高考数学数列放缩法技巧全总结.pdf
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1、高考数学数列放缩法技巧全总结 高考数学备考之放缩技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧 而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因 而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策 略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其 规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 例 1. (1)求证: )2( )12(2 1 6 7 )12( 1 5 1 3 1 1 222 n nn (2)求证: nn4 1 2 1 4 1 36 1 16 1 4 1 2 (3)求证: 112 2642
2、 ) 12(531 642 531 42 31 2 1 n n n (4) 求证: ) 112(2 1 3 1 2 1 1) 11(2n n n 解析:(1)因为 12 1 12 1 2 1 ) 12)(12( 1 )12( 1 2 nnnnn ,所以 ) 12 1 3 1 ( 2 1 1) 12 1 3 1 ( 2 1 1 ) 12( 1 1 2 nni n i (2) ) 1 11( 4 1 ) 1 2 1 1( 4 1 4 1 36 1 16 1 4 1 222 nnn (3)先运用分式放缩法证明出 12 1 2642 )12(531 n n n ,再结合 nn n 2 2 1 进行裂项
3、 ,最 后就可以得到答案 (4)首先 nn nn n1 2 )1(2 1 ,所以容易经过裂项得到 n n 1 3 1 2 1 1) 11(2 再证 2 1 2 1 2 1212 22 )1212(2 1 nn nn nn n 而由均值不等式知道这是显然成立的, 所以 )112(2 1 3 1 2 1 1n n 例 2. (1)求 n kk1 2 14 2 的值; (2)求证: 3 51 1 2 n kk . 解析:(1)因为 12 1 12 1 ) 12)(12( 2 14 2 2 nnnnn ,所以 12 2 12 1 1 14 2 1 2 n n nk n k (2)因为 12 1 12
4、1 2 14 4 4 1 11 2 2 2 nnn n n ,所以 3 5 3 2 1 12 1 12 1 5 1 3 1 21 1 1 2 nnk n k 奇巧积累 :(1) 12 1 12 1 2 14 4 4 41 222 nnnnn (2) ) 1( 1 )1( 1 ) 1() 1( 21 21 1 nnnnnnnCC nn (3) )2( 1 1 1 ) 1( 1 ! 11 )!( ! !1 1 r rrrrrnrnr n n CT rr r nr (4) 2 5 ) 1( 1 23 1 12 1 11) 1 1( nnn n (5) nnnn 2 1 12 1 ) 12(2 1 (
5、6) nn n 2 2 1 (7) )1(2 1 )1(2nn n nn (8) nnn nnnn2)32( 1 2) 12( 1 2 1 32 1 12 2 1 (9) knnkknnnkknknk1 11 1 1 )1( 1 , 1 11 1 1 )1( 1 (10) !)1( 1 ! 1 !)1(nnn n (11) 2 1 2 1 2 1212 22 ) 1212(2 1 nn nn nn n (11) )2( 12 1 12 1 ) 12)(12( 2 )22)(12( 2 ) 12)(12( 2 )12( 2 11 1 2 n nnnn n nn n nn n n n (12) 1
6、1 1 )1( 1 ) 1( 1 ) 1)(1( 111 23 nnnnnnnnn nnn 1 1 1 1 2 11 1 1 1 1 nnn nn nn (13) 3 2 12 1 3 2 122) 12(332) 13(222 1 n n n nnnnnn (14) !)2( 1 !)1( 1 )!2()!1(! 2 kkkkk k (15) )2(1 ) 1( 1 nnn nn (15) 1 11)11)( 11 2222 22 22 ji ji jiji ji ji ji 例 3.求证: 3 51 9 1 4 1 1 ) 12)(1( 6 2 nnn n 解析: 一方面: 因为 12 1
7、 12 1 2 14 4 4 1 11 2 2 2 nnn n n ,所以 3 5 3 2 1 12 1 12 1 5 1 3 1 21 1 1 2 nnk n k 另一方面 : 11 1 1 ) 1( 1 43 1 32 1 1 1 9 1 4 1 1 2 n n nnnn 当 3n 时, ) 12)(1( 6 1nn n n n ,当 1n 时, 2 1 9 1 4 1 1 ) 12)(1( 6 nnn n , 当 2n 时, 2 1 9 1 4 1 1 ) 12)(1( 6 nnn n , 所以综上有 3 51 9 1 4 1 1 )12)(1( 6 2 nnn n 例 4.(2008年
8、全国一卷 )设函数 ( )lnf xxxx.数列n a 满足 1 01a . 1 () nn af a . 设 1 (1)ba, , 整数 1 1ln ab k ab .证明: 1k ab . 解析: 由数学归纳法可以证明 n a 是递增数列 , 故若存在正整数 km , 使 bam , 则 baa kk 1 , 若 )(kmbam ,则由 10 1 baa m 知 0lnlnln 11 baaaaa mmm , k m mmkkkk aaaaaaa 1 11 lnln , 因为 )ln(ln 1 1 bakaa k m mm ,于是 bababakaak)(|ln| 11111 例 5.已知
9、 mmmm m nSxNmn321, 1, ,求证: 1) 1() 1( 11m n m nSmn . 解析:首先可以证明 : nxx n 1)1( n k mmmmmmmm kknnnnn 1 11111111 )1(01)2()1()1( 所以要证 1)1()1( 11m n m nSmn 只要证: n k mmmmmmmmm n k m n k mm kknnnnnkmkk 1 1111111111 11 11 )1(2)1() 1(1) 1()1()1( 故只要证 n k mm n k m n k mm kkkmkk 1 11 11 11 )1()1()1( , 即等价于 mmmmm
10、kkkmkk 111 )1()1()1( , 即等价于 11 ) 1 1 ( 1 1 ,) 1 1( 1 1 mm kk m kk m 而正是成立的 ,所以原命题成立 . 例 6.已知 nn n a24 , n n n aaa T 21 2 ,求证: 2 3 321n TTTT . 解析: )21(2)14( 3 4 21 )21(2 41 )41(4 )222(4444 21321nn nn nn n T 所以 123)2(2 2 2 3 2234 23 2 3 2 3 4 2 22 3 4 3 4 2 )21(2) 14( 3 4 2 211 1 1 1 1nn n nn n n n n
11、n n n nn n n T 12 1 12 1 2 3 )12)(122( 2 2 3 1nnnn n 从而 2 3 12 1 12 1 7 1 3 1 3 1 1 2 3 1 321 nn n TTTT 例 7.已知 1 1 x , ),2( 1 ), 12( Zkknn Zkknn xn ,求证: *)(11(2 111 4 122 4 54 4 32 Nnn xxxxxx nn 证明: nnnnnnxx nn 2 2 2 1 4 1 14 1 ) 12)(12( 11 4242 44 122 , 因为 12nnn ,所以 )1(2 1 2 2 21 4 122 nn nnnxx nn
12、所以 *)(11(2 111 4 122 4 54 4 32 Nnn xxxxxx nn 二、函数放缩 例 8.求证: )( 6 65 3 3 3ln 4 4ln 3 3ln 2 2ln* Nn nn n n . 解析:先构造函数有 xx x xx 1 1 ln 1ln ,从而 ) 3 1 3 1 2 1 (13 3 3ln 4 4ln 3 3ln 2 2ln n n n n cause nnnn 3 1 12 1 2 1 9 1 8 1 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 3 1 3 1 2 1 6 5 3 3 32 3 27 9 18 9 9 3 6 3 6 5 1 1 1 n
13、 n n n n 所以 6 65 3 6 5 13 3 3ln 4 4ln 3 3ln 2 2lnnn nn n n 例 9.求证:(1) )2( )1(2 12ln 3 3ln 2 2ln ,2 2 n n nn n n 解析:构造函数 x x xf ln )( ,得到 2 2 lnln n n n n ,再进行裂项 ) 1( 1 1 1 1 ln 22 2 nnnn n ,求和后可以得到答 案 函数构造形式 : 1lnxx , )2(1lnnn 例 10.求证: n n n 1 2 1 1)1ln( 1 1 3 1 2 1 解析:提示: 2ln 1 ln 1 ln 1 2 1 1 ln)1
14、ln( n n n n n n n n n 函数构造形式 : x xxx 1 1ln,ln 当然本题的证明还可以运用积分放缩 如图,取函数 x xf 1 )( , 首先: n in ABCF x S 1 ,从而, )ln(ln|ln 11 innx x i n n in n in 取 1i 有, )1ln(ln 1 nn n , 所以有 2ln 2 1 , 2ln3ln 3 1 , , ) 1ln(ln 1 nn n , nn n ln) 1ln( 1 1 ,相加后可以得到: )1ln( 1 1 3 1 2 1 n n 另一方面 n in ABDE x S 1 ,从而有 )ln(ln|ln 1
15、1 innx x i in n in n in 取 1i 有, ) 1ln(ln 1 1 nn n , F E D C BA n-in y x O 所以有 n n 1 2 1 1) 1ln( ,所以综上有 n n n 1 2 1 1)1ln( 1 1 3 1 2 1 例 11.求证: e n ) ! 1 1() ! 3 1 1)( !2 1 1( 和 e n) 3 1 1() 81 1 1)( 9 1 1 ( 2 .解析:构造函数后即可证明 例 12.求证: 32 )1(1) 321()211( n enn 解析: 1)1( 3 2 1)1(ln nn nn ,叠加之后就可 以得到答案 函数构
16、造形式 : ) 0( 1 3)1ln(1 )0( 1 3 2) 1ln(x xx x x x x (加强命题 ) 例 13.证明: ) 1*,( 4 )1( 1 ln 5 4ln 4 3ln 3 2ln nNn nn n n 解析:构造函数 ) 1( 1) 1() 1ln()(xxxxf ,求导,可以得到 : 1 2 1 1 1 )( x x x xf ,令 0)( xf 有 21x ,令 0)( xf 有 2x , 所以 0)2()(fxf ,所以 2)1ln(xx ,令 1 2 nx 有, 1ln 22 nn 所以 2 1 1 lnn n n ,所以 ) 1*,( 4 )1( 1 ln 5
17、 4ln 4 3ln 3 2ln nNn nn n n 例 14. 已知 11 2 11 1,(1). 2 nn n aaa nn 证明 2 n ae . 解析: n nn nn a nn a nn a) 2 1 )1( 1 1( 2 1 ) )1( 1 1( 1 , 然后两边取自然对数 ,可以得到 n n n a nn aln) 2 1 ) 1( 1 1ln(ln 1 然后运用 xx)1ln( 和裂项可以得到答案 ) 放缩思路: n n n a nn a) 2 11 1( 2 1 n n n a nn aln) 2 11 1ln(ln 2 1 n n nn a 2 11 ln 2 。于是 n
18、 nn nn aa 2 11 lnln 2 1 , .2 2 11 2 2 1 1 ) 2 1 (1 1 1lnln) 2 11 ()ln(ln 1 1 2 1 1 1 1 1 n n n i n i ii n i nn aa ii aa 即 .2lnln 2 1 eaaa nn 注:题目所给条件 ln(1)xx( 0x )为一有用结论,可以起到提醒思路与 探索放缩方向的作用;当然,本题还可用结论 )2)(1(2nnn n 来放缩: ) 1( 1 ) ) 1( 1 1( 1 nn a nn a nn ) 1)( ) 1( 1 1(1 1nn a nn a . )1( 1 ) ) 1( 1 1l
19、n()1ln() 1ln( 1 nnnn aa nn 1 1 1) 1ln() 1ln( )1( 1 )1ln() 1ln( 2 1 2 1 1 2 n aa ii aa n n i ii n i , 即 .133ln1) 1ln( 2 eeaa nn 例16.(2008年福州市质检)已知函数 .ln)(xxxf 若 ).()(2ln)()(:,0, 0bfbafbaafba证明 解析:设函数 ( )( )(),(0)g xf xf kxk ( )ln ,( )ln()ln(), 0.( )ln1ln()1ln, 2 ( )0,10. 2 f xxxg xxxkxkx x xkg xxkx k
20、x xxkk g xxk kxkx Q Q 令则有 函数 k k xg, 2 )(在 )上单调递增,在 2 , 0( k 上单调递减 . )( xg 的最小值为 ) 2 ( k g , 即 总有 ). 2 ()( k gxg 而 ,2ln)()2ln(ln 2 ln) 2 () 2 () 2 (kkfkk k k k kf k f k g ,2ln)()(kkfxg 即 .2ln)()()(kkfxkfxf 令 ,bxkax 则 .bak .2ln)()()()(babafbfaf).()(2ln)()(bfbafbaaf 例 15.(2008年厦门市质检 ) 已知函数 )(xf 是在 ),0
21、( 上处处可导的函数 ,若 )()( xfxfx 在 0x 上恒成立 . (I)求证:函数 ),0( )( )(在 x xf xg 上是增函数; (II) 当 )()()(:,0,0 212121 xxfxfxfxx证明时 ; (III) 已知不等式 01)1ln(xxxx且在 时恒成立, 求证: ).( )2)(1(2 )1ln( ) 1( 1 4ln 4 1 3ln 3 1 2ln 2 1 *2 2 2 2 2 2 2 2 Nn nn n n n 解析:(I) 0 )()( )( 2 x xfxxf xg ,所以函数 ),0( )( )(在 x xf xg 上是增函数 (II) 因为 ),
22、0( )( )(在 x xf xg 上是增函数 ,所以 )()( )()( 21 21 1 1 21 21 1 1 xxf xx x xf xx xxf x xf )()( )()( 21 21 2 2 21 21 2 2 xxf xx x xf xx xxf x xf 两式相加后可以得到 )()()( 2121 xxfxfxf (3) )()( )()( 21 21 1 1 21 21 1 1 n nn n xxxf xxx x xf xxx xxxf x xf )()( )()( 21 21 2 2 21 21 2 2 n nn n xxxf xxx x xf xxx xxxf x xf
23、)()( )()( 21 2121 21 n n n n n n n n xxxf xxx x xf xxx xxxf x xf 相加后可以得到 : )()()()( 2121nn xxxfxfxfxf 所以 )ln()(lnlnlnln 2121332211nnnn xxxxxxxxxxxxxx 令 2 )1 ( 1 n xn ,有 2 2 2 2 2 2 2 2 ) 1ln( ) 1( 1 4ln 4 1 3ln 3 1 2ln 2 1 n n 2222222 ) 1( 1 3 1 2 1 ln ) 1( 1 4 1 3 1 2 1 nn nnn) 1( 1 23 1 12 1 ln )1
24、( 1 3 1 2 1 222 )2)(1(22 1 2 1 1 1 nn n nn 所以 ).( )2)(1(2 ) 1ln( )1( 1 4ln 4 1 3ln 3 1 2ln 2 1 *2 2 2 2 2 2 2 2 Nn nn n n n (方法二 ) 2 1 1 1 4ln )2)(1( 4ln )2)(1( )1ln( )1( )1ln( 2 2 2 nnnnnn n n n 所以 )2(2 4ln 2 1 2 1 4ln) 1ln( ) 1( 1 4ln 4 1 3ln 3 1 2ln 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 n n n n n 又 1 1 14ln n ,所以
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