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1、. . 高考数学数列题型专题汇总 一、选择题 1、已知无穷等比数列 n a的公比为q, 前 n 项和为 n S, 且SSn n lim.下列条件中,使 得 NnSSn2恒成立的是() (A)7. 06. 0, 0 1 qa(B)6.07.0, 0 1 qa (C)8 . 07. 0, 0 1 qa(D)7.08 .0, 0 1 qa 【答案】 B 2、已知等差数列 n a 前 9项的和为27,10=8 a , 则 100= a (A)100 (B)99 (C)98 (D)97 【答案】 C 3、定义“规范01 数列”an 如下: an共有 2m项, 其中m项为 0,m项为 1, 且对任意 2k
2、m, 12 , k a aaL中 0 的个数不少于1 的个数 . 若m=4, 则不同的 “规范 01 数列” 共有 (A)18 个(B)16 个(C)14 个(D)12 个 【答案】 C 4、 如图, 点列 An,Bn分别在某锐角的两边上,且 1122 , nnnnnn A AAAAAn * N, 1122,nnnnnnB BBBBBn * N, (PQPQ表示点与 不重合). 若 1nnnnnnn dA BSA B B,为的面积,则 An S 是等差数列B 2 n S 是等差数列 C n d是等差数列D 2 n d是等差数列 . . 【答案】 A 二、填空题 1、已知 n a为等差数列, n
3、 S为其前n项和,若 1 6a, 35 0aa, 则 6= S_ 【答案】 6 2、无穷数列 n a由 k 个不同的数组成, n S为 n a的前 n 项和 .若对任意Nn, 3 ,2 n S, 则 k 的最大值为 _. 【答案】 4 3、设等比数列 n a满足 a1+a3=10, a2+a4=5, 则 a1a2鬃 ?an的最大值为. 【答案】64 4、设数列 an的前 n 项和为 Sn.若 S2=4, an+1=2Sn+1, nN*, 则 a1= , S5= . 【答案】1121 三、解答题 1、设数列 A: 1 a, 2 a, N a(N).如果对小于n(2nN)的每个正整数k都有 k a
4、 n a, 则称n是数列 A 的一个“ G 时刻” .记“)(AG是数列 A 的所有“ G 时刻”组成的集合. (1)对数列A:-2, 2, -1, 1, 3, 写出)(AG的所有元素; (2)证明:若数列A 中存在 n a使得 n a 1 a, 则)(AG; (3)证明:若数列A 满足 n a- 1n a1 (n=2,3, ,N),则)(AG的元素个数不小于 N a- 1 a. . . 如果 i G, 取 ii Gmmin, 则对任何 ii mnki aaamk,1. 从而)(AGmi 且 1ii nm. 又因为 p n是)(AG中的最大元素,所以 p G. 2、已知数列 n a的前 n 项
5、和 Sn=3n2+8n, n b是等差数列,且 1.nnn abb ()求数列 n b的通项公式; . . ()令 1 (1) . (2) n n nn n a c b 求数列 n c的前 n 项和 Tn. 【解析】 ( ) 因为数列 n a的前n项和nnSn83 2 , 所以11 1 a, 当2n时, 56)1(8)1(383 22 1 nnnnnSSa nnn , 又56nan对1n也成立,所以56nan 又因为 n b是等差数列,设公差为d, 则dbbba nnnn 2 1 当1n时,db112 1 ;当2n时,db172 2 , 解得3d, 所以数列 n b的通项公式为13 2 n d
6、a b n n ( ) 由 1 11 2)33( )33( )66( )2( )1(n n n n n n n n n n n b a c, 于是 1432 2)33(2122926 n n nT, 两边同乘以,得 2143 2)33(2)3(29262 nn n nnT, 两式相减,得 21432 2)33(23232326 nn n nT 2 2 2 2)33( 21 )21(23 23 n n n 222 232)33()21(2312 nnn n nnT 3、若无穷数列 n a满足:只要 * (,) pq aap qN, 必有 11pq aa, 则称 n a具有性 质P. (1)若 n
7、 a具有性质P, 且 1245 1,2,3,2aaaa, 678 21aaa, 求 3 a; (2)若无穷数列 n b是等差数列,无穷数列 n c是公比为正数的等比数列, 15 1bc, 51 81bc, nnn abc判断 n a是否具有性质 P, 并说明理由; . . (3)设 n b是无穷数列,已知 * 1 sin() nnn aba nN.求证: “对任意 1, n aa都具有性 质P”的充要条件为“ n b是常数列” . 【解析】 试题分析:( 1)根据已知条件,得到 6783 32aaaa, 结合 678 21aaa求 解 (2)根据 nb 的公差为20, nc 的公比为 1 3
8、, 写出通项公式,从而可得 5 20193 n nnn abcn 通过计算 15 82aa, 2 48a, 6 304 3 a, 26 aa, 即知 n a不具有性质 (3)从充分性、必要性两方面加以证明,其中必要性用反证法证明 试题解析:( 1)因为 52 aa, 所以 63 aa, 74 3aa, 85 2aa 于是 6783 32aaaa, 又因为 678 21aaa, 解得 3 16a (2) n b的公差为20, n c的公比为 1 3 , 所以12012019 n bnn, 1 51 813 3 n n n c 5 20193 n nnnabcn 15 82aa, 但 2 48a,
9、 6 304 3 a, 26 aa, 所以 n a不具有性质 (3)证充分性: 当 n b为常数列时, 11 sin nn aba 对任意给定的 1 a, 只要 pq aa, 则由 11 sinsin pq baba, 必有 11pq aa 充分性得证 必要性: 用反证法证明假设 n b不是常数列,则存在k, 使得 12k bbbb, 而 1k bb . . 下面证明存在满足 1 sin nnn aba的 n a, 使得 121k aaa, 但 21kk aa 设sinfxxxb, 取m , 使得mb, 则 0f mmb,0fmmb, 故存在c使得0f c 取 1 ac, 因为 1 sin n
10、n aba(1nk) , 所以 21 sinabcca, 依此类推,得 121k aaac 但 2111 sinsinsin kkkk ababcbc, 即 21kk aa 所以 na 不具有性质, 矛盾 必要性得证 综上,“对任意 1 a, na 都具有性质”的充要条件为“ nb 是常数列” 4、 已知数列 n a的首项为1, n S为数列 n a的前 n 项和, 1 1 nn SqS, 其中 q0, * nN. (I)若 232 2,2aa a成等差数列,求 an的通项公式; (ii)设双曲线 2 2 2 1 n y x a 的离心率为 n e, 且 2 5 3 e, 证明: 121 43
11、 3 nn nn eee . 【答案】() 1 = n n aq - ; ()详见解析. 解析: ()由已知, 1211,1,nnnnSqSSqS+=+=+两式相减得到21,1nnaqan+=?. 又由 21 1SqS=+得到 21 aqa=, 故 1nn aqa + =对所有1n3都成立 . 所以,数列 n a是首项为1, 公比为 q 的等比数列 . 从而 1 = n n aq - . 由 232 2+2aaa,成等比数列,可得 32 2=32aa +, 即 2 2=32,qq +, 则 (21)(2)0q+q-=, 由已知 ,0q , 故=2q. 所以 1* 2() n n an - =?
12、 N. ()由()可知, 1n naq - =. . . 所以双曲线 2 2 2 1 n y x a -=的离心率 22(1) 11 n nn eaq - =+=+. 由 25 1 3 qq=+=解得 4 3 q = . 因为 2(1)2(1) 1+ kk qq - , 所以 2(1)1* 1+ kk qqk - ? N(). 于是 1 12 1 1+ 1 n n n q eeeqq q - + 鬃 ?+ 鬃 ?= - , 故 123 1 43 3 nn n eee - - + 鬃 ?. 5、已知 n a是各项均为正数的等差数列,公差为d, 对任意的 ,bnnN 是 n a 和 1n a的 等
13、比中项 . ()设 22* 1 , nnn cbbnN, 求证: n c是等差数列; ()设 2 2* 1 1 ,1, n n nn k ad TbnN , 求证: 2 1 11 . 2 n k k Td 【解析】 22 112112nnnnnnnnCbbaaa ad a 2 1212 ()2nnnnCCd aad 为定值 n C 为等差数列 2 2 1321 1 ( 1) n k nkn k TbCCC 2 1 (1) 4 2 n n nCd 2 1 2(1)nCd n n(* ) 由已知 222 121231221 22 ()4Cbba aa ad ad add 将 2 14Cd 代入(
14、*)式得 2 2(1) nTd n n 2 11 111 2(1) nn kk k Tdk k 2 1 2d , 得证 6、 n S为等差数列 n a的前 n 项和,且 17 =128.aS,记= lg nn ba, 其中x表示不超 过x的最大整数,如0.9 =0 lg99 =1, ()求 111101 bbb,; ()求数列 n b的前 1 000 项和 【解析】 设 na 的公差为d, 74728Sa , . . 4 4a, 41 1 3 aa d, 1 (1) n aandn 11lglg10ba,1111lglg111ba,101101101lglg2ba 记 n b的前n项和为 n
15、T, 则 1000121000 Tbbb 121000 lglglgaaa 当0lg1 n a时,129n, ,; 当1lg2 na时, 101199n,; 当2lg3 n a时,100101999n,; 当lg3 n a时,1000n 1000091902900311893T 8、设数列 n a满足 1 1 2 n n a a,n (I)证明: 1 1 22 n n aa,n; (II)若 3 2 n n a ,n , 证明:2 n a, n (II)任取n , 由( I)知,对于任意mn, . . 1121 1121 22222222 nmnnnnmm nmnnnnmm aaaaaaaa 11 111 222 nnm 1 1 2 n , 故 1 1 2 22 mn n nm a a 1 113 2 222 m n nm 3 22 4 m n 从而对于任意mn, 均有 7、已知数列 n a的前 n 项和1 nn Sa, 其中0 (I )证明 n a是等比数列,并求其通项公式; (II )若 5 31 32 S, 求 【解析】 . .
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