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1、高考数学复习详细资料 (精品)向量 知识清单 一、向量的有关概念 1.向量 :既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有 向线段的长度 ). 2.向量的表示方法: 字母表示法 :如, , ,a b c r r r L等 . 几何表示法 : 用一条有向线段表示向量. 如AB uuu r ,CD uuu r 等. 坐标表示法: 在平面直角坐标系中, 设向量OA uuu r 的起点O 为在坐标原点, 终点A 坐标为 , x y,则, x y称为OA uu u r 的坐标 , 记为OA uu u r =, x y. 注: 向量既有代数特征, 又有几何特征, 它是数形兼备
2、的好工具. 3. 相等向量 :长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量a r 与b r 相等 ,记为ab rr . 注:向量不能比较大小,因为方向没有大小. 4. 零向量 :长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个,其方向是任意的. 5. 单位向量 :长度等于1 个单位的向量 .单位向量有无数个,每一个方向都有一个单位向量. 6. 共线向量 : 方向相同或相反的非零向量,叫共线向量 . 任一组共线向量都可以移到同一直线 上.规定 :0 r 与任一向量共线. 注:共线向量又称为平行向量. 7. 相反向量 : 长度相等且方向相反的向量. 二、向量的运算 (一)运算定义
3、向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积,这些运算的定义都是 “ 自然的 ” , 它们都有明显的物理学的意义及几何意义. 其中向量的加减法运算结果仍是向量,两个向量数量积运算结果是数量。研究这 些运算 ,发现它们有很好地运算性质,这些运算性质为我们用向量研究问题奠定了基础,向量 确实是一个好工具.特别是向量可以用坐标表示,且可以用坐标来运算,向量运算问题可以完 全坐标化 . 刻划每一种运算都可以有三种表现形式:图形、符号、坐标语言。主要内容列表如 下: 运算图形语言符号语言坐标语言 加 法 与 减法 OA+OB=OC OBOA=AB 记OA=(x1,y1),OB=(x1,y2) 则OA
4、 OB uu u ruuur =(x1+x2,y1+y2) OB OA uuuruu u r =(x2-x1,y2-y1) OA+AB=OB 实 数 与 向 量 的 乘积 AB=a R 记a=(x,y) 则a=(x,y) 两 个 向 量 的 数 量积 cos ,a ba ba b r rrrr r 记 1122 ( ,),(,)ax ybx y rr 则ab=x1x2+y1y2 (二)运算律 加法:abba rrrr (交换律 ); ()()abcabc rrrrrr (结合律 ) 实数与向量的乘积:()abab rrrr ; ()aaa rrr ;()()aa rr 两个向量的数量积: ab
5、 =ba; (a) b=a (b )= (ab); (a+b)c=ac+bc 注:根据向量运算律可知,两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则,正 确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算, 例如 (ab)2= 2 2 2aa bb (三)运算性质及重要结论 平面向量基本定理: 如果 12 ,e e u r u u r 是同一平面内两个不共线的向量, 那么对于这个平面内任一 向量a r , 有且只有一对实数 12 , 使 1122 aee ru ru u r , 称 1122 ee u ru u r 为 12 ,e e u r u u r 的线性组合。 其中 12 ,e e u r u
6、 u r 叫做表示这一平面内所有向量的基底; 平面内任一向量都可以沿两个不共线向量 12 ,e e u r u u r 的方向分解为两个向量的和, 并且这种分 解是唯一的 . 这说明如果 1122 aee ru ru u r 且 1122 aee ru ru u r , 那么 1122 . 当基底 12 ,e e u r u u r 是两个互相垂直的单位向量时, 就建立了平面直角坐标系, 因此平面向量基本 定理实际上是平面向量坐标表示的基础. 向量坐标与点坐标的关系:当向量起点在原点时,定义向量坐标为终点坐标, 即若 A( x, y), 则OA =(x,y) ;当向量起点不在原点时, 向量AB
7、坐标为终点坐标减去起 点坐标,即若 A(x1,y1) , B(x2,y2) , 则AB=(x2-x1,y2-y1) 两个向量平行的充要条件 符号语言:)0(/ bbaba 坐标语言为:设非零向量 1122 ,abx yx y rr ,则ab(x1,y1)=(x2,y2), 即 12 12 xx yy ,或 x1y2-x2y1=0, 在这里 ,实数是唯一存在的,当a与b同向时 ,0;当a与b 异向时 ,0。| |= |b| |a| ,的大小由a及b的大小确定。 因此 ,当a,b确定时,的 符号与大小就确定了.这就是实数乘向量中的几何意义。 两个向量垂直的充要条件 符号语言: ba0ba 坐标语言
8、:设非零向量 1122 ,abx yxy rr , 则 ba0 2121 yyxx 两个向量数量积的重要性质: 2 2 | aa即 2 |aa(求线段的长度 ); ba0ba(垂直的判断 ); cos a b ab rr rr(求角度 )。 以上结论可以(从向量角度 )有效地分析有关垂直、长度、角度等问题 ,由此可以看到向量 知识的重要价值. 注:两向量 a,b的数量积运算结果是一个数cosab rr (其中,a b r r ),这个数的大小与 两个向量的长度及其夹角的余弦有关. cos b r 叫做向量 b r 在a r 方向上的投影(如图). 数量积的几何意义是数量积a b r r g等于
9、a r 的模与 b r 在a r 方向上的投影的积. 如果 111 (,)P xy, 222 (,)Pxy, 则 12 PP uuu u r = 2121 (,)xxyy, 22 122121 ()()PPxxyy uuu u r , 这就是平面内两点间的距离公式. 课前预习 1平面内三点(0,3),(3,3),( , 1)ABC x,若ABBC, 则 x 的值为 () (A)- 5 (B)-1 (C)1 (D)5 2. 在ABCD Y 中,BCCDBA uuu ru uu ru uu r () ()BCA uuu r ()DAB uuu r ()ABC uuu r ()ACD uuu r 3
10、. 设 a , b ,c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则: (a b )c ( c a ) b =0 |a |- |b |a b | (b c )a( c a ) b 不与 c 垂直 (3 a +2b )(3a 2b )=9|a | 2- 4b |2 中, 真命题是 ( )(A)(B)(C)(D) 4. OAB 中,OA= a ,OB=b ,OP=p,若p=() | ab t ab , tR, 则点 P 在( ) (A)AOB 平分线所在直线上(B)线段 AB 中垂线上 (C)AB 边所在直线上(D)AB 边的中线上 5. 正方形 P RSQ对角线交点为 M, 坐标原点 O 不在正方形
11、内部,且OP=(0, 3) ,OS=(4, 0) , 则RM=( ) (A)( 2 1 , 2 7 )(B)( 2 1 , 2 7 )(C)(7, 4)(D)( 2 7 , 2 7 ) 6.已知,3 ,2,4 ,axbab rrrr ,则实数 x=_. 7.已知2, 8 ,6, 4 ,abab rrrr 则a r _, b r _,a r 与b r 的夹角的余 弦值是 _. 8在 OAB 中,(2cos,2sin)OA uuu r , (5cos,5sin)OB uuu r ,若5OA OB uuu r uuu r ,则 OAB S= .; 9. 已知ABCV的三个顶点分别为3,3 ,6,0
12、,5,3 ,ABC求ACB的大小 . 10. 已知 ABC 中, A(2, - 1) , B(3, 2) , C(- 3, - 1) , BC 边上的 高为 AD, 求点 D 和向量AD坐标。 11.在OAB 的边 OA、OB 上分别取点 M、N, 使|OM|OA|=13, |ON| |OB|=14, 设线段 AN 与 BM 交于点 P, 记OA= a ,OB= b, 用a , b 表示向量 OP . 典型例题 一、平面向量的实际背景与基本概念 EG1.如图 1, 设 O 是正六边形的中心,分别写出图中与OA uu u r 、OB uuu r 、OC uuu r 相等 的向量。 变式 1:如图
13、 1, 设 O 是正六边形的中心,分别写出 图中与OD u uu r 、DC uu u r 共线的向量。 解: 变式 2:如图 2, 设 O 是正六边形的中心,分别写出图中与DA u uu r 的模相等的向量以及方向相同的向量。 解: 二、平面向量的线性运算 EG2.如图, 在平行四边形 ABCD 中,AB uu u r a ,AD u uu r b , 你能用 a, b 表示向量AC uuu r ,DB uuu r 吗? 变式 1:如图, 在五边形 ABCDE 中,AB uuu r a ,BC uuu r b , CD u uu r c ,EA u uu r d , 试用 a , b ,c
14、,d 表示向量CE u uu r 和DE uuu r . 变式 2:如图, 在平行四边形 ABCD 中, 若,OA uu u r a ,OB uuu r b 则下列各表述是正确的为() AOAOBAB uu u ruu u ruu u r BOCODAB uuu ruu u ruu u r CCD uuu r a + b DBC uuu r (a + b) 变式 3:已知OA=a,OB=b, OC=c,OD=d, 且四边形 ABCD 为平行四边形,则 () A. a+b+c+d=0B. ab+cd=0 C. a+bcd=0 D. abc+d=0 变式 4:在四边形 ABCD 中, 若 1 2
15、ABCD uu u ruuu r , 则此四边形是 () A平行四边形B菱形C梯形D矩形 变式 5: 已知 a、b 是非零向量,则|a|=|b|是(a+b)与(ab)垂直的() A充分但不必要条件B必要但不充分条件 D C A B D E C A D C O A B B A C O F D E 图 1 B A C O F D E 图 2 C充要条件D既不充分也不必要条件 变式 6:已知菱形 ABCD, 点 P 在对角线 AC 上(不包括端点 A、C) , 则AP等 () A.(AB+AD),(0,1) B.(AB+BC),(0, 2 2 ) C.(ABAD),(0,1) D.(BCAB),(0
16、, 2 2 ) 变式 7:在四边形 ABCD 中,AB=a+2b,BC=4ab,CD=5a3b, 其 中 a、b 不共线, 则四边形 ABCD 为() A.平行四边形B.矩形C.梯形D.菱形 变式 8:已知 D、E、F分别是 ABC的边 BC 、CA 、AB的中点, 且BC=a r ,CA=b r , AB=c r , 则下列各式:EF= 2 1 c r 2 1 b r BE=a r + 2 1 b r CF= 2 1 a r + 2 1 b r AD+BE+CF=0 r 其中正确的等式的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 EG3如图, 已知任意两个非零向量a 、b , 试作OA uu
17、u r a + b,OB uuu r a + 2b, OC u uu r a + 3b, 你能判断 A、B、C 三点之间的位置关系吗?为什么? 变式 1:已知OA uu u r a + 2b,OB uuu r 2a + 4b,OC uuu r 3a + 6b (其中 a 、b 是两个任意非零向量 ) , 证明: A、B、C 三点共线 证明:ABOBOA uuu ruuu ruu u r a + 2b,ACOCOA uu u ru uu ruuu r 2a + 4b, 2ACAB uuu ruu u r 所以, A、B、C 三点共线 变式 2:已知点 A、B、C 在同一直线上,并且OA uu u
18、 r a + b,(2)OBm u uu r a + 2b, (1)OCn u uu r a + 3b (其中 a 、b 是两个任意非零向量 ) , 试求 m、n 之间的关 系 EG4.已知四边形 ABCD, 点 E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点, 求 证:EF HG uuu ruuu r 变式 1:已知任意四边形ABCD 的边 AD 和 BC 的中点分别为 E、F, 求证:2ABDCEF uuu ruuu ruu u r . 三、平面向量的基本定理及坐标表示 EG4.已知 a = (4, 2), b = (6, y), 且 a / b , 求 y 变式 1:与向量 a
19、= (12, 5) 平行的单位向量为() b a D C E F A B O A P Q B a b A 125 1313 ,-B 125 1313 ,- C 125 13 13 ,或 125 1313 ,-D 125 13 13 ,或 125 1313 ,- 变式 2:已知 a(1,2), b,1x, 当 a+2b 与 2ab 共线时,x值为 () A1 B2 C 1 3 D 1 2 变式 3: 已知 A(0,3) 、 B(2,0) 、 C(1,3) 与ACAB2方向相反的单位向量是 ( ) A(0,1) B(0,1) C (1,1) D(1,1) 变式 4:已知 a = (1, 0), b
20、 = (2, 1) 试问:当 k 为何实数时,kab 与 a+3b 平行, 平行时它们是同向还是反向? EG5.设点 P 是线段 12 PP上的一点, 1 P、 2 P的坐标分别为 11 yx, 22 yx, (1) 当点 P 是线段 12 PP上的中点时,求点 P 的坐标; (2) 当点 P 是线段 12 PP的一个三等分点时,求 P 的坐标 变式 1: 已知两点3,2M,5, 5N, 1 2 MPMN u uu ru uu u r , 则 P 点坐标是() A8,1B 3 1, 2 C 3 1, 2 D 8, 1 变式 2:如图, 设点 P、Q 是线段 AB 的三等分点,若OA uu u
21、r a, OB u uu r b, 则OP u uu r ,OQ uuu r (用 a、b 表示) 四、平面向量的数量积 EG6.已知 |a| 6, |b| 4 且 a 与 b 的夹角为 60 , 求 (a + 2b)(a 3b) 变式 1:已知3,4,223,ababab rrrrrr g那么a r 与b r 夹角为 A、 60B、 90C、120D、150 变式 2:已知向量 a 和 b 的夹角为 60, | a | 3, | b | 4, 则(2a b) a 等于 (A)15 (B)12 (C)6 (D)3 变式 3:在ABC中, 已知|AB|=4 , |AC|=1 , SABC=3,
22、则ABAC等于 () A.2 B.2 C.2D.4 变式 4:设向量 21 72eet与向量 21 ete的夹角为钝角,求实数 t 的取值范围 . EG7.已知|a|3,|b| 4 且 a 与 b 不共线, k 为何实数时, 向量 a + kb 与 a k b 互相垂直? 变式 1:已知 ab , |a|2, |b| 3, 且向量 3a + 2b 与 kab 互相垂直, 则 k 的值为() A 3 2 B 3 2 C 3 2 D1 变式 2: 已知|a|1, |b| 2且 (ab) a, 则 a 与 b 夹角的大小为 EG8.已知 a = (4, 2), 求与向量 a 垂直的单位向量的坐标 变
23、式 1:若 i = (1,0), j =(0,1), 则与 2i+3j 垂直的向量是( ) A3i+2j B2i+3jC3i+2jD2i3j 变式 2: 已知向量) 1,1(a,)3,2(b,若bak2与a垂直, 则实数 k = () A1 B1 C0 D2 变 式3 : 若 非 零 向 量ba,互 相 垂 直 ,则 下 列 各 式 中 一 定 成 立 的 是 () AbabaB|baba C0)(babaD0)( 2 ba 变式 4:已知向量 a (3, 4) , b (2, x) ,c(2, y) 且 ab, ac求 |bc|的值 EG9.已知 A (1, 2), B (2, 3), C
24、(2, 5), 试判断ABC的形状,并给 出证明 变式 1:O是ABC所在的平面内的一点,且满足0OBOCOCOA uu u ru uu ruuu ruu u r , 则 ABC 一定为() A正三角形B等腰直角三角形C直角三角形D斜三角形 变式 2:已知 A、B、C 三点不共线,O 是ABC 内的一点,若OAOBOC 0, 则 O 是ABC 的() A 重心B 垂心C 内心D 外心 变式 3:已知0 2 ABBCAB, 则ABC 一定是() A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等腰直角三角形 变式 4:四边形 ABCD 中,)3,2(),(),1 ,6(CDyxBCAB (1)若DABC
25、/, 试求x与 y 满足的关系式; (2)满足( 1)的同时又有 BDAC , 求yx,的值及四边形 ABCD 的面积。 五、平面向量应用举例 EG10.题目意图:用平面向量的方法证明平面几何命题:平行四边形两条对角线 的平方和等于其两条邻边的平方和的两倍 变式 1:如图,矩形 ABCD 内接于半径为 r 的圆 O, 点 P 是圆周上任意一点, 求证: PA 2+PB2+PC2+PD2=8r2. 变式 2:已知 ABC 中,cABbCAaBC,, 若accbba, 求证: ABC 为正三角形 . 变式 3: 已知平行四边形 ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 交于 E, O 是任意一点,
26、求证OEODOCOBOA4. 变式 4:四边形 ABCD 的边 AD 和 BC 的中点分别为 E、F, 求证:)( 2 1 DCABEF 实战训练 1.(08全国一 3)在ABC中,AB uu u r c,AC u uu r b若点 D 满足2BDDC uuu ruu ur , 则 AD u uu r A 21 33 bcB 52 33 cbC 21 33 bcD 12 33 bc 2. (08 安徽卷 3) 在平行四边形 ABCD 中, AC为一条对角线,若(2,4)AB uuu r , (1,3)AC u uu r , 则BD uuu r () A (2, 4) B (3, 5)C (3,
27、 5 )D (2, 4 ) 3. (08 湖北卷 1)设)2, 1(a,)4, 3(b,)2 ,3(c则cba)2(C A.( 15,12)B. 0 C.3 D.11 4. (08 湖南卷 7)设 D、E、F 分别是 ABC的三边 BC 、CA 、AB 上的点,且 2,DCBD u uu ruu u r 2,CEEA uuu ru uu r 2,AFFB u uu ru uu r 则ADBECF uu u ru uu ruu u r 与BC uuu r ( ) A.反向平行B.同向平行 C.互相垂直D.既不平行也不垂直 5. (08 陕西卷 15)关于平面向量, ,abc 有下列三个命题: 若
28、gga b = a c , 则 bc若(1)( 2 6)k,ab,ab, 则3k 非零向量a和 b满足| | |abab, 则a与ab的夹角为60 o 其中真命题的序号为 (写出所有真命题的序号) 6.(08广东卷 8)在平行四边形 ABCD 中, AC 与 BD 交于点 OE,是线段 OD 的 中点, AE的延长线与CD交于点F若 AC uuu r a,BD uuu r b, 则AF u uu r () A 11 42 abB 21 33 abC 11 24 abD 12 33 ab 7. (08 浙江卷 9)已知a, b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c满 足0)()(cbca,
29、则 c 的最大值是 (A)1 (B)2 (C )2(D) 2 2 8.(08辽宁卷 5)已知 O , A, B是平面上的三个点,直线 AB上有一点 C, 满 足20ACCB u uu ruu u r , 则OC uuu r () A2OAOB uuu ruuu r B2OAOB u uu ruuu r C 21 33 OAOB uu u ruu u r D 12 33 OAOB uuu ruu u r 9. (08 海南卷 8)平面向量a r ,b r 共线的充要条件是() A. a r ,b r 方向相同B. a r ,b r 两向量中至少有一个为零向量 C. R,ba rr D. 存在不全
30、为零的实数 1,2,12 0ab rrr 10. (08 上海卷5)若向量a r ,b r 满足12ab rr ,且a r 与b r 的夹角为 3 , 则 ab rr 11.(08 全国二 13)设向量(12)(2 3),ab, 若向量ab 与向量( 47),c 共线, 则 12. (08 北京卷 10) 已知向量a与 b 的夹角为120 o,且 4ab,那么(2)gbab 的值为 13.(08 天津卷 14)已知平面向量(2,4)a r ,( 1,2)b r 若()caa b b r r rrr , 则 |c r _ 14.(08 江苏卷 5)a r ,b r 的夹角为 120 ,1a r
31、,3b r 则5ab rr 15.(08江西卷 13)直角坐标平面上三点(1,2)(3,2)(9,7)ABC、, 若 EF、为 线段 BC 的三等分点,则AE AF uuu r uuu r = 16 (08 海南卷 13)已知向量(0, 1,1)a r ,(4,1,0)b r ,|29ab rr 且 0, 则= _ 17(08 福建卷 17)已知向量 m=(sinA,cosA),n=( 3,1), mn1, 且 A 为锐 角. ()求角 A 的大小; ()求函数( )cos24cossin ()f xxAx xR的值域 . 18.在ABC中, 角 A、 B、 C 的对边分别为, ,a b c,
32、 已知向量 33 (cos,sin), 22 AA m u r (cos,sin), 22 AA n r 且满足3mn u rr , ()求角 A 的大小; ()若3 ,bca试判断ABC 的形状。 19.已知向量(,sin 2 ),(cos2 , ),( )bmxcx nxf xb cR rrr r , 若函数( )f x的图象经过 点(0,1)和(,1). 4 (I)求mn、的值; (II)求( )fx的最小正周期,并求( )f x在0, 4 x上的最小值; (III)当 1 (),0, 25 f时, 求sin的值 20.在ABC中,,ABC所对边分别为cba,.已知(sin,sincos
33、 ),mCBA u r ( ,2 )nbc r ,且0m n u r r g. ()求A大小. ()若,2,32ca求ABC的面积 S的大小 . 21.已知向量(1tan ,1)xa,(1sin2cos2 ,0)xxb, 记( )f xa b (1)求 f(x)的解析式并指出它的定义域; (2)若 2 () 85 f, 且 (0,) 2 , 求( )f 22. 已知向量(cos , sin )xxm,(cos,sin23cos )xxxn , x R , 设( )f x ?mn. ( )求函数( )f x的最小正周期 . ( )若 24 ( ) 13 f x, 且, 42 x, 求sin 2x的值. 23.(2007 年陕西卷理 17.)设函数 f(x)=a-b,其中向量 a=(m,cos2x),b=(1+sin2x,1),x R,且函数 y=f(x)的图象经过点2, 4 , ()求实数 m 的值; ()求函数 f(x)的最小值及此时x 的值的集合 . 24.(07年陕西卷文 17). 设函数baxf、)(. 其中向量 2) 2 (R,),1 ,sin1 (),cos,(fxxbxma且. ()求实数m的值; ()求函数)(xf的最小值 .
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