC表示直线 l 的右边,若0AxByC则表示直线l 的左边 . 数学应试笔记第2页 (2)当0B时,若0AxByC表示直线 l 的上方,若0AxByC则表示直线l 的下方 . 2、设曲线 111222 :()()0CA xB yCA xB yC( 1212 0A A B B) , 则 111222 ()()0AxB yCA xB yC或0所表示的平面区域: 两直线 111 0AxB yC和 222 0A xB yC所成的对顶角区域(上下或左右两部分). 3、点 000 (,)P xy与曲线(),fx y的位置关系: 若曲线( ,)f x y为封闭曲
10、线(圆、椭圆、曲线|xaybm等) , 则 00 (),0fxy, 称点 在曲线外部; 若( ,)f x y为开放曲线(抛物线、双曲线等), 则 00 (),0fxy, 称点亦在曲线“外部”. 4、已知直线:0lAxByC, 目标函数zAxBy. 当0B时, 将直线 l 向上平移,则z的值越来越大;直线l 向下平移,则z的值越来越小; 当0B时, 将直线 l 向上平移,则z的值越来越小;直线l 向下平移,则z的值越来越大; 5、明确线性规划中的几个目标函数(方程)的几何意义: (1)zaxby, 若0b, 直线在 y 轴上的截距越大, z 越大,若0b, 直线在 y 轴上的截 距越大, z 越
11、小 . (2) ym xn 表示过两点,x yn m 的直线的斜率,特别 y x 表示过原点和,n m 的直线的斜率. (3) 22 txmyn表示圆心固定,半径变化的动圆,也可以认为是二元方程的覆盖问题. (4) 22 yxmyn表示,x y 到点0,0的距离 . (5)(cos ,sin)F; (6) 00 22 AxByC d AB ; (7) 22 aabb; 【点拨】:通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆x 2+y2=1上的点 )sin,(cos及余弦 定理进行转化达到解题目的。 B 2. 三角变换: 三角函数式的恒等变形或用三角式来代换代数式称为三角变换 三角恒等变形是以同
12、角三角公式,诱导公式,和、差、倍、半角公式,和差化积和积化和差公式, 万能公式为基础 三角代换是以三角函数的值域为根据,进行恰如其分的代换,使代数式转化为三角式,然后再使 用上述诸公式进行恒等变形,使问题得以解决 三角变换是指角 ( “配”与“凑” ) 、函数名( 切割化弦 ) 、次数 ( 降与升 ) 、系数 ( 常值“ 1”) 和运 算结构 ( 和与积 ) 的变换,其核心是 “角的变换 ”. 角的变换主要有:已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和 差角的变换 . 变换化简技巧:角的拆变,公式变用,切割化弦,倍角降次,“1”的变幻,设元转化,引入 辅角,平方消
13、元等 . 具体地: (1)角的“配”与“凑”:掌握角的“和”、“差”、“倍”和“半”公式后,还应注意一些配凑变形 技巧,如下: 2,2 2 ; 2 2 , 222 ; ()() 2222 ; 22()2()()()()(); 2(),2(); 154530 ,754530; 424 等. (2)“降幂”与“升幂”(次的变化) 利用二倍角公式 2222 cos2cossin2cos12sin1和二倍角公式的等价变形 2 cos2 sin 1 2 , 2 sin 2 cos 1 2 , 可以进行“升”与“降”的变换,即“二次”与“一 次”的互化 . (3)切割化弦(名的变化) 利用同角三角函数的基
14、本关系,将不同名的三角函数化成同名的三角函数,以便于解题 . 经常 用的手段是“切化弦”和“弦化切”. (4)常值变换 常值 3321 ,1, 3 2232 可作特殊角的三角函数值来代换. 此外,对常值“1”可作如下代 换: 2222 1sincossectantancot2sin 30tansincos0 42 xxxxxxL等. (5)引入辅助角 一般的, 22 2222 sincos(sincos)sin() ab abab abab , 期中 2222 cos,sin,tan abb a abab . 特别的,sincos2 sin() 4 AAA ; sin3cos2sin() 3
15、xxx , 3sincos2sin() 6 xxx 等. (6)特殊结构的构造 构造对偶式,可以回避复杂三角代换,化繁为简 . 举例: 22 sin 20cos 50sin 20 cos50A, 22 cos 20sin 50cos20 sin50B 可以通过 1 2sin70 ,sin70 2 ABAB两式和,作进一步化简. (7)整体代换 举例:sin cosxxm 2 2sincos1xxm sin()m,sin()n, 可求出sincos,cossin整体值,作为代换之 用. B 3. 三角形中的三角变换 三角形中的三角变换,除了应用公式和变换方法外,还要注意三角形自身的特点 (1)
16、角的变换 因为在ABC中,ABC(三内角和定理) , 所以 任意两角和:与第三个角总互补,任意两半角和与第三个角的半角总互余. 锐角三角形:三内角都是锐角;三内角的余弦值为正值; 任两角和都是钝角;任意两边的平方和大于第三边的平方. 即,sinsin()ABC;coscos()ABC;tantan()ABC 22 sincos ABC ; 22 cossin ABC ; 22 tancot ABC . (2) 三角形边、角关系定理及面积公式,正弦定理,余弦定理 面积公式: 11 sin()()() 22 a SshabCrpp papapa. 数学应试笔记第4页 其中r为三角形内切圆半径, p
17、为周长之半tantantantantantan1 222222 ABBCCA (3) 对任意ABC, ; 在非直角ABC中,tantantantantantanABCABC (4) 在ABC中,熟记并会证明: *1.,ABC成等差数列的充分必要条件是60B *2.ABC是正三角形的充分必要条件是,ABC成等差数列且, , ,a b c成等比数列 *3. 三边, ,a b c成等差数列2bac2sinsinsinABC 1 tantan 223 AC ; 3 B. *4. 三边, , ,a b c成等比数列 2 bac 2 sinsinsinABC, 3 B. (5) 锐角ABC中, 2 ABs
18、incos ,sincos,sincosABBCCA, 222 abc; sinsinsincoscoscosABCABC. 【思考】:钝角ABC中的类比结论 (6) 两内角与其正弦值: 在ABC中,sinsinabABABcos2cos2BA, (7) 若CBA, 则 222 2cos2cos2cosxyzyzAxzBxyC. B 4. 三角恒等与不等式 组一 33 sin33sin4sin,cos34cos3cos 2222 sinsinsinsincoscos 3 2 3tantan tan3tantan() tan() 13tan33 组二 tantantantantantanABCA
19、BC sinsinsin4coscoscos 222 ABC ABC coscoscos14sinsinsin 222 ABC ABC 222 sinsinsin22coscoscosABCABC 组三常见三角不等式 (1) 若(0,) 2 x, 则sintanxxx; (2) 若 (0,) 2 x, 则1sincos2xx; (3) |sin|cos|1xx; (4) x x xf sin )(在), 0(上是减函数; B5.概率的计算公式: 古典概型:() A P A 包含的基本事件的个数 基本事件的总数 ; 等可能事件的概率计算公式: ( ) ( ) ( ) mcard A p A nc
20、ard I ; 互斥事件的概率计算公式:P(A+B) P(A)+P(B) ; 对立事件的概率计算公式是:P(A)=1 P(A) ; 独立事件同时发生的概率计算公式是:P(A?B) P(A)?P(B) ; 独立事件重复试验的概率计算公式是: ( )(1) kknk nn P kC PP( 是二项展开式 (1 P)+P n 的第 (k+1)项). 几何概型:若记事件A=任取一个样本点,它落在区域 g , 则 A的概率定义为 ( ) gA P A 的测度构成事件的区域长度(面积或体积等) 的测度试验的全部结果构成的区域长度(面积或体积等) 注意: 探求一个事件发生的概率,常应用等价转化思想和分解(
21、分类或分步 ) 转化思想处理:把所求的事 件转化为等可能事件的概率( 常常采用排列组合的知识) ;转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率;利用对 立事件的概率,转化为相互独立事件同时发生的概率;看作某一事件在n次实验中恰有k次发生的概率,但 要注意公式的使用条件. 事件互斥是事件独立的必要非充分条件,反之, 事件对立是事件互斥的充分非必要 条件 . 【说明】:条件概率 :称 )( )( )|( AP ABP ABP为在事件A发生的条件下,事件B发生的概率。 注意:0(|)1P B A; P(B C|A)=P(B|A)+P(C|A)。 B6. 排列、组合 (1)解决有限制条件的( 有序排列,无序
22、组合 ) 问题方法是: 直接法: 位置分析法 元素分析法 用加法原理(分类) 插入法(不相邻问题)用乘法原理(分步) 捆绑法(相邻问题) 间接法:即排除不符合要求的情形 一般先从特殊元素和特殊位置入手. (2)解排列组合问题的方法有: 特殊元素、特殊位置优先法 元素优先法:先考虑有限制条件的元素的要求,再考虑其他元素; 位置优先法:先考虑有限制条件的位置的要求,再考虑其他位置) 。 间接法(对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况去掉)) 。 相邻问题捆绑法(把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素,然后再与其余“普通元素”全排 列,最后再“松绑”,将特殊元素在这些位置上全
23、排列)。 不相邻 (相间 ) 问题插空法(某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法,即先安排 好没有限制元条件的元素,然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间)。 多排问题单排法。 多元问题分类法。 有序问题组合法。 选取问题先选后排法。 至多至少问题间接法。 相同元素分组可采用隔板法。 ? 涂色问题先分步考虑至某一步时再分类. (3)分组问题:要注意区分是平均分组还是非平均分组,平均分成n组问题别忘除以!n. B7.最值定理 ,0,2x yxyxy由 , 若积()xyP定值, 则当x y时和xy有最小值2p; ,0,2x yxyxy由, 若和()xyS定值, 则当xy是
24、积xy有最大值 21 4 s. 【推广】:已知Ryx,, 则有xyyxyx2)()( 22 . (1)若积xy是定值,则当|yx最大时,|yx最大;当|yx最小时,|yx最小 . (2)若和|yx是定值,则当|yx最大时,| xy最小;当|yx最小时,| xy最大 . 已知, , ,Ra x b y , 若1axby, 则有: 21111 ()()2 () byax axbyabababab xyxyxy 数学应试笔记第6页 , , ,Ra x b y , 若1 ab xy 则有: 2 ()2() aybx xyxyababab xy B8. 求函数值域的常用方法: 配方法:转化为二次函数问题
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