高考数学所有公式及结论总结大全.pdf
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1、高考数学所有公式及结论总结大全 1 高考数学所有公式及结论总结大全 高考数学常用公式及结论200 条 集合 元素与集合的关系 U xAxC A, U xC AxA. 德摩根公式 ();() UUUUUU CABC AC B CABC AC BIUUI. 包含关系的等价条件 ABAABBIU UU ABC BC A U AC BI U C ABRU 高考数学所有公式及结论总结大全 2 容斥原理( CardA 是集合 A中元素的个数) ()()card ABcardAcardBcard ABUI ()()card ABCcardAcardBcardCcard ABUUI ()()()()card
2、ABcard BCcard CAcard ABCIIIII. 集合 12 , n a aaL的子集个数共有2 n 个;真子集有2n1 个;非空子集有2n1 个;非空的真子集 有2n2 个. 集合 A中有 M个元素,集合 B中有 N个元素,则可以构造M*N个从集合 A到集合 B的映射; 高考数学所有公式及结论总结大全 3 二次函数,二次方程 二次函数的解析式的三种形式 (1) 一般式 2 ( )(0)f xaxbxc a; (2) 顶点式 2 ( )()(0)f xa xhk a; (3) 零点式 12 ( )()()(0)f xa xxxxa. 方程0)(xf在),( 21kk 上有且只有一个
3、实根, 与0)()( 21kfkf 不等价 , 前者是后者的一个必要而不 是充分条件 . 特别地 , 方程)0(0 2 acbxax有且只有一个实根在),( 21 kk内, 等价于0)()( 21 kfkf, 或0)( 1 kf且 22 21 1 kk a b k, 或0)( 2 kf且 2 21 22 k a bkk . 解连不等式( )Nf xM常有以下转化形式 ( )Nf xM ( )( )0f xMf xN |( )| 22 MNMN f x ( ) 0 ( ) fxN Mf x 11 ( )fxNMN . 闭区间上的二次函数的最值 二次函数)0()( 2 acbxaxxf在闭区间qp
4、,上的 最值只能在 a b x 2 处及区间的两端点处取 得,具体如下表: 二次函数在闭区间nm,上的最大、最小值问题探讨 高考数学所有公式及结论总结大全 4 设00 2 acbxaxxf,则二次函数在闭区间nm,上的最大、最小值有如下的分布情况: a b nm 2 n a b m 2 即nm a b , 2 nm a b 2 nfxf mfxf min max a b fxf mfnfxf 2 ,max min max mfxf nfxf min max 对于开口向下的情况,讨论类似。其实无论开口向上还是向下,都只有以下两种结论: (1)若nm a b , 2 , 则nf a b fmfxf
5、, 2 ,max max , nf a b fmfxf, 2 ,min min ; (2)若nm a b , 2 , 则nfmfxf,max max ,nfmfxf,min min 另外,当二次函数开口向上时,自变量的取值离开x轴越远,则对应的函数值越大;反过来,当二次函 数开口向下时,自变量的取值离开x轴越远,则对应的函数值越小。 一元二次方程0 2 cbxax根的分布情况 分 布 情 况 两个负根即两根都小于0 12 0,0xx 两个正根即两根都大于0 12 0,0xx 一正根一负根即一个根小于0, 一个大于0 12 0xx 高考数学所有公式及结论总结大全 5 表一: (两根与 0 的大小
6、比较即根的正负情况,注意:用韦达定理也可以) 设方程 2 00axbxca的不等两根为 12 ,x x且 12 xx, 相应的二次函数为 2 0fxaxbxc, 方程的根即为二次函数图象与x轴的交点,它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件) 大 致 图 象 ( 0a ) 得 出 的 结 论 0 0 2 00 b a f 0 0 2 00 b a f 00f 大 致 图 象 ( 0a ) 得 出 的 结 论 0 0 2 00 b a f 0 0 2 00 b a f 00f 综 合 结 论 ( 不 讨 论 a ) 0 0 2 00 b a a f 0 0 2 00 b a af 0
7、0fa 高考数学所有公式及结论总结大全 6 表二: (两根与 k 的大小比较) 分 布 情 况 两根都小于 k即 kxkx 21 , 两根都大于 k即 kxkx 21 , 一个根小于k, 一个大于 k即 21 xkx 大 致 图 象 ( 0a ) 得 出 的 结 论 0 2 0 b k a fk 0 2 0 b k a fk 0kf 大 致 图 象 ( 0a ) 得 出 的 结 论 0 2 0 b k a fk 0 2 0 b k a fk 0kf 综 合 结 论 ( 不 讨 论 a ) 0 2 0 b k a a fk 0 2 0 b k a a fk 0kfa k k k 高考数学所有公式
8、及结论总结大全 7 高考数学所有公式及结论总结大全 8 分 布 情 况 两根都在nm,内 两根有且仅有一根在nm,内 (图象有两种情况,只画了一 种) 一根在nm,内,另一根在 qp,内,qpnm 大 致 图 象 ( 0a ) 得 出 的 结 论 0 0 0 2 fm fn b mn a 0nfmf 0 0 0 0 fm fn fp fq 或 0 0 fmfn fpfq 大 致 图 象 ( 0a ) 得 出 的 结 论 0 0 0 2 fm fn b mn a 0nfmf 0 0 0 0 fm fn fp fq 或 0 0 fmfn fpfq 综 合 结 论 ( 不 讨 论 a ) 0nfmf
9、 0 0 qfpf nfmf 高考数学所有公式及结论总结大全 9 表三: (根在区间上的分布) 根在区间上的分布还有一种情况:两根分别在区间nm,外,即在区间两侧 12 ,xm xn, (图形分别如 下)需满足的条件是 (1) 0a 时, 0 0 fm fn ; (2)0a时, 0 0 fm fn 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明: (1)两根有且仅有一根在nm,内有以下特殊情况: 1若0f m或0fn, 则此时0fmf ng不成立,但对于这种情况是知道了方程有一根为m或 n, 可以求出另外一根,然后可以根据另一根在区间nm,内,从而可以求出参数的值。如方程 2 220mxmx在区间1,
10、3上有一根,因为10f, 所以 2 2212mxmxxmx, 另一根为 2 m , 由 2 13 m 得 2 2 3 m即为所求; 2方程有且只有一根,且这个根在区间nm,内, 即0, 此时由0可以求出参数的值,然后再将 参数的值带入方程,求出相应的根,检验根是否在给定的区间内,如若不在,舍去相应的参数。如方程 2 4260xmxm有且一根在区间3,0内,求m的取 值范围。分析:由300ffg即 141530mm得出 15 3 14 m;由0即 2 164 260mm得出1m或 3 2 m,当 1m时, 根23,0x, 即1m满足题意;当 3 2 m时, 根33,0x, 故 3 2 m不满足题
11、 意;综上分析,得出 15 3 14 m或1m 高考数学所有公式及结论总结大全 10 定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据 (1) 在给定区间),(的子区间L(形如,,,,,不同)上含参数的二次不等式 ( , )0fx t(t为参数 ) 恒成立的充要条件是 min ( , )0()f x txL. (2) 在给定区间),(的子区间上含参数的二次不等式( , )0f x t(t为参数 ) 恒成立的充要条件是 ( , )0() man fx txL. (3)0)( 24 cbxaxxf恒成立的充要条件是 0 0 0 a b c 或 2 0 40 a bac . 简易逻辑 真值表 非或且 真真
12、假真真 真假假真假 假真真真假 假假真假假 高考数学所有公式及结论总结大全 11 常见结论的否定形式 原结论反设词原结论反设词 是不是至少有一个一个也没有 都是不都是至多有一个至少有两个 大于不大于至少有n个至多有 ( 1n)个 小于不小于至多有n个至少有 ( 1n)个 对所有x, 成立 存在某x, 不成立 p或qp且q 对任何x, 不成立 存在某x, 成立 p且qp或q 四种命题的相互关系 原命题互逆逆命题 若则若则 互互 互为为互 否否 逆逆 否否 否命题逆否命题 若非则非互逆若非则非 充要条件 ( 1)充分条件:若pq, 则p是q充分条件 . (2)必要条件:若qp, 则p是q必要条件
13、. (3)充要条件:若pq, 且qp, 则p是q充要条件 . 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然. 函数 函数的单调性 (1) 设 2121 ,xxbaxx那么 1212 ()()()0xxf xf xbaxf xx xfxf ,)(0 )()( 21 21 在上是增函数; 1212 ()()()0xxf xf xbaxf xx xfxf ,)(0 )()( 21 21 在上是减函数 . (2) 设函数)(xfy在某个区间内可导,如果0)(xf, 则)(xf为增函数; 如果0)(xf, 则)(xf为 高考数学所有公式及结论总结大全 12 减函数 . 如果函数)(xf和)(x
14、g都是减函数, 则在公共定义域内, 和函数)()(xgxf也是减函数; 如果函数 )(ufy和)(xgu在其对应的定义域上都是减函数, 则复合函数)(xgfy是增函数 . 奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称 ; 在对称区间上,奇函数的单调性相同,欧函数 相反; , 如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于y 轴对称,那 么这个函数是偶函数,如果一个奇函数的定义域包括0, 则必有 f(0)=0; 若 函 数)(xfy是 偶 函 数 ,则)()(axfaxf; 若 函 数)(axfy是 偶 函 数 ,则 )()(axfaxf
15、. 对于函数)(xfy(Rx),)()(xbfaxf恒成立 , 则函数)(xf的对称轴是函数 2 ba x; 两 个函数)(axfy与)(xbfy的图象关于直线 2 ba x对称 . 若)()(axfxf, 则函数)(xfy的图象关于点)0 , 2 ( a 对称 ; 若)()(axfxf, 则函数 )(xfy为周期为a2的周期函数 . 多项式函数 1 10 ( ) nn nn P xa xaxaL的奇偶性 多项式函数( )P x是奇函数( )P x的偶次项 ( 即奇数项 ) 的系数全为零 . 多项式函数( )P x是偶函数( )P x的奇次项 ( 即偶数项 ) 的系数全为零 . 函数( )yf
16、 x的图象的对称性 (1) 函数( )yf x的图象关于直线xa对称()()f axf ax (2)( )faxf x. (2) 函数( )yf x的图象关于直线 2 ab x对称()()f amxf bmx ()()f abmxf mx. 两个函数图象的对称性 (1) 函数( )yf x与函数()yfx的图象关于直线0x( 即y轴) 对称 . (2) 函数()yf mxa与函数()yf bmx的图象关于直线 2 ab x m 对称 . (3) 函数)(xfy和)( 1 xfy的图象关于直线y=x 对称 . 若将函数)(xfy的图象右移a、上移b个单位,得到函数baxfy)(的图象;若将曲线
17、0),(yxf的图象右移a、上移b个单位,得到曲线0),(byaxf的图象 . 互为反函数的两个函数的关系 abfbaf)()( 1 . 若函数)(bkxfy存在反函数, 则其反函数为)( 1 1 bxf k y , 并不是)( 1 bkxfy , 而函数 )( 1 bkxfy 是)( 1 bxf k y的反函数 . 几个常见的函数方程 (1)正比例函数( )f xcx,()( )( ),(1)f xyf xf yfc. (2) 指数函数( ) x f xa,()( )( ),(1)0f xyfx f yfa. (3) 对数函数( )log a f xx,()( )( ),( )1(0,1)f
18、 xyf xfyf aaa. (4) 幂函数( )f xx , ()( )( ),(1)f xyf x f yf. (5) 余弦函数( )cosf xx, 正弦函数( )sing xx,()( ) ( )( ) ( )f xyf x f yg x g y, 高考数学所有公式及结论总结大全 13 0 ( ) (0)1,lim1 x g x f x . 几个函数方程的周期( 约定 a0) (1))()(axfxf, 则)(xf的周期 T=a; (2)0)()(axfxf, 或)0)( )( 1 )(xf xf axf, 或 1 () ( ) f xa f x ( ( )0)f x, 或 2 1 (
19、 )( )(),( )0,1 ) 2 f xfxf xaf x, 则)(xf的周期 T=2a; (3)0)( )( 1 1)(xf axf xf, 则)(xf的周期 T=3a; (4) )()(1 )()( )( 21 21 21 xfxf xfxf xxf且 1212 ( )1()()1,0| 2 )f af xf xxxa, 则)(xf的周期 T=4a; (5)( )()(2 ) (3 )(4 )f xf x af xa f xaf xa ( ) () (2 ) (3 ) (4 )f x f x a f xa f xa f xa, 则)(xf的周期 T=5a; (6)()()(axfxfa
20、xf, 则)(xf的周期 T=6a. 指数与对数 分数指数幂 (1) 1 m n nm a a (0,am nN, 且1n).(2) 1 m n m n a a (0,am nN, 且1n). 根式的性质 (1)() nn aa. (2)当n为奇数时, nn aa;当n为偶数时, ,0 | ,0 nn a a aa a a . 有理指数幂的运算性质 (1) (0, ,) rsrs aaaar sQ. (2) ()(0, ,) rsrs aaar sQ. (3)()(0,0,) rrr aba babrQ. 注: 若 a0, p 是一个无理数,则 a p 表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性
21、质,对于无理数指 数幂都适用 . 指数式与对数式的互化式 log b a NbaN (0,1,0)aaN . 对数的换底公式 log log log m a m N N a (0a, 且1a,0m, 且1m,0N). 推论loglog m n a a n bb m (0a, 且1a,0m n, 且1m,1n,0N). 对数的四则运算法则 若 a0, a 1, M0, N0, 则 (1)log ()loglog aaa MNMN;(2) logloglog aaa M MN N ; 高考数学所有公式及结论总结大全 14 (3)loglog() n aa MnM nR. 设函数)0)(log)(
22、2 acbxaxxf m , 记acb4 2 . 若)(xf的定义域为R, 则0a,且 0; 若)(xf的值域为R, 则0a, 且0. 对于0a的情形 , 需要单独检验. 对数换底不等式及其推广 若0a,0b,0x, 1 x a , 则函数log() ax ybx (1)当a b时 , 在 1 (0,) a 和 1 (,) a 上log() ax ybx为增函数 . ,(2) 当a b时, 在 1 (0,) a 和 1 (,) a 上log() ax ybx为减函数 . 推论 :设 1nm ,0p, 0a , 且 1a , 则 (1)log()log mpm npn. (2) 2 loglog
23、log 2 aaa mn mn. 平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为N, 平均增长率为p, 则对于时间x的总产值y, 有(1) x yNp. 39. 数列的同项公式与前n 项的和的关系 1 1 ,1 ,2 n nn sn a ssn ( 数列 n a的前 n 项的和为 12nn saaaL). 数列 数列的前n项和与通项的公式 nn aaaS 21 ; )2( )1( 1 1 nSS nS a nn n . 等差数列的判断方法: 定义法 :)( 1 常数d a a nnan 为等差数列。 中项法 :aaa nnn212 an 为等差数列。 通项公式法 :banan (a,b 为常数) a
24、n 为等差数列。 前 n项和公式法 :BnnA sn 2 (A,B 为常数) an 为等差数列。 等差中项: 若,a A b成等差数列,则 A叫做a与b的等差中项,且 2 ab A。 高考数学所有公式及结论总结大全 15 等差数列的通项公式 * 11 (1)() n aanddnad nN; 其前 n项和公式为 1 () 2 n n n aa s 1 (1) 2 n n nad 2 1 1 () 22 d nad n. 等差数列的性质: (1)当公差 0d 时,等差数列的通项公式 11 (1) n aanddnad是关于n的一次函数,且斜率为 公差d;前n和 2 11 (1) () 222 n
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