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1、1 高考数学套用 18个规范答题模板 -2020版 模板一求函数值 例 1【2019 年理数全国卷II 】已知是定义域为的奇函数,满足若 , 则 A. B. 0C. 2D. 50 【答案】 C 【解析】 模板构建已知函数解析式求函数值, 常伴随对函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性的考查,其解题 思路如下 : 【变式训练】 【2019 年江苏卷】函数满足, 且在区间上, 则的值为 _ 模板二函数的图象 例 2【2019 年理数全国卷II 】函数的图像大致为 2 A. AB. BC. CD. D 【答案】 B 【解析】 为奇函数,舍去 A,舍去 D; , 所以舍去C;因此选B. 模板构建有关函数
2、图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由函数的定义域,判断图象左右的位 置,由函数的值域,判断图象的上下位置;由函数的单调性,判断图象的变化趋势;由函数的奇偶 性,判断图象的对称性;由函数的周期性,判断图象的循环往复结合导数解答此类问题的基本要点 如下 : 【变式训练】 【2019 年全国卷文】函数的图像大致为 3 模板三函数的零点问题 例 3 【2019 届北京市十一学校3 月零模】 已知函数 1 3 1 , 2 x fxx 那么在下列区间中含有函数fx 零点的是() A. 1 0, 3 B. 1 1 , 3 2 C. 1 2 , 2 3 D. 2 ,1 3 【答案】 B 模板构建利用零点存
3、在性定理可以根据函数y=f(x)在某个区间端点处函数值的符号来确定零点所在区 间. 这种方法适用于不需要确定零点的具体值,只需确定其大致范围的问题. 基本的解题要点为: 【变式训练】【2019 年江苏卷】 若函数在内有且只有一个零点,则在 上的最大值与最小值的和为_ 模板四三角函数的性质 例 4【2019 届福建省漳州市5 月测试】已知函数(,) , 满足 , 且对任意, 都有当取最小值时,函数的单调递减区间为 () A. ,Z B. ,Z C. ,Z D. ,Z 【答案】 A 4 【解析】 那么, 函数, 当时,取得最小值, , 即函数, 令, 得, 所以,函数的单调递减区间为: ,, 故选
4、 A. 模板构建在利用三角函数的性质求最值或值域时, 要注意 :(1 ) 先确定函数的定义域;(2) 将已知函数化 简为 y=Asin( x+)+k的形式时 , 尽量化成 A0,0 的情况 ;(3) 将 x+ 视为一个整体. 解题思路为 : 【变式训练】【 2019 辽宁省 凌源市模拟】 已知函数 2 cos3sin sin 2 fxxxx, 当 0, 2 x时, 函数fx的最小值与最大值之和为_ 模板五三角函数的图象变换 5 例 5. 将函数2sin 4 fxx 的图象上各点的横坐标缩小为原来的 1 2 , 再向右平移 ( 0)个单位后 得到的图象关于直线 2 x对称,则 的最小值是 ()
5、A. 4 B. 3 C. 3 4 D. 3 8 【答案】 D 模板构建三角函数图象变换的主要类型: 在 x 轴方向上的左、右平移变换, 在 y 轴方向上的上、下平移 变换 , 在 x 轴或 y 轴方向上的伸缩变换. 其基本步骤如下: 【变式训练】【 2019 湖南省长郡中学模拟】为了得到函数 2 sin 2 3 yx 的图象,只需把函数 cos 2 3 yx 的图象() A. 向左平移 2 个单位长度 B. 向右平移 2 个单位长度 C. 向左平移 4 个单位长度 D. 向右平移 4 个单位长度 模板六解三角形 6 例 6【 2019 年理数全国卷II 】在中, 则 A. B. C. D. 【
6、答案】 A 模板构建利用正弦定理、余弦定理都可以进行三角形的边、角之间的互化, 当已知三角形的两边及一边 的对角 , 或已知两角及一角的对边时, 可以利用正弦定理求解三角形中的有关量; 如果已知三边或两边及其 夹角 , 则可利用余弦定理进行求解. 其基本思路如下: 【变式训练】 【2019 河南省南阳市第一中学模拟】在ABC中,内角,A B C所对的边分别为 , , ,sincoscos3 cosa b cB aBbAcB. (1)求B; (2)若2 3,bABC的面积为2 3, 求ABC的周长 . 模板七利用函数性质解不等式 例 7 已知定义在R上的偶函数fx在0,上递减且10f, 则不等式
7、 41 4 loglog0fxfx 的解集为 _ 【答案】 1 ,4 4 7 模板构建函数性质法主要适用于解决抽象函数对应的不等式问题. 其解题要点如下: 【变式训练】 【2019 届广东省模拟(二) 】已知函数, 当时,关于的不等式 的解集为 _ 模板八利用基本不等式求最值 例 8 【2019 广西钦州质量检测】已知( ,为正实数), 则的最小值为 _ 【答案】 【解析】 a, b R+, a+4b=1 =, 当且仅当,即 a=2b 时上述等号成立, 故答案为: 9 模板构建拼凑法就是将函数解析式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的 形式 , 然后利用基本不等式求最值
8、. 应用此法求最值的基本思路如下: 【变式训练】已知, x y R, 且满足22xyxy, 那么34xy的最小值为 _. 8 模板九不等式恒成立问题 例 9 【2019年天津卷文】 已知 aR, 函数若对任意 x 3, +) ,f(x) 恒成立,则 a 的取值范围是 _ 【答案】 , 2 【解析】 模板构建分离参数法是求解不等式恒成立问题的常用方法, 其解题要点如下: 【变式训练】 【2019 河南省中原名校联考】已知函数1 ln,0 m fxxmxm x , 当1,xe时, 0fx恒成立,则实数m的取值范围为() A. 1 0, 2 B. 1,C. 0,1D. 1 , 2 模板十简单的线性规
9、划问题 例 10【2019 年理北京卷】若? ,y满足, 则 2y- ? 的最小值是 _. 【答案】 3 【解析】 不等式可转化为, 即,满足条件的在平面直角坐标系中的可行域如下图 9 令, 由图象可知,当过点时,取最小值,此时, 的最小值为. 模板构建线性规划问题是指在线性约束条件下求解线性目标函数的最值问题, 解决此类问题最基本的 方法是数形结合法.其基本的解题步骤如下: 【变式训练】 【河南省2019 年高考一模】设不等式组表示的平面区域为D, 若圆 C: 不经过区域D上的点,则 r 的取值范围为 A B C D 模板十一数列的通项与求和 例 11 【 2019年专家猜题卷】 数列的前项
10、和为,已知,. ()证明:数列是等比数列; ()求数列的前项和. 【答案】 (1) 见解析 ;(2). 【解析】 (1)证明:, , , 又, 1 0 , 数列是以 1 为首项, 2 为公比的等比数列. (2)由( 1)知, , , . - 得 , . 模板构建数列的通项与求和问题的解题步骤如下: 【变式训练】 【2019 年理数天津卷】设是等比数列,公比大于 0, 其前 n 项和为,是 等差数列 .已知,. (I)求和的通项公式; (II)设数列的前 n 项和为, (i)求; (ii )证明. 1 1 模板十二空间中的平行与垂直 例 12【2019 年江苏卷】在平行六面体中, 求证:(1);
11、 (2) 【答案】见解析 【解析】 证明: (1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中, ABA1B1因 为 AB平面 A1B1C, A1B1 平面 A1B1C, 所以 AB平面 A1B1C 模板构建证明空间中的平行与垂直的步骤如下 : 【变式训练】【2019 南京市、盐城市一模】 如图所示,在直三棱柱 111 ABCA B C中,CACB, 点,M N 分别是 11 ,AB A B的中点 . (1)求证:BN平面 1 A MC; (2)若 11 A MAB, 求证: 11 ABAC. 1 2 模板十三求空间角 例 13【2019 吉林省实验中学模拟】如图, AB为圆O的直径, 点E, F
12、在圆O上,/ /ABEF, 矩形ABCD和圆O所在的平面互相垂直,已知2AB,1EF ()求证:平面DAF平面CBF; ()当AD的长为何值时,二面角DFEB的大小为60 () 设EF中点为G, 以O为坐标原点,OAOGAD、方向分别为x轴、y轴、 z轴方向建立空间直角坐标系(如图)设(0)ADt t, 则点D的坐标为 1,0, t,则1,0,Ct,又 13 1,0,0 ,1,0,0 ,0 22 ABF , , 1 3 因此,当AD的长为 6 4 时,平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为60. 模板构建空间角的求解可以用向量法. 向量法是通过建立空间直角坐标系把空间图形的几何特征代数
13、化, 避免寻找角和垂线段等诸多麻烦, 使空间点、线、面的位置关系的判定和计算程序化、简单化, 具体步骤 如下 : 【变式训练】 在四棱柱 1111 ABCDA B C D中, 底面ABCD是正方形, 且 1 2BCBB, 11 60A ABA AD (1)求证: 1 BDCC; (2)若动点E在棱 11 C D上,试确定点E的位置,使得直线DE与平 面 1 BDB所成角的正弦值为 7 14 模板十四直线与圆的位置关系 例 14【 2019 四川省绵阳市南山中学模拟】若圆 22 44100xyxy上至少有三个不同的点到直 线:0laxby的距离为2 2, 则直线l的斜率的取值范围是() A. 2
14、3,23B. 23,32 C. 23,23D. 23,23 【答案】 B 【解析】 圆 22 44100xyxy可化为 22 2218xy则圆心为 (-2 , 2) , 半径为 32, 1 4 1+ 2 40 bb aa 由直线 l 的斜率 k=- a b 则上式可化为k 2+4k+1 0解得 2323k 故选 B 模板构建几何法是通过比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小来确定直线和圆的位置关系的方法, 其基本步骤如下: 【变式训练】 【2019 北京市丰台区模拟】已知直线210xy和圆 2 2 11xy交于,A B两点,则 AB_ 模板十五圆锥曲线中的最值与范围问题 例 15【 2019 辽
15、宁省凌源模拟】知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的离心率为 3 2 , 且过点 3 3, 2 . 过椭圆C右焦点且不与x轴重合的直线l与椭圆C交于 1122 ,P x yQ xy两点,且 12 0yy. (1)求椭圆C的方程; (2)若点 1 Q与点Q关于x轴 对称,且直线 1 Q P与x轴交于点R, 求RPQ面积的最大值 . 【解析】(I ) 依题意, 22 222 3 , 2 93 1, 4 , c a ab abc 解得2 3,3,3abc, 故椭圆C的方程为 22 1 123 xy ; (2)依题意,椭圆右焦点F坐标为3,0, 设直线:30lxmym, 1 5 直线l与椭
16、圆C方程联立 22 3, 1, 123 xmy xy 化简并整理得 22 4630mymy, 121222 63 , 44 m yyy y mm , 由题设知直线 1 Q P的方程为 12 11 12 yy yyxx xx , 令0y得 1121221 1221 1 121212 33yxxmyymyy x yx y xx yyyyyy 2 2 6 4 34 6 4 m m m m , 点 (当且仅当 2 2 9 1 1 m m 即2m时等号成立 ) RPQ的面积存在最大值,最大值为1. 模板构建与圆锥曲线有关的最值问题的变化因素多, 解题时需要在变化的过程中掌握运动规律,抓住主 变元 , 目
17、标函数法是避免此类问题出错的法宝, 应注意目标函数式中自变量的限制条件( 如直线与椭圆相 交, 0 等). 解题步骤如下: 【变式训练】 【2019 合肥市质检】已知点F 为椭圆E: 22 22 1 xy ab (ab0)的左焦点,且两焦点与短轴 的一个顶点构成一个等边三角形,直线1 42 xy 与椭圆 E 有且仅有一个交点M. 1 6 (1)求椭圆 E 的方程; (2)设直线1 42 xy 与 y轴交于 P, 过点 P的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点A, B, 若 |PM|2|PA| |PB|, 求实数 的取值范围 模板十六圆锥曲线中的探索性问题 例 16【2019 届河南省师范大学附
18、属中学高三8 月开学】已知椭圆的右焦点为, 为椭圆的上顶点,为坐标原点,且是等腰直角三角形. (1)求椭圆的方程; (2)是否存在直线交椭圆于两点,且使为的垂心(垂心:三角形三条高的交点)?若存在, 求出直线的方程;若不存在,请说明理由 . 【答案】(1)(2) 【解析】 (1)由 OMF 是等腰直角三角形得b=1, a = 故椭圆方程为 (2)假设存在直线l 交椭圆于P,Q两点,且使 F 为PQM 的垂心 设 P(,),Q(,) 因为 M(0,1) , F( 1,0) , 故, 故直线 l 的斜率 于是设直线l 的方程为 由得 由题意知 0, 即3, 且 由题意应有, 又 故 解得或 经检验
19、,当时, PQM 不存在,故舍去; 当时,所求直线满足题意 综上,存在直线l, 且直线 l 的方程为 1 7 模板构建圆锥曲线中的探索性问题在高考中多以解答题的形式呈现, 常用假设存在法求解, 其解题要点 如下 : 【变式训练】【2019 届广西柳州市高三上学期摸底】已知过抛物线 2 :20C ypx p的焦点F, 斜率为 2的直线交抛物线于 112212 ,A x yB xyxx两点,且6AB. (1)求该抛物线C的方程; (2) 已知抛物线上一点,4M t, 过点M作抛物线的两条弦MD和ME, 且MDME, 判断直线DE 是否过定点?并说明理由. 模板十七离散型随机变量 例 17 【201
20、9 辽宁省凌源市模拟】共享单车因绿色、环保、健康的出行方式,在国内得到迅速推广.最近, 某 机 构在某地区随机采访了10 名男士和10 名女士,结果男士、女士中分别有7 人、 6 人表示“经常骑共享 单车出行”,其他人表示“较少或不选择骑共享单车出行”. (1)从这些男士和女士中各抽取一人,求至少有一人“经常骑共享单车出行”的概率; (2) 从这些男士中抽取一人,女士中抽取两人,记这三人中“经常骑共享单车出行”的人数为X, 求X 的分布列与数学期望. 1 8 模板构建公式法就是直接利用古典概型、互斥事件、对立事件、相互独立事件以及独立重复试验、条 件概率等的求解方法或计算公式求解离散型随机变量
21、的概率的方法. 其基本步骤如下: 【变式训练】某城市随机抽取一年(365 天)内 100 天的空气质量指数API(Air Pollution Index )的监测 数据,结果统计如下: API 0,50(50,100(100,150(150,200(200,250(250,300 大于 300 空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染 中度重 污染 重度污染 天数101520307612 ()若本次抽取的样本数据有30 天是在供暖季,其中有 7 天为重度污染,完成下面22列联表,并 判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关? 1 9 非重度污染重度污染合计 供暖季 非供暖季 合计1
22、00 2 0 P(K)k 0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001 0 k1.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 附: 2 2 K n adbc abcdacbd () 政府要治理污染,决定对某些企业生产进行管控,当API在区间0,100时企业正常生产;当API 在区间100,200时对企业限产30%(即关闭30%的产能),当API在区间200,300时对企业限产 50%, 当API在 300 以上时对企业限产80%, 企业甲是被管控的企业之一,若企业甲正常生产一天可 得利润 2 万元,若以频率当概率,不考虑其他因素:
23、 在这一年中随意抽取5 天,求 5 天中企业被限产达到或超过50%的恰为 2 天的概率; 求企业甲这一年因限产减少的利润的期望值 模板十八线性回归方程 例 18【2019 年理数全国卷II 】下图是某地区2000 年至 2016 年环境基础设施投资额(单位:亿元)的 折线图 2 0 为了预测该地区2019 年的环境基础设施投资额,建立了与时间变量的两个线性回归模型根据 2000 年至 2016 年的数据 (时间变量的值依次为)建立模型:;根据 2010 年至 2016 年的数据(时间变量的值依次为)建立模型: (1)分别利用这两个模型,求该地区 2019 年的环境基础设施投资额的预测值; (2
24、)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由 【答案】(1)利用模型预测值为226.1, 利用模型预测值为256.5, (2)利用模型得到的预测值更 可靠 【解析】 (1)利用模型,该地区 2019 年的环境基础设施投资额的预测值为 = 30.4+13.519=226.1(亿元) 利用模型,该地区 2019 年的环境基础设施投资额的预测值为 =99+17.5 9=256.5(亿元) (2)利用模型得到的预测值更可靠 理由如下: (i)从折线图可以看出,2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线y= 30.4+13.5t 上下,这 说明利用2000 年至 2016 年的数据
25、建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近, 这说明从2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用 2010 年至 2016 年的数据建立 的线性模型=99+17.5t 可以较好地描述2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型得 到的预测值更可靠 2 1 (ii )从计算结果看,相对于 2016 年的环境基础设施投资额220亿元,由模型得到的预测值226.1亿元 的增幅明显偏低,而利用模型得到的预测值的增幅比较合理,说明利用
26、模型得到的预测值更可靠 以上给出了2 种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分 模板构建线性回归方程常用来预估某变量的值, 因此选择恰当的拟合函数是解题的关键, 一般解题要点 如下 : (1) 作图 . 依据样本数据画出散点图, 确定两个变量具有线性相关关系. (2) 计算 . 计算出,xiyi的值 ; 计算回归系数,. (3) 求方程 . 写出线性回归直线方程y= x+ . 【变式训练】 【2019 湖南省长沙市第一中学模拟】2017 年 4 月 1 日, 新华通讯社发布:国务院决定设立 河北雄安新区.消息一出,河北省雄县、容城、安新3 县及周边部分区域迅速成为海内外高度关注的焦点
27、. (1)为了响应国家号召,北京市某高校立即在所属的8 个学院的教职员工中作了“是否愿意将学校整体 搬迁至雄安新区”的问卷调查,8 个学院的调查人数及统计数据如下: 调查人数 (x) 10 20 30 40 50 60 70 80 愿 意 整 体 搬 迁 人 数 (y) 8 17 25 31 39 47 55 66 请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出变量y关于变量x的线性回归方程ybxa(b保留小数点 后两位有效数字) ;若该校共有教职员工2500 人,请预测该校愿意将学校整体搬迁至雄安新区的人数; (2)若该校的8 位院长中有5 位院长愿意将学校整体搬迁至雄安新区,现该校拟在这8 位院长
28、中随机选 取 4 位院长组成考察团赴雄安新区进行实地考察,记X为考察团中愿意将学校整体搬迁至雄安新区的院长 人数,求X的分布列及数学期望. 参考公式及数据: 88 21 22 11 1 , ? ,16310,20400 n ii i iiin ii i i x yn x y bayb xx yx xn x . 2 2 答案部分 模板一求函数值 【变式训练】 【答案】 【解析】分析:先根据函数周期将自变量转化到已知区间,代入对应函数解析式求值,再代入对应函数 解析式求结果. 详解:由得函数的周期为 4, 所以因此 模板二函数的图象 【变式训练】 【答案】 D 【解析】 当时, 排除 A,B.,当
29、时,,排除 C 故正确答案选D. 模板三函数的零点问题 【变式训练】 【答案】 3 【解析】 分析: 先结合三次函数图象确定在上有且仅有一个零点的条件,求出参数a,再根据单调性 确定函数最值,即得结 果. 详解:由得, 因为函数在上有且仅有一个零点且, 所以 , 因此从而函数在上单调递增,在上单调递减,所 以, 模板四三角函数的性质 【变式训练】 【答案】 1 2 2 3 模板五三角函数的图象变换 【变式训练】 【答案】 C 【解析】 故选 C 模板六解三角形 【变式训练】 【解析】(1)由题意及正弦定理得 sinsin cossin cos3sin cosBABBACB, sin sinsi
30、n sin3sin cosBABBCCB, 0,CQ, sin0C, sin3cosBB, tan3B 2 4 22 20ac, 2 22 236acacac, 6ac, 又2 3b, ABC的周长为62 3. 模板七利用函数性质解不等式 【变式训练】 【答案】 【解析】 当时,是上的增函数,且, 所以可以转化为 , 结合函数的单调性,可以将不等式转化为, 解得, 从而得答案为. 模板八利用基本不等式求最值 【变式训练】 【答案】52 6 【解析】由22xyxy, 得 11 1 2xy 11 3434 2 xyxy xy = 43 552 6 2 yx xy 当且仅当 43 2 yx xy 且
31、22xyxy时等号成 立 34xy的最小值为52 6 2 5 模板九不等式恒成立问题 【变式训练】 【答案】 C 【解析】记函数fx在1,e上的最小值为g m:1 ln m fxxmx x 的定义域为0,. 2 1 1 mm fx xx . 令0fx, 得mx或1x. 0m1时,对任意的1xe,0fx,fx在1,e上单调递增,fx的最小值为 11mf 当1me时, fx的最小值为mm1m1 lnmf; 故实数m的取值范围为0,1. 故选 C. 模板十简单的线性规划问题 【变式训练】 【答案】 A 【解析】 2 6 作 出不等式组表示的平面区域, 得到如图的及其内部,其中, 圆 :表示以为圆心,
32、半径为的圆, 由图可得,当半径满足或时,圆不经过区域上的点, , 当或时, 圆不经过区域上的点, 故选 模板十一数列的通项与求和 【变式训练】 【答案】 ( ),;( ) ( i ). (ii )证明见解析 . 【解析】(I )设等比数列的公比为q. 由可得. 因为, 可得, 故 .设等差数列的公差为d, 由, 可得由, 可得 从而故所以数列的通项公式为, 数列的通项公式为 (II ) (i)由( I) , 有, 故. (ii )因为, 所以. 模板十二空间中的平行与垂直 【变式训练】 【答案】见解析 【解析】证明: (1)因为 111 ABCA B C是直三棱柱,所以 11 / /ABA B
33、, 且 11 ABA B, 2 7 又点,M N分别是 11 ,AB A B的中点,所以 1 MBA N, 且 1 / /MBA N 则由侧面 11 ABB A底面ABC,侧面 11 ABB A底面ABCAB, CMAB, 且CM底面ABC, 得CM侧面 11 ABB A 又 1 AB侧面 11 ABB A, 所以 1 ABCM 又 11 ABA M, 1 ,A M MC平面 1 A MC, 且 1 A MMCM, 所以 1 AB平面 1 A MC 又 1 AC平面 1 A MC, 所以 11 ABAC 模板十三求空间角 【变式训练】 【解析】(1)连接 1 A B, 1 A D,AC, 因为
34、 1 ABAAAD, 11 60A ABA AD, 所以 1 A AB和 1 A AD均为正三角形, 于是 11 A BA D 设AC与BD的交点为O, 连接 1 AO, 则 1 AOBD, 又四边形ABCD是正方形,所以ACBD, 而 1 AOACO, 所以BD平面 1 A AC 2 8 所以OA、OB、 1 OA两两垂直 如图,以点O为坐标原点,OA uu u v 的方向为x轴的正方向,建立空间直角坐标系Oxyz, 则1,0,0A,0,1,0B,0, 1,0D, 1 0,0,1A,1,0,0C,0,2,0DB u uu v , 11 1,0,1BBAA uuu vuuu v , 11 1,
35、1,0D CDC uu uu vuuu v , 由 11 1,0,1DDAA uuuu vuuu v , 易求得 1 1, 1,1D 设 111 D EDC uuuu vu uu uv (0,1) , 则1,1,11,1,0 EEE xyz, 即1,1,1E, 所以1, ,1DE uuu v 模板十四直线与圆的位置关系 2 9 【变式训练】 【答案】 2 模板十五圆锥曲线中的最值与范围问题 【变式训练】 【解析】(1)由题意,得a 2c,b3c, 则椭圆E为 22 22 1 43 xy cc . 直线1 42 xy 与y轴交于P(0,2) , |PM|2 5 4 , 当直线l与x轴垂直时, |
36、PA| |PB|(23) (2 3)1, |PM|2|PA| |PB|? 4 5 , 当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为ykx2,A(x1,y1),B(x2,y2), 由 22 2 34120 ykx xy ? (3 4k2)x216kx40, 3 0 依题意得,x1x2 2 4 34k , 且48(4k21)0 , |PA| |PB|(1k2)x1x2(1k 2) 2 4 34k 1 2 1 34k 5 4 , 4 5 (1 2 1 34k ), k 2 1 4 , 4 5 1. 综上所述,的取值范围是 4 5 , 1) 模板十六圆锥曲线中的探索性问题 【变式训练】 【答案】(1) 2
37、 4yx(2)8, 4 【解析】 (1)拋物线的焦点,0 2 p F , 直线AB的方程为 : 2 2 p yx . 联立方程组 2 2 2 2 ypx p yx , 消元得 : 2 2 20 4 p xpx, 2 1212 2 , 4 p xxp x x. 2 22 1212 124346ABxxx xpp 解得2p. 抛物线C的方程为: 2 4yx. (2)由( 1)可得点4,4M, 可得直线DE的斜率不为0, 设直线DE的方程为:xmyt, 联立 2 4 xmyt yx , 得 2 440ymyt, 则 2 16160mt. 设 1122 ,D xyE xy, 则 1212 4,4yym
38、 y yt. 1122 4,44,4MD MExyxy 3 1 12121212 416416x xxxy yyy 2222 1212 1212 416416 4444 yyyy y yyy 2 2 12 121212 3432 16 y y yyy yyy 22 161232160tmtm 即 22 12321616ttmm, 得: 22 64 21tm, 62 21tm, 即48tm或44tm, 代人式检验均满足0, 直线DE的方程为:4848xmymm y或44xm y. 直线过定点8, 4(定点4,4不满足题意,故舍去) . 模板十七离散型随机变量 【变式训练】 【解析】 ()根据以上
39、数据得到如下列联表: 非重度污染重度污染合计 供暖季23730 非供暖季65570 合计8812100 2 2 10065 723 5 5.2133.841 88 12 70 30 K , 3 2 企业甲这一年的利润的期望值为 25750 365(22 10010100 113112 22)502.97 21005100 万元, 故企业甲这一年因限产减少的利润的期望值是365 2502.97227.03万元 模板十八线性回归方程 【变式训练】 【解析】 (1)由已知有 1 22 1 1631084536 45,36,0.8 20400845 ? 54 n ii i n i i x yn xy xyb xn x , 360.80 450a,故变量y关于变量x的线性回归方程为 0.8yx,所以当 2500x时, 25000.802000y. (2)由题意可知X的可能取值有1, 2,3,4. 1322 5353 44 88 13 1,2 147 CCCC P XP X CC , 214 535 44 88 31 3,4 714 CCC P XP X CC . 所以 X的分布列为 X1 2 3 4 p 1 14 3 7 3 7 1 14 13315 1234 1477142 E X 3 3
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