高考数学常考题型的总结(必修五).pdf
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1、高考数学常考题型的总结(必修五) 对高三理科来说,必修五是高考的必考内容,它不仅要考查基础知识点,而且还要考查解题方法和解题 思路的问题。同学们在复习过程中,一定要明白什么是重要,什么是难点,什么是常考知识点。对重 难点要了如指掌,能做到有的放矢。同学们不仅要掌握课本上的知识点,更重要的要对知识点理解的有深 度, 对经典题型或高考常考题型掌握到相当熟练的程度。人们常说,只有你多于一桶水的能力,在考试过 程中才能发挥出一桶水的水平来,否则,基本不可能考出相对理想的成绩来。 必修五主要包括三大部分内容:解三角形、数列、不等式。高考具体要考查那些内容呢?这是我们师生 共同研究的问题。虽然高考题不能面
2、面俱到,但是我们在复习的时候,一定要不留死角,对常考题型的知 识点和方法能倒背如流。下面具体对必修五常考的型作一分解: 解三角形 解三角形是高考的必考知识点,每年都有考题,一般考查分数为5-12 分。考查的时候, 可能是选择题、填空题,或解答题, 有时单独考查,有时会与三角函数,平面向量等知识点进 行综合考查,难度一般不是很大,如果出解答题,一般是第 17 题, 属于拿分题。 知识点:正弦定理、余弦定理和三角形的面积的公式。 正弦定理:R C c B b A a 2 sinsinsin (R为ABC的外接圆半径 ) 余弦定理:Cabcbacos2 222 ,Bacbcacos2 222 ,Ab
3、cacbcos2 222 (变形后)C ab cba cos 2 222 ,B ac bca cos 2 222 ,A cb abc cos 2 222 三角形的面积的公式:AbcBacCabS ABCsin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 。 知识点分解: (1)两边一角,求另外两角一边,可以用正弦定理,也可以用余弦定理,特别注意两种三角形的情况。 (2)两角一边,求另外一角和两边,肯定是正弦定理。 (3)等式两边都有边或通过转化等式两边都有边,用正弦定理。 (4)知道三边的关系用余弦定理。 (5)求三角形的面积,或和向量结合用向量的余弦公式。 (6)正余弦定理与其他知识的综合。 必
4、须具备的知识点: 三角函数的定义、同角三角函数、诱导公式和三角恒等变换。 可能综合的知识点: 三角函数以及正余弦定理的模块内部综合;和与数列的综合、 与平面向量的综 合、以及与基本不等式的综合。 解三角形常考的题型有: 考点一 正弦定理的应用 例: 在ABC中,60,10,15Aba, 则Bcos 答案: 6 3 知识点:正弦定理和三角同角关系 思路:(方法不唯一)利用正弦定理先求出Bsin, 然后利用同角三角函数的关系可求出Bcos。 考点二 余弦定理的应用 例: 在ABC 中,已知32a,26c,60B, 求b的值 答案:22b 知识点:余弦定理 思路: 直接利用余弦定理Bacbcacos
5、2 222 , 即可求出b的值。 考点三 正、余弦定理的混合应用 例: 设ABC的内角,A B C所对边的长分别为, ,a b c。若2bca, 则3sin5sin,AB则角C_. 答案: 3 2 知识点:正余弦定理 思路:(方法不唯一)先通过正弦定理求出三边的关系,然后再用余弦定理求角C。 考点四 三角形的面积问题 例: 在ABC中,角CBA、所对应的边分别为cba、, 若BCA2, 且,3,1 ba求 ABC S的 值 答案: 2 3 知识点:三角形的面积 思路: 先求出B, 然后由三角形面积公式即可。 考点五 三角形形状的判断 例: 已知ABC中,BbAacoscos, 判断三角形的形状
6、 答案: 等腰三角形或直角三角形 知识点:正弦定理和二倍角公式 思路: 先由正弦定理化解,然后利用二倍角公式讨论即可。 考点六 最值问题 例: 在ABC中, 60 ,3BAC o , 则2ABBC的最大值为 答案:72 知识点:正弦定理和三角恒等变换 思路:(方法不唯一)先利用正弦定理,然后利用恒等变换,转化为正弦函数,求正弦函数的值域问题。 考点七 三角形个数的判断 例: 在ABC中,角CBA、所对应的边分别为cba、, 若30A, 且,3,1 ba求c的值 答案: 1 或 2 知识点:正余弦定理 思路: 分类讨论60B或120B两种情况。 考点八 基本不等式在解三角形上的应用 例: 在AB
7、C中,角CBA、所对应的边分别为cba、, 若2, 4 ba, 求ABC的面积的最大值。 答案:12 知识点:三角形面积公式、余弦定理和基本不等式 思路: 先利用三角形面积公式,然后用余弦定理,最后基本不等式求最值。 例: 设ABC的内角ABC, ,所对的边长分别为abc, , 且 3 coscos 5 aBbAc, 求tan()AB的最 大值。 答案: 3 4 知识点:正弦定理、正切差公式和基本不等式 思路: 先通过正弦定理,得到BAtan4tan, 然后正切差公式,最后应用基本不等式。 考点九 平面向量在解三角形上的应用 例: 在 ABC中,6,AC AB uuu r u uu r ABC
8、的面积3 3, 求A 答案: 3 知识点:三角形面积公式和平面向量中的余弦公式 思路: 先利用三角形面积公式,然后平面向量中的余弦公式即可。 例:在ABC中, 边c所对的角为C, 向量) 2 sin, 2 (cos), 2 sin, 2 (cos CC n CC m, 且向量m与n的夹角 是 3 。 求角C的大小 答案: 3 C 知识点:向量中的坐标运算和余弦公式 思路: 先利用向量的坐标运算和余弦公式转化,然后求解。 考点十 数列在解三角形上的应用 例:设ABC的内角ABC, ,所对的边长分别为abc, , 若abc, ,依次成等比数列,角B的取值范围 . 答案: 3 ,0( 知识点:余弦定
9、理、等比数列和基本不等式 思路: 先用等比数列,然后余弦定理,最后用基本不等式求最值。 考点十一解三角形的实际应用 例: 如图,DCBA、都在同一个与水平面垂直的平面内,DB、为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量 船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75,30, 于水面C处测得B点和D点的仰角均为60, kmAC1. 0。试探究图中DB、间距离与另外哪两点间距离相等,然后求DB、的距离(计算结果精 确到km01.0,414.12,449.26) 答案: 0.33km 知识点:正弦定理和三角形的相关知识 思路: 先通过三角形的相关知识进行转化,然后利用正弦定理就可以求出长度。 考点十二解三角形的综合
10、题型 例: 已知, ,a b c分别为ABC三个内角,A B C的对边,cos3 sin0aCaCbc (1)求A(2)若2a,ABC的面积为3;求,b c。 答案: (1)60A(2)2bc 知识点:正余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换和诱导公式 思路:(1)先通过正弦定理和诱导公式转化,转化完之后,利用三角恒等变换求出A。 (2)利用角A, 再通过余弦定理,就可以求出,b c的值。 数列 数列是高考的必考知识点,每年都有考题, 一般考查分数为10-17 分。考查的时候,可 能是选择题、填空题,或解答题, 有时单独考查,有时会与不等式,函数等知识点进行综合考 查。以前考题比较难一些,现在
11、多数比较简单,但是常用的方法还是比较经典的。 知识点:数列的递推公式,数列的求通项公式,数列的求和,等差数列和等比数列 知识点分解: (1)递推公式:建立前n项和 n S和 n a的关系。 (2)等差数列的通项公式、公式、性质、等差中项以及前n项和 n S等问题。 (3)等比数列的通项公式、公式、性质、等比中项以及前n项和 n S 等问题。 (4)数列求通项公式的几种方法。 (5)数列求和的几种方法。 (6)数列的综合问题 必须具备的知识点: 函数、导数、不等式,平面向量、三角函数等相关知识。 可能综合的知识点: 数列的内部综合、与三角函数的综合、与导数的综合、以及与不等式的综合。 数列的常见
12、题型: 考点一 n S和 n a的关系 1 2 1 1 na nSS a nn n 例: 数列 n a的前n项和为, n S已知 2 nSn, 求8a的值,以及数列 n a的表达式。 答案:15 8 a,12nan 知识点:递推公式 思路: 已知项数n, 求具体值;未知项数n, 求表达式。 考点二 等差数列 1 等差数列的公差和通项公式 dnaan)1( 1 , (等差数列的通项公式,知三求一;如果已知da , 1 , 那么求的是数列 n a的通项公式) dmnaamn)((等差数列通项公式的变形公式) 例: 已知等差数列 n a中,3, 1 31 aa,求数列的公差d以及数列 n a的通项公
13、式; 答案:2d,nan23 知识点:等差的公差和通项公式 思路: 利用数列的通项公式先求出公差d, 然后求数列 n a的通项公式。 2 等差数列的性质 qpmn(都是正整数) , qpmn aaaa,qpn2(都是正整数) , qpn aaa2, n a是 p a和 q a的等差中项。 例: 已知等差数列 n a中,7, 195aa,求131aa以及7a的值 答案:6 131 aa,3 7 a 知识点:等差数列的性质 思路: 等差数列的性质和等差中项可得到。 3 等差数列的求和 2 )1( )( 2 11 dnn naaa n S nn (知三求一,如果已知da ,1, 那么求的是nS的表达
14、式) , 2 1nn naS(n为奇数)或 mm amS)12( )12( 。 例: 设等差数列 n a的前n项和为 n S, 若36 324SS, , 则 9 S 的值 答案: 63 知识点:等差数列的求和 思路:(方法不唯一)通过等差数列前n项和为 n S, 先求出 1 a和d, 然后再利用等差数列前n项和,求 9 S。 4 等差数列求和中的最值问题 n d an ddnn naSn) 2 ( 22 )1( 1 2 1 类似于二次函数,当0d时, n S有最小值;当0d时, n S有最 大值。 例: 设等差数列 n a的前 n 项和为 n S, 已知2, 9 3 da, 求 n S中的最大
15、值 答案:49. 知识点:等差数列的和或二次函数的知识 思路: 先利用等差数列的前n项和 n S表达式,然后利用二次函数的知识求最大值。 例: 设等差数列 n a的前 n 项和为 n S, 已知2,9 3 da, 求 n S中的最小值 答案: -36 知识点:等差数列的和或二次函数的知识 思路: 先利用等差数列的前n项和 n S表达式,然后利用二次函数的知识求最小值 5 等差数列的证明 daa nn1 (等差数列的定义表达式) 例: 设数列 n a的前 n 项和为 n S,109,10 11nn Saa, 求证:lg n a是等差数列。 答案: 首项为 1, 公差也为1 的等差数列 知识点:对
16、数函数的知识和等差数列 思路: 先求出1lg 1 a, 然后利用等差数列的定义表达式daa nn1 , 证明等差数列。 6 已知等差数列 n a 中,, 0,16 6473 aaaa求数列 n a 前 n 项和 n S 。 答案:nnSn9 2 或 nnSn9 2 知识点:解方程和等差数列的和 思路: 先利用等差数列的知识求出首项和公差,然后再求前n 项和 n S 考点三 等比数列 1 等比数列的公比和通项公式 )0( 1 1 qqaa n n (等比数列的通项公式,知三求一;如果已知qa , 1 , 那么求的是数列 n a的通项公式) mn mn n q a a (等比数列通项公式的变形公式
17、) 例: 已知等比数列 n a中,8,231aa, 求等比数列的公比q和数列 n a的通项公式; 答案:2q, n n a)2( 知识点:等比数列的公比和通项公式 思路: 利用等比数列的通项公式即可求出。 2等比数列的性质 qpmn(都是正整数) ,qpmn aaaa, qpn2(都是正整数) , qpn aaa 2 , n a是 p a和 q a 的等比中项。 例: 设等比数列 n a, 已知18 93 aa, 求 6 a值 答案:23 知识点:等比中项 思路: 利用等比中项即可。 例: 设等比数列 n a, 已知12,3 73 aa, 求 654 aaa值 答案:216 知识点:等比数列的
18、性质 思路: 利用等比的性质即可。 3等比数列求和 ) 1( ) 1( 11 )( 1 11 qna q q qaa q qaa S n n n (用错位相减法推导) 例: 设等比数列 n a的公比 1 2 q, 前n项和为 n S, 则 4 4 S a 答案:15 知识点:等比数列的求和 思路: 利用等比数列的求和和通项公式即可。 4 等比数列的证明 q a a n n 1 (等比数列的定义表达式) 例: 在数列 n a中,1 1 a, n nn aa32 1 , 设 n nn ab3, 证明:数列是 n b等比数列。 答案: 数列 n b是公比 2, 首项 -2 的等比数列 知识点:等比数
19、列的定义 思路: 先化解,再利用等比数列的定义来证明。 5 等比数列的综合 例: 设 n S为数列 n a的前n项和, 2 n Sknn, * nN, 其中k是常数,若对于任意的 * mN, m a, 2m a, 4m a成等比数列,求k的值。 答案:0k或1k 知识点:等比数列的等比中项和递推公式 思路: 先通过递推公式化解,然后再利用等比数列的等比中项,即可求出。 考点四 等差和等比数列的综合问题 例: 已知实数列 n a是等比数列 ,其中 5547 ,1, 1aaaa且成等差数列,求数列 n a的通项公式。 答案: n n a 7 2 知识点:等比数列的通项公式和等差中项 思路: 先利用
20、等比数列的知识,然后再利用等差数列的等差中项,即可求出。 例:等比数列 n a中, 已知14 2,16aa, 若 35 ,a a分别为等差数列 n b的第 3 项和第 5 项, 求数列 n b的 通项公式及前 n项和 n S。 答案:nnSn226 2 知识点:等比数列的通项公式和等差的通项公式 思路: 通过等比数列的知识来转化为等差数列,即可。 考点五 求数列的通项公式 1 观察法、等差数列和等比数列的通项公式(上述已有) 2 累加法形式为:)( 1 nfaa nn , 利用累加法求通项,) 1()2()1( 1 nfffaan 例: 已知数列 n a 满足naann 1 ,1 1 a求数列
21、 n a 的通项公式。 答案: 2 2 2 nn an 知识点:累加法求数列的通项公式 思路: 由naa nn 1 得naa nn 1 则 112211 )()()(aaaaaaaa nnnnn , 即可。 3 累乘法形式为:)( 1 nf a a n n , 利用累乘法求数列通项, 1 1 2 2 1 1 a a a a a a a a n n n n n 。 答案: n an 3 2 知识点:累加法求数列的通项公式 思路: 由条件知 1 1 n n a a n n , n n n a a a a a a a a a a 13 4 2 3 1 2 1 , 即可。 4 待定系数法 (1)qpa
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